第5章點的合成運(yùn)動習(xí)題解答080814

1、第五章 點的合成運(yùn)動本章要點一、絕對運(yùn)動、相對運(yùn)動和牽連運(yùn)動一個動點，兩個參照系： 定系，動系；三種運(yùn)動：絕對運(yùn)動、相對運(yùn)動和牽連運(yùn)動，包括三種速度：絕對速度、相對速度和牽連速度； 三種加速度：絕對加速度、相對加速度和牽連加速度； 牽連點：動參考系上瞬時與動點相重合的那一點稱為動參考系上的牽連點。二、速度合成定理動點的絕對速度，等于它在該瞬時的牽連速度與相對速度的矢量和，即解題要領(lǐng)1 定系一般總是取地面，相對定系運(yùn)動的物體為動系，動點不能在動系上.2 牽連速度是牽連點的速度.3 速度合成定理中的三個速度向量，涉及大小方向共六個因素，能且只能存在兩個未知數(shù)方能求解，因此，至少有一個速度向量的大小

2、方向皆為已知的.4 作速度平行四邊形時，注意作圖次序：一定要先畫大小方向皆為已知的速度向量，然后再根據(jù)已知條件畫上其余兩個速度向量，特別注意，絕對速度處于平行四邊形的對角線位置.5 用解三角形的方法解速度合成圖.三、加速度合成定理1 牽連運(yùn)動為平移時的加速度合成定理當(dāng)牽連運(yùn)動為平移時，動點的絕對加速度等于牽連加速度與相對加速度的矢量和，即 ，當(dāng)點作曲線運(yùn)動時，其加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和，因此上式還可進(jìn)一步寫成其中 ，依次為絕對軌跡、牽連軌跡和相對軌跡的曲率半徑。解題要領(lǐng)1牽連運(yùn)動為平移時的加速度合成定理只對“牽連運(yùn)動為平移時”成立，因此，判定牽連運(yùn)動是否為平移至關(guān)重要.2 牽連

3、運(yùn)動為平移時的加速度合成定理涉及的三個加速度，每一加速度都可能有切向和法向加速度。但是，法向加速度只與速度有關(guān)，因此，可以通過速度分析予以求解，從而在此處是作為已知的。剩下的三個切向加速度的大小方向共有六個因素，能且只能有2個未知量時方可求解。3 因加速度合成定理涉及的矢量較多，一般不用幾何作圖的方法求解，而是列投影式計算，千萬不能寫成“平衡方程”的形式。4 在加速度分析中，因動點和動系的選擇不當(dāng)而出現(xiàn)了一種似是而非的分析過程。教材中例5.3.5的一個典型錯誤解法如下：例：半徑為r的半圓凸輪移動時，推動靠在凸輪上的桿OA繞O軸轉(zhuǎn)動，凸輪底面直徑DE的延長線通過O點，如圖所示。若在的圖示瞬時位置

4、，已知凸輪向左的移動速度為u，加速度為且與u反向，求此瞬時OA桿的角速度與角加速度。（a） (b) “解”：取OA桿上與凸輪相接觸的B點為動點，動系固結(jié)在凸輪上。設(shè)OA桿的角速度和角加速度分別為w 和a。1）速度分析：根據(jù)速度合成定理，可畫出速度平行四邊形如圖所a示。由幾何關(guān)系可得, 方向如圖所示。由此可求得OA桿在圖示瞬時的角速度為，轉(zhuǎn)向如圖所示。2） 加速度分析：根據(jù)牽連運(yùn)動為平移時的加速度合成定理，有 大?。?？ ？ 方向： 指向O點 指向C點加速度矢量關(guān)系圖如圖b所示。在這個矢量關(guān)系式中，各加速度分量的大小、方向共有十個要素，已知八個要素，可以求解。將圖示的加速度矢量關(guān)系向CB方向投影

5、，得，為負(fù)值說明的真實指向應(yīng)與圖設(shè)的指向相反。由此，可求得OA桿在圖示瞬時的角加速度的大小為 ，轉(zhuǎn)向如圖所示（由的真實指向決定）。上述解法是“避免 ”了取OA 桿為動系時出現(xiàn)的科氏加速度，錯在何處？這不難從桿OA 的轉(zhuǎn)動方程 ，對時間求導(dǎo)求得OA 桿的角速度和角加速度值得到驗證，式中?？梢钥吹剑俣确治龅慕Y(jié)果是正確的，而加速度分析結(jié)果是錯誤的。原因是“取OA桿上與凸輪相接觸的B點為動點”，此動點只在此瞬時與凸輪相接觸，隨后就分道揚(yáng)鑣了，其相對軌跡不是凸輪輪廓線，相對軌跡不清楚，因此，上面分析中用凸輪輪廓線的半徑作為相對軌跡的曲率半徑的計算是錯誤的。2 牽連運(yùn)動為轉(zhuǎn)動時的加速度合成定理牽連運(yùn)動為

6、轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理：當(dāng)牽連運(yùn)動為轉(zhuǎn)動時，動點的絕對加速度，等于該瞬時動點的牽連加速度、相對加速度與科氏加速度的矢量和，其中科氏加速度為，當(dāng)相對速度矢量與牽連角速度矢量垂直時，相對速度順著牽連角速度轉(zhuǎn)的方向就是科氏加速度的方向，大小為.當(dāng)點作曲線運(yùn)動時，其加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和，因此上式還可進(jìn)一步寫成.解題要領(lǐng)：1 在加速度分析中要特別注意動系是否有角速度，如果有，就要考慮科氏加速度。2 牽連運(yùn)動為轉(zhuǎn)動時的加速度合成定理涉及的矢量較多，最多有7個矢量，分析和列投影式時不要遺漏了。3 法向加速度和科氏加速度只與速度和角速度有關(guān)，因此，在加速度分析時應(yīng)作為是已知的。4 牽連運(yùn)

7、動為轉(zhuǎn)動時的加速度合成定理只可以解2個未知量。第五章 點的合成運(yùn)動 習(xí)題解答 (a)( b)題5-1圖5-1 在圖a、b所示的兩種機(jī)構(gòu)中，已知mm，rad/s。求圖示位置時桿的角速度。解：（1）取桿上的點為動點，桿為動系。，由作速度平行四邊形（如題5-1圖a所示），得 ， （逆時針）（2）取滑塊為動點，桿為動系， ，由 作速度平行四邊形（如題5-1圖b所示），得，.（逆時針）題5-2圖5-2圖示曲柄滑道機(jī)構(gòu)中，桿BC為水平，桿DE保持鉛直。曲柄長m，并以勻角速度rad/s繞O軸轉(zhuǎn)動，通過滑塊A使桿BC作往復(fù)運(yùn)動。求當(dāng)曲柄水平線的交角分別為、時桿BC的速度。解：取滑塊A為動點，動系為BCE桿。.

8、由 得 當(dāng) 時， ；當(dāng)時，；當(dāng)時， .5-3圖示曲柄滑道機(jī)構(gòu)中，曲柄長，并以勻角速度饒O軸轉(zhuǎn)動。裝在水平桿上的滑槽DE與水平線成角。求當(dāng)曲柄與水平線交角、時，桿BC的速度。解：取滑塊A為動點，動系為桿BC，. 作速度矢量圖如圖示。題5-3圖 由正弦定理 ， 解得.當(dāng)時， ；當(dāng)時， ；當(dāng)時， (向右).題5-4圖5-4如圖所示，瓦特離心調(diào)速器以角速度繞鉛垂軸轉(zhuǎn)動。由于機(jī)器轉(zhuǎn)速的變化，調(diào)速器重球以角速度向外張開。如該瞬間，。球柄長，懸掛球柄的支點到鉛垂的距離為，球柄與鉛垂軸間所成的夾角。求此時重球絕對速度的大小。解：取重球為動點，轉(zhuǎn)軸AB為動系，則 ，方向如圖示；牽連速度，方向與ADB垂直。根據(jù)，

9、 由勾股定理得 .題5-5圖5-5圖示L形桿BCD以勻速v沿導(dǎo)槽向右平動，?？吭谒厦娌⒈３纸佑|的直桿OA長為l，可繞O軸轉(zhuǎn)動。試以x的函數(shù)表示出直桿OA端點A的速度。解： 以L形桿上的B為動點，OA桿為動系，則動點相對于動系做直線運(yùn)動。，設(shè)為，由速度合成定理得 ，由此可求得. 也可以利用以下關(guān)系解出。由，.題5-6圖5-6如圖所示，搖桿OC繞O軸轉(zhuǎn)動，撥動固定在齒條AB上的銷釘K而使齒條在鉛直導(dǎo)軌內(nèi)移動。齒條再傳動半徑mm的齒輪D。連線是水平的，距離 mm。在圖示位置，搖桿角速度rad/s，。試求此時齒輪D的角速度。解： 解法一：分兩步計算。（1）計算齒條AB的速度。取K為動點，OC桿為動系

10、，則. 由速度合成定理得：， （2）計算齒輪D的角速度。 .（逆時針）解法二：設(shè)齒輪D和齒條AB的嚙合點到K點的距離為，則 ，從而有，代入數(shù)據(jù)，.其中負(fù)號表示是沿減小的方向，即向下。齒輪D的角速度為 .（逆時針）題5-7圖5-7繞軸O轉(zhuǎn)動的圓盤及直桿OA上均有一導(dǎo)槽，兩導(dǎo)槽間有一活動銷子M如圖所示，。設(shè)在圖示位置時，圓盤及直桿的角速度分別為和。求此瞬時銷子M的速度大小。解： 取銷子M為動點，分別將動系1，2固結(jié)在盤和桿OA上，則，方向與OA垂直. 由速度合成定理， ，故 ，將此式向水平方向投影，得 由此解出 題5-8圖，代入數(shù)據(jù)得 ，所以銷子速度.5-8如圖所示，曲柄長mm，以等角速度rad/

11、s繞O軸逆時針轉(zhuǎn)動。曲柄的A端推動水平板B，使滑桿C沿鉛直方向上升。當(dāng)曲柄與水平線間的夾角時，試求滑桿C的速度和加速度。解： 選OA桿的A點為動點，水平板B為動系，它做平移動。（1） 速度分析. ，由作速度平行四邊形， 代入數(shù)據(jù)，. 方向向上（2） 加速度分析. ，由畫加速度如圖所示，代入數(shù)據(jù)， 方向向下 5-9 半徑為R的半圓形凸輪D以等速沿水平線向右運(yùn)動，帶動從動桿AB沿鉛直方向上升，如圖所示。求，AB桿的速度和加速度。解： OA桿的A點為動點，凸輪為動系，它做平移.（1）速度分析. ，由作速度平行四邊形，得題5-9圖 ，代入數(shù)據(jù)，（2）加速度分析. ，由牽連運(yùn)動為平移時的加速度合成定理為

12、 ，向凸輪的法向軸投影，解得，負(fù)號表示所畫的絕對加速度方向與實際相反，即與所畫速度方向相反。題5-10圖5-10如圖所示，半徑為R的半圓形凸輪D以等速在水平面上滑動，長為的直桿 OA可繞O軸轉(zhuǎn)動。求圖示瞬時A點的速度與加速度，并求OA桿的角速度與角加速度。解：OA桿的A點為動點，凸輪為動系，它做平移.（1）速度分析. ，根據(jù)作速度平行四邊形， 由正弦定理得 ，解得 ，其中角由正弦定理 ，求得，從而. , (逆時針). .（2） 加速度分析. ，.根據(jù)牽連運(yùn)動為平移時的加速度合成定理 向凸輪的法向軸列投影式，其中. 解得 ， ，（順時針）.5-11 如圖所示，帶滑道的圓輪以等角速度繞O軸轉(zhuǎn)動，滑

13、塊A可在滑道內(nèi)滑動，已知，在圖示瞬時，且，試求此瞬時：（1）滑塊相對于圓輪的速度和加速度；（2）曲柄的角速度及角加速度。題5-11圖解： 取桿的A點為動點，圓輪為動系，它作定軸轉(zhuǎn)動.（1） 速度分析. ，.由，經(jīng)過速度合成圖分析可以看出 .其中 ，代入上式，得 ，.曲柄的角速度，順時針方向.（2）加速度分析.，由牽連運(yùn)動為定軸轉(zhuǎn)動時的加速度合成定理 ，分別向水平和鉛垂軸投影 ，解得：，.(方向向上). 曲柄的角加速度 ，(逆時針).題5-12圖5-12 如圖所示桿繞軸以等角速度轉(zhuǎn)動，連桿一端的滑塊B以等速沿滑槽運(yùn)動，AB桿長為.試求圖示瞬時AB桿的角速度和角加速度.解： 若以A點為動點，AB為

14、動系，則A點作合成運(yùn)動。但AB桿作平面運(yùn)動，平面運(yùn)動剛體上點的速度和加速度分析要在第六章中學(xué)習(xí)，因此，這題我們用第四章講述的方法解。 設(shè)在任意位置，桿AB和桿與水平線夾角分別為，如圖示。按正弦定理得 ， (a)上式等號兩邊同時對時間求導(dǎo)，注意到， (b)得 ，（順時針）. （a）式等號兩邊同時對時間求2次導(dǎo)，注意到（b）式和，得題5-13圖b）點的加速度合成圖，順時針.5-13如圖所示，桿OA繞定軸O轉(zhuǎn)動，圓盤繞動軸A轉(zhuǎn)動。一直桿長m，圓盤半徑m，在圖示位置，桿的角速度和角加速度為rad/s，圓盤相對于桿OA的角速度和角加速度為rad/s，。求圓盤上和點的絕對速度及絕對加速度。解： （1）動點

15、：圓盤上點；動系： OA桿。則OA延長線與重合的點為牽連點?？傻?，方向為垂直逆時針方向。又 ,方向與平行而反向。點的速度合成圖 ,方向與相同。 點的加速度合成圖如圖b) ，其中 ； 由牽連運(yùn)動為定軸轉(zhuǎn)動時的加速度合成定理 ，得 ,點的加速度合成圖(2) 動點：圓盤上點；動系： OA桿。OA桿的剛性延伸，與點重合的點為牽連點，有 ，速度合成圖如圖示，圖中 由速度合成定理得 .作點的速度合成圖如圖示，其中 ，.加速度合成定理 ，得， ，由勾股定理，得 .5-14圖示圓盤繞水平軸AB轉(zhuǎn)動，角速度為rad/s，盤上M點沿半徑方向槽按的規(guī)律運(yùn)動（單位為mm，單位為s）。OM與AB軸成傾角。求當(dāng)s時，M

16、點的絕對加速度的大小。解： 題5-14圖取點M為動點，圓盤為動系，計算 時刻取值，得到M點在該瞬時的位置，相速度和相對加速度：，以及圓盤在該瞬時的角速度，角加速度：取坐標(biāo)系如圖示，與盤面重合，且軸為轉(zhuǎn)軸，垂直盤面. 對點M作加速度分析如圖，加速度合成定理為，其中，與軸同向平行；，與軸反向平行；，與軸同向平行；于是有 ； ； ，由此解出. 題5-15圖5-15曲柄OBC繞O軸轉(zhuǎn)動，使套在其上的小環(huán)M沿固定直桿OA滑動，如圖所示。已知mm，OB垂直于BC，曲桿角速度rad/s。求當(dāng)時，小環(huán)M的速度和加速度。解：取小環(huán)M為動點，直角桿為動系.M點的速度和加速度圖1） 速度分析. 根據(jù)速度合成定理 作出速度平行四邊形，如圖示，其中 ，由此解出 .2）加速度分析. 根據(jù)加速度合成定理，作出加速度圖，如圖示，其中 ，向與BC垂直的軸投影，有 ， 解得 .題5-16 圖5-16 一牛頭刨床的機(jī)構(gòu)如圖所示。已知mm，勻角速度rad/s。求圖示位置滑枕CD的速度和加速度。解：1）速度分析（圖a）。先取的點為動點，為動系，設(shè)。由速度合成定理，點的速度為 ，其中