高數(shù)第二章小結(jié)

1、求求 導(dǎo)導(dǎo) 法法 則則基本公式基本公式導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)xyx 0lim微微 分分xydy 關(guān)關(guān) 系系)( xodyydxydyydxdy 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)一、主要內(nèi)容0000()()()lim.hf xhf xfxh 0000( )()()lim.xxf xf xfxxx 0000()()()lim.xf xxf xfxx 000000000( )()( )()( )()limlimlimxxxxxxf xf xf xf xf xf xAAxxxxxx 00000( )()lim,( )()xxf xf xAAf xxfxxx 若稱 為在， 記作左導(dǎo)數(shù)的。00000( )()lim,( )()xxf

2、 xf xBBf xxfxxx 若稱為在， 記作右導(dǎo)數(shù)的。0( )f xx在在處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)：00(),xxd f xd yd xd x 00,()|xxfxy oxy( )yf x T0 xM1.幾何意義幾何意義)(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點在點表示曲線表示曲線 xfxfxMxfyxf切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為000()().yyfxxx 0001().()yyxxfx (),fxf 都對應(yīng)一個導(dǎo)數(shù)值這樣就定義了一個函數(shù)(),稱為簡數(shù)稱導(dǎo)函導(dǎo)數(shù)f：若函數(shù) 在某開區(qū)間(a,b)上每導(dǎo)函數(shù)一點可導(dǎo)( , )(,)fa b

3、xab則稱 在區(qū)間可導(dǎo)。對每一( )( )dydf xfxydxdx記作或或及 :( ),( , )fxfxxa b 1. 可導(dǎo)可導(dǎo) = 連續(xù)連續(xù)= 極限存在極限存在 2. 極限不存在極限不存在=不連續(xù)不連續(xù)=不可導(dǎo)不可導(dǎo) 極限存在：極限存在：00lim( )lim( )xxxxf xf x 連連 續(xù)：續(xù)：000lim( )lim( )()xxxxf xf xf x可可 導(dǎo)：導(dǎo)：000000( )()( )()limlimxxxxf xf xf xf xxxxx 00( lim ( )()0)xxf xf x可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系:凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù). .可

4、可導(dǎo)導(dǎo)連連續(xù)續(xù) 1( )( ) )( )( )af xbg xafxbg x （ ）() ,()fxg x四四導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)可可則則運運算算法法則則導(dǎo)導(dǎo)， 那那么么(2) ( )( )( )( )( )( )f xg xfxg xf xg x 2()()()()()(3) ()()0 )()()fxfxg xg xfxg xg xg x 導(dǎo)數(shù)運算法則導(dǎo)數(shù)運算法則() ,()fxg x進(jìn)進(jìn)行行四四則則運運算算的的前前提提條條件件是是注注意意：可可導(dǎo)導(dǎo)初等函數(shù)的求導(dǎo)問題1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 )(csc)(sec)(cot)(tan)(cos)(sin)()(x

5、xxxxxxC )cot()(arctan)(arccos)(arcsin)(ln)(log)()(xarcxxxxxeaaxx01 xxcosxsin x2secx2csc xx tansec xx cotcsc lnxaaxeaxln/1x/121/1x 21/1x )1/(12x )1/(12x 1111() ()()()fyfxfxfy 或或結(jié)論：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).xuxd yd yduyyud xdud x 或或 ()()()fxfxx ( )( )( ).y xfux 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)結(jié)論結(jié)論：因變量對自變量求導(dǎo),等于因變量對中間變

6、量求導(dǎo),乘以中間變量對自變量求導(dǎo).(鏈?zhǔn)椒▌t)反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)對數(shù)求導(dǎo)法 觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)方法求出導(dǎo)數(shù).-對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形數(shù)數(shù)多個函數(shù)相乘和冪指函多個函數(shù)相乘和冪指函xvxu112( ),( )()()()f xfxx xxxn例例1 1 求求 121()()()( ),()()xxxnf xfxx xxn例例2 2 求求 （ ）一般地一般地( )( )( )( ( )0)v xf xu x

7、u x)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf ( )( )( )( )( ) ( ) ln ( )( )v xv x u xfxu xv xu xu x )(ln)()(lnxuxvxf ( )( )( )( ( )0)v xf xu xu x推推廣廣：11(ln|)(ln|( )|)( )( )uf xfxuf x( )( )(ln |( ) |)fxf xf x 即即隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 定義定義: :( ).yy x由方程G(x,y)=0所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù).)(形式稱為顯函數(shù)形式稱為顯函數(shù)xfy ( ,)0G x y)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的

8、顯化問題問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :1.用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).2.利用一階微分形式的不變性利用一階微分形式的不變性,)()(間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx ( )1.;( )dydytdtdxdxtdt 利利用用微微分分形形式式的的不不變變性性：.)()()()()(322tttttdxyd (6) (6) 參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則2.利利用用復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)和和反反函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)注意：注意：1. 1. 求

9、求n階導(dǎo)數(shù)時階導(dǎo)數(shù)時,求出求出1-3或或4階后階后,不要急于不要急于合并合并,分析結(jié)果的規(guī)律性分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出寫出n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù).)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或( )ln(1),.nyxy例例：設(shè)設(shè)求求解解xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn高階導(dǎo) 2.利用萊比尼茲方法利用萊比尼茲方法000( )( )()( )( )( )( )( , )( ) ( ) ( ) ( )( )( ),nnkkn

10、knkyf xyg xa bnf x g xnf x g xC fx gxff gg 命題：設(shè)及在上有 階導(dǎo)數(shù)，則的 階導(dǎo)數(shù)成立下列公式：其中，).(.0 xfA 可可微微可可導(dǎo)導(dǎo)( ),( ),( ).yf xxdydf xdyfxx 函函數(shù)數(shù)在在任任意意點點 的的微微分分 稱稱為為函函數(shù)數(shù)的的微微分分 記記作作或或即即一元函數(shù)可導(dǎo)與可微的關(guān)系：一元函數(shù)可導(dǎo)與可微的關(guān)系：在一元微積分中在一元微積分中可導(dǎo)可導(dǎo)與與可微可微是一致的是一致的的微分形式總是的微分形式總是函數(shù)函數(shù)是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論)(,xfyx 微分形式的不變性微分形式的不變性dxxfdy)( 微分形式不

11、變性：微分形式不變性：微分的幾何意義)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 幾何意義幾何意義:(:(如圖如圖) ).,對應(yīng)的增量對應(yīng)的增量就是切線縱坐標(biāo)就是切線縱坐標(biāo)坐標(biāo)增量時坐標(biāo)增量時是曲線的縱是曲線的縱當(dāng)當(dāng)dyy xx0 P .,MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲線線段段切切線線段段的的附附近近在在點點很很小小時時當(dāng)當(dāng) 應(yīng)用：應(yīng)用：導(dǎo)數(shù)與微分微分學(xué)所要解決的兩類問題微分學(xué)所要解決的兩類問題:函數(shù)的增量問題函數(shù)的增量問題微分的概念微分的概念函數(shù)的變化率問題函數(shù)的變化率問題導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系:.可微可微可導(dǎo)可導(dǎo) 在一元微積分中在一元微積分中可

12、導(dǎo)可導(dǎo)與與可微可微是一致的是一致的).(xfdxdy ( ).dyfx dx 微分的求法,( )dyAxdyfx dx 求法求法: : 計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.1.基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(a

13、rccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則2()()()()duvdudvd CuCduuvduudvd uvvduudvdvv arc主要題型：主要題型：1。分段函數(shù)在分段點上可導(dǎo)性：利用定義。分段函數(shù)在分段點上可導(dǎo)性：利用定義,不論是一階不論是一階還是高階還是高階2。函數(shù)求導(dǎo)：。函數(shù)求導(dǎo)： 利用四則運算法則，基本積分表利用四則運算法則，基本積分表 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：鏈?zhǔn)椒▌t。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：鏈?zhǔn)椒▌t。 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo):復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法, 利用微分利用微分形式的不變性形式

14、的不變性 冪指函數(shù)求導(dǎo)：對數(shù)求導(dǎo)法冪指函數(shù)求導(dǎo)：對數(shù)求導(dǎo)法 積分法積分法原原 函函 數(shù)數(shù)基基本本積積分分表表第一換元法第一換元法 第二換元法第二換元法直接直接積分法積分法分部分部積分法積分法不不 定定 積積 分分幾種特殊類型幾種特殊類型函數(shù)的積分函數(shù)的積分一、主要內(nèi)容 ,IxI 對對于于定定義義在在區(qū)區(qū)間間 上上的的函函數(shù)數(shù)f(x)f(x)若若對對)()( xfxF 有有 ( ) ( ) F xf xI則則稱稱是是在在 區(qū)區(qū)間間上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)( )( ),f x dxf x 表表示示函函數(shù)數(shù)的的原原: :函函數(shù)數(shù)的的全全體體定定義義則稱則稱( )f x dx 的不定積分的不定積分

15、為為 )( xf記記號號分分積積數(shù)數(shù)函函積積被被被積表達(dá)式被積表達(dá)式項項數(shù)數(shù)常常 dxxf)(積分變量積分變量CxF )(不定積分 例例),2 , 1(已知某曲線過點已知某曲線過點處切線處切線點點其上其上),(yx 的兩倍，的兩倍，的斜率為的斜率為x求其方程求其方程解解則由題意知則由題意知xxf2)( ),2 , 1(曲線過點曲線過點又又,12C 1 C即即12 xy故所求曲線為故所求曲線為xy02x C )(xfdxx 2)( xfy 設(shè)曲線方程設(shè)曲線方程原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)),()( xfxF 若若( )( ),G xf x ( )( ),G

16、 xF xC則則 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況） dxxkf)()2(.)( dxxfk)0 ( k常數(shù)常數(shù)不定積分運算性質(zhì)：不定積分運算性質(zhì)：( )Fx dx ( )dF x )(dxxf dxxfdxd)( dxxfd)( )F xC ( )F xC )(xf)(xfdxxf)(不定積分是求導(dǎo)或求微分函數(shù)的逆運算不定積分是求導(dǎo)或求微分函數(shù)的逆運算 問題問題1:1:曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積問題問題2:2:變速直線運動的路程變速直線運動的路程定積分定積分定積分定積分的性質(zhì)的性質(zhì)定積分的定

17、積分的計算法計算法牛頓牛頓- -萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容注意注意：（1） 積積分分值值僅僅與與被被積積函函數(shù)數(shù)及及積積分分區(qū)區(qū)間間有有關(guān)關(guān)， badxxf)( badttf)( baduuf)(（2）定積分是一數(shù)值）定積分是一數(shù)值. （3 3）當(dāng)函數(shù)）當(dāng)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上的定積分存在上的定積分存在時，時， 而而與與積積分分變變量量的的字字母母無無關(guān)關(guān).稱稱)(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上上可積可積. baIdxxf)(iinixf )(lim10 積積分分區(qū)區(qū)間間,ba積分上限積分上限積分下限積分下限定積分 , 0)( xf

18、baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值的負(fù)值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 定積分的幾何意義幾何意義：幾何意義：積取負(fù)號積取負(fù)號軸下方的面軸下方的面在在軸上方的面積取正號；軸上方的面積取正號；在在數(shù)和數(shù)和之間的各部分面積的代之間的各部分面積的代直線直線的圖形及兩條的圖形及兩條軸、函數(shù)軸、函數(shù)它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)( 當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)時時，1 1：2 2： 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上有界，上有界，稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積

19、積. .且且只只有有有有限限個個間間斷斷點點，則則)(xf在在定積分存在的充分條件區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. .3 3： 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上單調(diào)有界，上單調(diào)有界， 則則)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. .對定積分的對定積分的補(bǔ)充規(guī)定補(bǔ)充規(guī)定:（1）當(dāng)）當(dāng)ba 時，時，0)( badxxf；（2）當(dāng)當(dāng)ba 時時， abbadxxfdxxf)()(.說明說明 在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小在，且不考慮積分上下限的大小定積分的性質(zhì) badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.補(bǔ)充補(bǔ)充：不論：不論 的相對

20、位置如何的相對位置如何, 上式總成立上式總成立.cba,假設(shè)假設(shè)bca 性質(zhì)性質(zhì)3 3 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數(shù)數(shù)).性質(zhì)性質(zhì)2 2 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.性質(zhì)性質(zhì)1 1（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）則則0)( dxxfba. . )(ba dxba 1dxba ab .性質(zhì)性質(zhì)4 4性質(zhì)性質(zhì)5 5如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上0)( xf，（用于比較兩個函數(shù)積（用于比較兩個函數(shù)積分值大?。┓种荡笮。┬再|(zhì)性質(zhì)5 5的推論：的推論：則則dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba (

21、(1 1) ) 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ， dxxfba )(dxxfba )(.)(ba （2）則則 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，設(shè)設(shè)M及及m分分別別是是函函數(shù)數(shù)性質(zhì)性質(zhì)6 6（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則在在積積分分區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性質(zhì)性質(zhì)7 7（定積分中值定理）（定積分中值定理）積分中值公式積分中

22、值公式積分中值公式的幾何解釋：積分中值公式的幾何解釋：xyoab )( f使使得得以以區(qū)區(qū)間間,ba為為 在區(qū)間在區(qū)間,ba上至少存在一上至少存在一個點個點 ，以以曲曲線線)(xfy 底底邊邊，為曲邊的曲邊梯形的面積為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為等于同一底邊而高為)( f的的一一個個矩矩形形的的面面積積。積積分分上上限限函函數(shù)數(shù)及及導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),)( baCxf 設(shè)設(shè), bax 則對則對的函數(shù)的函數(shù)是是 )(xdxxfxa abxyo)(xfy x)(x 記為記為 xadttf)(xx)(x 積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)定定理理3 3若若( ) , ,f xC a b )()(xfxF (

23、)baf x dx 則則( )baF x ( )( )F bF a微積分學(xué)第二基本定理微積分學(xué)第二基本定理Newton-Leibniz 公式公式 （不定積分和定積分的關(guān)系）（不定積分和定積分的關(guān)系）1 定理定理,)( baCxf 若若, )( baDdttfxa 則則 xadttfdxd)( 且且)(xf 的一個原函數(shù)的一個原函數(shù)是是即即 )( )( xfdttfxa 微積分學(xué)第一基本定理原函數(shù)存在定理微積分學(xué)第一基本定理原函數(shù)存在定理 （連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)一定存在）（連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)一定存在） 2定定理理 ( ), ( )f xx 若若連連續(xù)續(xù)可可導(dǎo)導(dǎo)( )( )xadf t dtdx 則則

24、( )( )fxx 微積分學(xué)基本定理：微積分學(xué)基本定理： )()()(xxdttfdxd )(xf )(x )(xf )(x 原理：原理： )()()(xxdttf cxdttf)()( )()(xcdttf )()(xcdttf )()(xcdttf 二、典型例題例例1 1).0(),100()2)(1()(fxxxxxf 求求設(shè)設(shè)解解0)0()(lim)0(0 xfxffx)100()2)(1(lim0 xxxx!100 例例2 2.,1111ln411arctan21222yxxxy 求求設(shè)設(shè)解解,12xu 設(shè)設(shè),11ln41arctan21 uuuy則則)1111(41)1(212 uuuyu411u ,2142xx )1(2 xux,12xx .1)2(123xxxyx .,)0, 0()(22dxydyxxyxfyyx求求所確定所確定由方程由方程設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 例例4 4解解兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù),ln1ln1xyyx ,lnlnxxyy 即即(1ln )ln1,(1)y yx ,ln11lnyxy 2)ln1(1)1(ln)1(