蘇科新版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第3章 勾股定理》單元測(cè)試卷【含答案】

1、蘇科新版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第3章 勾股定理單元測(cè)試卷一選擇題1直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別為3和4，則斜邊長(zhǎng)為（）A4B5C6D102一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角之比為1：2：1，其相對(duì)應(yīng)三邊之比為（）A1：2：1B1：1C1：4：1D12：1：23已知四個(gè)三角形分別滿足下列條件：一個(gè)內(nèi)角等于另外兩個(gè)內(nèi)角之和； 三個(gè)內(nèi)角之比為3：4：5；三邊長(zhǎng)分別為7，24，25； 三邊之比為5：12：13其中能判定是直角三角形的有（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)4下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）A3，4，5B1.5，2，2.5C32，42，52D，5兩只小鼴鼠在地下從同一處開始打洞，一只朝北面挖，每分鐘挖8cm，另一只朝東面挖，每

2、分鐘挖6cm，10分鐘之后兩只小鼴鼠相距（）A100cmB50cmC140cmD80cm6在一個(gè)直角三角形中，有一個(gè)銳角等于25°，則另一個(gè)銳角的度數(shù)是（）A25°B55°C65°D75°7如圖，趙爽弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形設(shè)直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)分別為a和b若ab8，大正方形的邊長(zhǎng)為5，則小正方形的邊長(zhǎng)為（）A1B2C3D48如圖，ABC中ACB90°，且CDABB60°，則1等于（）A30°B40°C50°D60°9下列幾組數(shù)中，能作為直角三角形

3、三邊長(zhǎng)度的是（）Aa2，b3c4Ba5，b6，c8Ca5，b12，c13Da7，b15，c1210如圖，在ABC中，ACB90°，過點(diǎn)C作CDAB交ABC的平分線于點(diǎn)D，若ABD20°，則ACD的度數(shù)為（）A20°B30°C40°D50°二填空題11如圖所示的圖案是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解周髀算經(jīng)中“趙爽弦圖”經(jīng)修飾后的圖形，四邊形ABCD與四邊形EFGH均為正方形，點(diǎn)H是DE的中點(diǎn)，陰影部分的面積為24，則AD的長(zhǎng)為 12若一個(gè)三角形的三邊之比為5：12：13，且周長(zhǎng)為60cm，則它的面積為 cm213如圖，要為一段高5米，長(zhǎng)13米

4、的樓梯鋪上紅地毯，至少需要紅地毯 米14如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則ABC的度數(shù)為 °15在RtABC中，C90°，A65°，則B 16在RtABC中，C90°，A70°，則B 17在直角三角形中，一個(gè)銳角是另一個(gè)銳角的4倍，則較小銳角的度數(shù)為 度18把兩個(gè)相同大小的含45°角的三角板如圖所示放置，其中一個(gè)三角板的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A，另外三角板的銳角頂點(diǎn)B，C，D在同一直線上，若AB，則BD 19已知直角三角形的直角邊長(zhǎng)為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，將滿足a2+b2c2的一組正整數(shù)稱為“勾股數(shù)組”，記為（a，b，c），其

5、中abc事實(shí)上，早在公元前十一世紀(jì)，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家商高就發(fā)現(xiàn)了“勾三、股四、弦五”，我們將其簡(jiǎn)記為（3，4，5）類似的勾股數(shù)組還有很多例如：（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），（11，60，61），（13，84，85），如果a2n+1（n為正整數(shù)），那么b+c （用含n的代數(shù)式表示）20直角三角形中，以直角邊為邊長(zhǎng)的兩個(gè)正方形的面積分別為7cm2，8cm2，則以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為 cm2三解答題21如圖，ACB90°，CDAB，垂足為D求證：ACDB22已知：如圖，在RtABC中，BAC90°，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ADAB，求證：BAD2A

6、CB23在直角ABC中，ACB90°，B30°，CDAB于D，CE是ABC的角平分線（1）求DCE的度數(shù)（2）若CEF135°，求證：EFBC24如圖，在等邊ABC中，ABACBC6cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s當(dāng)點(diǎn)N第一次回到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（1）當(dāng)t為何值時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合；（2）當(dāng)點(diǎn)M、N分別在AC、BA邊上運(yùn)動(dòng)，AMN的形狀會(huì)不斷發(fā)生變化當(dāng)t為何值時(shí)，AMN是等邊三角形；當(dāng)t為何值時(shí)，AMN是直角三角形；（3）若點(diǎn)M、N都在BC邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)存在以

7、MN為底邊的等腰AMN時(shí)，求t的值25勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理在我國(guó)古書周髀算經(jīng)中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今（1）請(qǐng)敘述勾股定理；勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理；（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）（2）如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2S3的有 個(gè)；如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓

8、，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1，S2，直角三角形面積為S3，請(qǐng)判斷S1，S2，S3的關(guān)系并證明；（3）如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖8所示的“勾股樹”在如圖9所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長(zhǎng)為定值m，四個(gè)小正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，已知123，則當(dāng)變化時(shí)，回答下列問題：（結(jié)果可用含m的式子表示）a2+b2+c2+d2 ；b與c的關(guān)系為 ，a與d的關(guān)系為 26如圖，在RtABC中，ABAC，BAC90°，O為BC的中點(diǎn)（1）寫出點(diǎn)O到ABC的三個(gè)

9、頂點(diǎn)A、B、C的距離的關(guān)系（不要求證明）（2）如果點(diǎn)M、N分別在線段AB、AC上移動(dòng)，在移動(dòng)過程中保持ANBM，請(qǐng)判斷OMN的形狀，請(qǐng)證明你的結(jié)論27定義：如圖，點(diǎn)M、N把線段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)（1）已知M、N把線段AB分割成AM、MN、NB，若AM2，MN4，BN2，則點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說明理由（2）已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，且AM為直角邊，若AB12，AM5，求BN的長(zhǎng)參考答案與試題解析一選擇題1解：由勾股定理得：斜邊長(zhǎng)為：5故選：B2解：設(shè)三個(gè)角的度數(shù)分別為x，2x，

10、x，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出三個(gè)角分別為45°，45°，90°，這個(gè)三角形是等腰直角三角形，斜邊等于直角邊的倍，相對(duì)應(yīng)三邊之比為1：1故選：B3解：設(shè)兩個(gè)較小的角為x，則2x+2x180°，則三角分別為45°，45°，90°，故是直角三角形；設(shè)較小的角為3x，則其于兩角為4x，5x，則三個(gè)角分別為45°，60°，75°，故不是直角三角形；因?yàn)槿叿瞎垂啥ɡ淼哪娑ɡ恚适侵苯侨切?；因?yàn)?2+122132符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形所以有三個(gè)直角三角形，故選：C4解：A、32+4252

11、，能構(gòu)成直角三角形，是正整數(shù)，故是勾股數(shù)；B、1.52+222.52，能構(gòu)成直角三角形，不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)；C、（32）2+（42）2（52）2，不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù)；D、（）2+（）2（）2，不能構(gòu)成直角三角形，不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)故選：A5解：兩只鼴鼠10分鐘所走的路程分別為80cm，60cm，正北方向和正東方向構(gòu)成直角，由勾股定理得100，其距離為100cm故選：A6解：在一個(gè)直角三角形中，有一個(gè)銳角等于25°，另一個(gè)銳角的度數(shù)是90°25°65°故選：C7解：由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：ab，每一個(gè)直角三角形的面積為：

12、 ab×84，4×ab+（ab）252，（ab）225169，正方形的邊長(zhǎng)ab0，ab3，故選：C8解：ABC中，ACB90°，B60°，A30°，CDAB，1A，130°，故選：A9解：A、22+3242，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、52+6282，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、52+122132，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；D、72+122152，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意故選：C10解：BD平分ABC，ABDDBC20°，ABC40°，ACB90°，A

13、90°ABC90°40°50°，CDAB，ACDA50°，故選：D二填空題11解：由四邊形ABCD與四邊形EFGH均為正方形，點(diǎn)H是DE的中點(diǎn)，可知E、F、G分別為AF、BG、CH的中點(diǎn)，且AEEHDHHGCGFGBFEFBE，SAEHSDHGSCGFSBFE，S陰影3×S正方形EFGH24，S正方形EFGH8，EHDH，DE2EH4，又AED90°，故答案為：212解：設(shè)三邊分別為5x，12x，13x，則5x+12x+13x60，x2，三邊分別為10cm，24cm，26cm，102+242262，三角形為直角三角形，S10

14、×24÷2120cm2故答案為：12013解：根據(jù)勾股定理，樓梯水平長(zhǎng)度為12米，則紅地毯至少要12+517米長(zhǎng)，故答案為：1714解：連接AC，由勾股定理得：AC222+125，BC222+125，AB212+3210，AC2+BC25+510BA2，ABC是等腰直角三角形，ACB90°，ABC45°，故答案為：4515解：C90°，A65°，B90°65°25°故答案為：25°16解：CRt，A70°，B90°A90°70°20°故答案為：2

15、0°17解：設(shè)較小銳角為x度由題意：4x+x90，解得x18，故答案為1818解：如圖，過點(diǎn)A作AFBC于F，在RtABC中，B45°，ABC是等腰直角三角形，BCAB2，BFAFBC1，兩個(gè)同樣大小的含45°角的三角尺，ADBC2，在RtADF中，根據(jù)勾股定理得，DF，BDBF+DF1+，故答案為：1+19解：方法1：觀察“勾股數(shù)組”（a，b，c），當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，cb+1，又a2n+1（n為正整數(shù)），由勾股定理可得：c2b2（2n+1）2，即（b+1）2b2（2n+1）2，解得b2n2+2n，c2n2+2n+1，b+c4n2+4n+1，故答案為：4n2+4n+1

16、方法2：觀察“勾股數(shù)組”（a，b，c），當(dāng)a為大于1的正奇數(shù)時(shí)，有如下規(guī)律：324+5，5212+13，7224+25，a2b+c，當(dāng)a2n+1時(shí)，b+c（2n+1）220解：設(shè)直角三角形ABC的兩直角邊是a和b，斜邊是c，則由勾股定理得：a2+b2c2，則分別以ab為邊長(zhǎng)的兩個(gè)正方形的面積之和是a2+b27cm2+8cm215cm2，以斜邊c為邊長(zhǎng)的正方形的面積是Sc2a2+b215cm2，故答案為：15三解答題21證明：CDAB，ACB90°，ADC90°ACBA+ACD+ADC180°，A+B+ACB180°，ACDB22證明：ADAB，BD，設(shè)B

17、D，BAD180°BD180°22（90°），BAC90°，ACB90°B90°，BAD2ACB23解：B30°，CDAB于D，DCB90°B60°CE平分ACB，ACB90°，ECBACB45°，DCEDCBECB60°45°15°；（2）CEF135°，ECBACB45°，CEF+ECB180°，EFBC24解：（1）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，x×1+62x，解得：x6，即當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)6秒時(shí)，點(diǎn)N追上

18、點(diǎn)M；（2）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形AMN，如圖1，AMt，AN62t，A60°，當(dāng)AMAN時(shí)，AMN是等邊三角形t62t，解得t2，點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)2秒后，可得到等邊三角形AMN當(dāng)點(diǎn)N在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖3，若AMN90°，BN2t，AMt，AN62t，A60°，2AMAN，即2t62t，解得t；如圖3，若ANM90°，由2ANAM得2（62t）t，解得t綜上所述，當(dāng)t為或s時(shí)，AMN是直角三角形；（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以MN為底邊的等腰三角形，由（1）知6秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，恰好在C處，如圖4，假設(shè)AMN是等腰三角形，A

19、NAM，AMNANM，AMCANB，ABBCAC，ACB是等邊三角形，CB，在ACM和ABN中，AMCANB，CB，ACAB，ACMABN（AAS），CMBN，t6182t，解得t8，符合題意所以假設(shè)成立，當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)8秒時(shí)，能得到以MN為底的等腰三角形25解：（1）如果直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2c2（或者：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方）證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和即c2ab×4+（ba）2，化簡(jiǎn)得：a2+b2c2在圖2中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和即（a+b）2c2+ab×4，化簡(jiǎn)得：a2+b2c2在圖3中