線性代數(shù)—實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化PPT課件

1、1 并非所有方陣都可對(duì)角化, ,但是實(shí)對(duì)稱實(shí)對(duì)稱矩陣矩陣必可對(duì)角化. . 為了討論實(shí)對(duì)稱矩陣的有關(guān)性質(zhì)，需要研究向量?jī)?nèi)積和正交的概念和性質(zhì)。第1頁(yè)/共37頁(yè)2定義定義的的內(nèi)內(nèi)積積),( 定定義義為為： 兩個(gè)n維向量TnTnbbbaaa),(,),(2121 nnbababa 2211),( 向量的內(nèi)積具有如下基本特性：(1) (1) ),(),( 證略.( (2 2) ) ),(),(),( ( (3 3) ) ),(),( kk （k為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)） ( (4 4) ) 0),( ， 0),( 當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng) 。 . T 一、向量的內(nèi)積一、向量的內(nèi)積, 正交和長(zhǎng)正交和長(zhǎng)度度第2頁(yè)/共37頁(yè)3

2、向量長(zhǎng)度的性質(zhì):(1) (1) 0 ，0 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)0 ； 記記),( ，稱稱為為向向量量 的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度。 由定義可知.22221naaa 如如果果1 ，則則稱稱 為為單單位位向向量量。 定義定義( (2 2) ) kk, ,（k為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)） 例例1證證證證明明：對(duì)對(duì)任任意意非非零零向向量量 ， 1為為單單位位向向量量。 1 1.1 1稱稱為為 的的單單位位化化向向量量。 第3頁(yè)/共37頁(yè)4二、正交向量組和正交矩陣二、正交向量組和正交矩陣當(dāng)當(dāng)0),( 時(shí)時(shí)，稱稱向向量量 與與正正交交。 定義定義顯然零向量與任何向量都正交。n維基本單位向量組 是兩兩正交的。n ,21,)0, 0, 1(

3、1T ,)0, 1, 0(2T ,)1, 0, 0(Tn ,顯然有,0),( ji ), 1,(njiji 第4頁(yè)/共37頁(yè)5設(shè)設(shè))3 , 0 , 1( ，)1 , 2, 1( , ,求求一一個(gè)個(gè) 3 維維單單位位向向量量 ，使使它它與與向向量量 ,都都正正交交。 例例2解解設(shè)設(shè)),(321xxx ，則則 02),(03),(32131xxxxx 121301A,210301 求求得得通通解解為為 )1, 2, 3(k， 特特別別取取1 k， 即即得得 )1 , 2 , 3( ， 將將向向量量 單單位位化化， 即得所求向量為. )141,142,143(1 第5頁(yè)/共37頁(yè)6定義定義s ,21

4、若非零向量?jī)蓛烧唬瑒t稱之為正交向量組正交向量組。定理定理 正交向量組必線性無(wú)關(guān)。證證設(shè)s ,21是正交向量組，, 0021111 T由由.01 k從而有從而有,02 skk同理可得同理可得.,21線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)故故s 使使設(shè)有數(shù)設(shè)有數(shù),21skkk,02211 sskkk 得得左左乘乘上上式式兩兩端端以以,1T ,0111 Tk第6頁(yè)/共37頁(yè)7施密特正交化方法施密特正交化方法施施密密特特正正交交化化方方法法是是將將一一組組線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的向向量量s ,21轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為與與之之等等價(jià)價(jià)的的一一組組正正交交向向量量組組的的方方法法，具具體體程程序序如如下下： ,11 ,),(),(111

5、1222 ,),(),(),(),(222231111333 .),(),(),(),(),(),(11122221111 ssssssss 可可以以證證明明，s ,21是是一一組組兩兩兩兩正正交交的的向向量量，且且與與s ,21等等價(jià)價(jià)。 證略。第7頁(yè)/共37頁(yè)8例例3解解用施密特正交化方法，將下列向量組正交化：TTT)1, 1 , 5 , 3(,)4 , 0 , 1, 1(,)1 , 1 , 1 , 1(321 ,)1, 1, 1, 1(11T TT)1 , 1 , 1 , 1(44)4 , 0 , 1, 1( ,)3 , 1, 2, 0(T 1111222),(),( 222231111

6、333),(),(),(),( TTT)3 , 1, 2, 0(1414) 1 , 1 , 1 , 1 (48) 1, 1 , 5 , 3( .)0 , 2, 1 , 1(T 第8頁(yè)/共37頁(yè)9例例4解解將向量組 014,131,121321 標(biāo)準(zhǔn)正交化. . 121 131,11135 ,11 1111222),(),( 222231111333),(),(),(),( 111 121 014,60631 46,1112 265 3,1013 第9頁(yè)/共37頁(yè)10,1211 ,1112 ,1013 再單位化,121611 ,111312 .101213 .,321即為所求即為所求 第10頁(yè)/

7、共37頁(yè)11已已知知T)1, 1, 1(1 ，求求一一組組非非零零向向量量32, ，使使321, 兩兩兩兩正正交交. 例例5解解即即應(yīng)應(yīng)滿滿足足方方程程, 0,132 xT ,0321 xxx.110,10121 它的基礎(chǔ)解系為再正交化，,12 101211101111223),(),( .12121 第11頁(yè)/共37頁(yè)12正交矩陣的性質(zhì)：(1) 若若Q為正交矩陣，則為正交矩陣，則1 Q； (2) 若若Q為為正正交交矩矩陣陣，則則Q可可逆逆，且且TQQ 1； (3) 若若 P 與與Q都是正交矩陣，則都是正交矩陣，則 PQ也是正交矩陣。也是正交矩陣。 證證)()(PQPQT)(PQPQTT QP

8、PQTT)( 從從而而有有 EQQT ； EQQT QQT .E 定義定義若n階矩陣Q 滿足,EQQT 則稱 Q為 正交矩陣。正交矩陣。第12頁(yè)/共37頁(yè)13 Q為正交矩陣的充分必要條件是Q的列列向量組是單位正交向量組證明證明定理定理, ),(21nQ EQQnTnTTT ),(2121 EnTnTnTnnTTTnTTT 212221212111第13頁(yè)/共37頁(yè)14), 2 , 1,(, 0, 1 njijijiijTji 當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) n ,21即即是單位正交向量組EnTnTnTnnTTTnTTT 212221212111同理, 由EQQT 可知Q的行行向量組是單位正交向量組.第14頁(yè)/共37

9、頁(yè)15; )2(1TQQ ; )1(EQQT Q為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立：;EQQT (3) Q的行向量是兩兩正交的單位向量.(4) Q的列向量是兩兩正交的單位向量.第15頁(yè)/共37頁(yè)16例例6 判別下列矩陣是否為正交矩陣,12131 21 12131 211 ) 1 ( .97 94949491 98949891 )2( 解解(1),021311)21()21(1 不是正交矩陣第16頁(yè)/共37頁(yè)17(2)T 979494949198949891所以它是正交矩陣,100010001 979494949198949891 979494949198949891第17頁(yè)/共37頁(yè)18

10、2121000021 2121 2121212121 2121P練習(xí)練習(xí)驗(yàn)證矩陣是正交矩陣. P 每個(gè)列向量都是單位向量，且兩兩正交，所以P是正交矩陣。第18頁(yè)/共37頁(yè)19實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù). .三、實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化三、實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化定理定理并非所有方陣都可對(duì)角化, ,但是實(shí)對(duì)稱矩陣必可對(duì)角化. .證證證略.實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量彼此正交. .定理定理只證兩個(gè)特征向量的情況. .設(shè)設(shè)A是是一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣， , A, , A),( ),( ),( ),( A TA )( TTA AT ),( A , ),( ,0),( )( ，而而 .0),(

11、 第19頁(yè)/共37頁(yè)20定理定理證略.設(shè)設(shè)A是是一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣，則則存存在在正正交交矩矩陣陣P，使使APP1 為為對(duì)對(duì)角角陣陣。 具體計(jì)算步驟如下：具體計(jì)算步驟如下：(1) 求出實(shí)對(duì)稱矩陣A的全部特征值； (2) 若特征值是單根單根，則求出一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，并加以單位化單位化； 若特征值是重根重根，則求出重?cái)?shù)個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，然后用施密特正交化施密特正交化方法化為正交組，再單位化； (3) 將這些兩兩正交的單位特征向量按列列拼起來(lái)，就得到了正交矩陣P P。 第20頁(yè)/共37頁(yè)21例例7解解設(shè),633312321 A求正交陣P，使使APP1 為為對(duì)對(duì)角角陣陣. . 633

12、312321 AE, )9)(1( ，01 ,1111 ，12 ,0112 ，對(duì)對(duì)93 ,2113 再單位化, ,111311 ,011212 ,211613 第21頁(yè)/共37頁(yè)22,111311 ,011212 ,211613 于是所求正交陣為,62031612131612131),(321 P使.9101 APP第22頁(yè)/共37頁(yè)23例例8解解324262423 AE,)7)(2(2 設(shè)求正交陣P，使使APP1 為為對(duì)對(duì)角角陣陣. . ,324262423 A31cc 327260427 ，對(duì)對(duì)21 特征向量,)2,1,2(1T 5242824252AE,000120141 31rr 第2

13、3頁(yè)/共37頁(yè)24324262423 AE,)7)(2(2 ，對(duì)對(duì)72 特征向量,)0,2,1(2T 4242124247AE,000000212 ,)1,0,1(3T 021 1013 ,52451 15,5243 第24頁(yè)/共37頁(yè)25,2121 ,0212 ,5243 再單位化, ,拼起來(lái)得.45503245252314545132 P使.7721 APP第25頁(yè)/共37頁(yè)26解解例例9 設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A A的特征值是1,2,3；屬于特征值1,2的特征向量分別為 T)1 , 1, 1(1 , ,T)1, 2, 1(2 , , (1)(1) 求屬于特征值3的特征向量；(2)(2) 求矩陣

14、A. . 設(shè)設(shè)屬屬于于特特征征值值 3 的的特特征征向向量量為為3 , , 矩陣的屬于不同特征值的特征向量彼此正交, ,于是有 由于實(shí)對(duì)稱031 T,032 T, 即解齊次線性方程組, ,其系數(shù)矩陣為 121111,030111 第26頁(yè)/共37頁(yè)27基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系為為T)1 , 0 , 1(, , 121111,030111 屬于特征值3的特征向量為 Tk)1 , 0 , 1(3 , ,k為任意常數(shù)為任意常數(shù); ; (2)(2)記記 111021111P， 求求得得 303121222611P， 1321 PPA所以.13252102521361 T)1 , 1, 1(1 , ,T)1,

15、2, 1(2 , , 第27頁(yè)/共37頁(yè)28解解 20212022EA 214 0 . 2, 1, 4321 得得,020212022)1( A 310130004)2(A例例1010 對(duì)下列各實(shí)對(duì)稱矩陣，分別求出正交矩陣 ，使 為對(duì)角陣.APP1 P(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值A(chǔ)第28頁(yè)/共37頁(yè)29 的特征向量的特征向量求出求出由由第二步第二步AxEAi, 0 得得由由對(duì)對(duì), 04, 41 xEA 04202320223232121xxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系 .1221 得得由由對(duì)對(duì), 0, 12 xEA 0202202323121xxxxxx解之得基礎(chǔ)解系.2122 第2

16、9頁(yè)/共37頁(yè)30 得得由由對(duì)對(duì), 02, 23 xEA 02202320243232121xxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系.2213 第三步第三步 將特征向量正交化將特征向量正交化.,3, 321321故它們必兩兩正交故它們必兩兩正交的特征向量的特征向量個(gè)不同特征值個(gè)不同特征值的的是屬于是屬于由于由于 A第四步第四步 將特征向量單位化將特征向量單位化. 3 , 2 , 1, iiii 令令第30頁(yè)/共37頁(yè)31,3132321 得得,3231322 .3232313 ,22121212231,321 P作作.200010004 1 APP則則第31頁(yè)/共37頁(yè)32 310130004)2(A 310130004EA ,422 . 4, 2321 得特征值得特征值 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系由由對(duì)對(duì), 02, 21 xEA 1101 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系由由對(duì)對(duì), 04, 432 xEA 第32頁(yè)/共37頁(yè)33.110,00132 ,32恰好正交恰好正交與與 .,321兩兩正交兩兩正交所以所以 得得令令單位化單位化再將再將3 , 2 , 1,321 iiii ,212101 ,0012 .212103 第33頁(yè)/共37頁(yè)34于是得正交陣 2102121021010,