空間直角坐標(biāo)系(文)答案

1、空間直角坐標(biāo)系 參考答案三.例題分析：例1：求證以MX431)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形。 證明 M!M2|2 =(47)2 +(31)2 +(12)2 =14M2M32 =(5-7)2 +(21)2 +(3-2)2 =6M 3M=(5-4)2 +(2 -3)2 +(3-1)2 =6由于M 2M 3 = M 3M 1，原結(jié)論成立。例2:設(shè)P在x軸上，它到巴(0,豆的距離為到點(diǎn)P2(0,1,1)的距離的兩倍，求點(diǎn)P的 坐標(biāo)。解：因?yàn)镻在x軸上，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0,0)ppj =(x2 +(72 ： +32 =fx2 +11 |pp2 = Jx2

2、+( 1 f +12 = Jx2 +2二 PR =2PP2|Jx2 +11 =2lx2 +2=x = 1所求點(diǎn)為：(1,0,0)，(-1,0,0)例 3:已知 A(3，2，1 )、B( 1，0，4)，求：(1) 線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)度；(2) 到A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn) P(x, y, z)的坐標(biāo)滿足的條件5解：(1 )設(shè)P (x, y , z)是AB的中點(diǎn)，.點(diǎn) P的坐標(biāo)是(2 , 1 , 5 ),2 dAB= (1 -3)2(0 -2)2(4 -1)2 = .17 .(2)設(shè)點(diǎn)P (x, y, z)到A、B的距離相等，貝V ,(x -3)2 (y -2)2 (z -1)2= (x -1)

3、y (z -4).化簡(jiǎn)得4x+4y 6z+3=0，即為P的坐標(biāo)應(yīng)滿足的條件.評(píng)述：空間兩點(diǎn) P (X1, y1, Z1 )、P(X2, y2, Z2)的中點(diǎn)為 (*_x2 , y2 , 亙 ),且1 Pl冋=；(Xi -X2)2 (yi - y2)2 (Zi -Z2)2例4 如圖，已知正方體 ABCD A'B'C'D'的棱長(zhǎng)為a, M為BD '的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC'上，且|A'N | = 3|NC'|，試求MN的長(zhǎng).19 解：以D為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為 所以 B (a, a, 0), A' (a, 0

4、, a), C ' (0, a, a), a 由于M為BD'的中點(diǎn)，取A'C'中點(diǎn)O',所以M (2因?yàn)閨 A'N |=3| NC'|,所以N為A'C'的四等分，從而a,D' ( , 0, a)，),O'( a2#iia s2 ' 2N為O 'C'的中點(diǎn)，故'N ( a4a) a) 根據(jù)空間兩點(diǎn)距離公式，可得a a 2 a 3a 2 a 2 |MN| = -(2-4)(4)(2-a)例5已知A(1,-2,11), B(4,2,3) , C(6,-1,4)，求證其為直角三角形1

5、8 略解：利用兩點(diǎn)間距離公式, 2 2 2由 AB =*89 , AC| =V75， BC =J14，從而 AC +|BC = AB ，結(jié)論得證一、CADCBBDCCA二、11 . ( 2a ,3a , 3a)；12. G ( a c b ) ； 13.以原點(diǎn)o為球心,以1為半徑的球面；3'3'314. (3,- 1，- 4)；22 ；三.、15解：設(shè)原點(diǎn)為 O,因?yàn)锳, B, C, D這4個(gè)點(diǎn)都在坐標(biāo)平面 xOy內(nèi),它們的豎坐標(biāo)都是0,而它們的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)可利用| AD |=3 , |AB |=5 寫(xiě)出,所以 A (3, 0, 0) , B ( 3 , 5 , 0) , C

6、 ( 0 , 5 , 0) , D ( 0 , 0 , 0);因?yàn)槠矫鍭'B'C'D'與坐標(biāo)平面xOy平行,且|AA'|=3 ,所以A' , B' , C', D'的豎坐標(biāo)都是3,而它們的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別與A , B , C , D的相同，所以A' (3 , 0 , 3), B'(3 , 5 , 3), C' (0 , 5 , 3) , D' (0 , 0 , 3);由于E分別是DB'中點(diǎn),所以它在坐標(biāo)平面 xOy上的射影為DB的中點(diǎn),從而E的橫坐標(biāo)和縱1 13 5 3坐標(biāo)分別是B

7、'的丄，同理E的豎坐標(biāo)也是B'的豎坐標(biāo)的丄，所以E (-)；2 22'2'23由F為BC '中點(diǎn)可知，F(xiàn)在坐標(biāo)平面xOy的射影為BC中點(diǎn)，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為 一和5,同333理點(diǎn)F在z軸上的投影是 AA'中點(diǎn)，故其豎坐標(biāo)為，所以F （ ，5，）.22216解：由圖形知，DA丄DC，DC丄DP，DP丄DA，故以D為原點(diǎn)，建立如圖空間坐標(biāo)系 D xyz. 因?yàn)镋, F，G，H分別為側(cè)棱中點(diǎn)，由立體幾何知識(shí)可知，平面EFGH與底面ABCD平行，從而這4個(gè)點(diǎn)的豎坐標(biāo)都為 P的豎坐標(biāo)的一半，也就是 b，由H為DP中點(diǎn)，得H （0，0，b）E在底面面上的投

8、影為 AD中點(diǎn)，所以E的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為 a和0,所以E （ a，0, b）， 同理 G （0， a， b）;F在坐標(biāo)平面xOz和yOz上的投影分別為點(diǎn) E和G，故F與E橫坐標(biāo)相同都是a，與G的縱坐標(biāo)也同為 a，又F豎坐標(biāo)為b，故F （ a，a，b）.17解：由于面BCD丄面ABD，從面BCD引棱DB的垂線CF即為面ABD的垂線，同理可得 AE即為面BCD的垂線，故只需求得 AE, CF, DE, DF的長(zhǎng)度即可。最后得 A （ I2 9 0 ），C （0,!6 I2 ）5 55 ' 518解：（1）假設(shè)在在y軸上存在點(diǎn) M，滿足| MA冃MB |.因M在y軸上，可設(shè)M （ 0，y，0），由| MA |=| MB |，可得顯然，此式對(duì)任意 y R恒成立這就是說(shuō)y軸上所有點(diǎn)都滿足關(guān)系|MA F| MB| .（2）假設(shè)在y軸上存在點(diǎn)M，使厶MAB為等邊三角形.由（1）可知，y軸上任一點(diǎn)都有| MA |=| MB |，所以只要| MA | = | AB |就可以使得 MAB 是等邊三角形.因?yàn)?| MA