高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 4.2.2 最大值、最小值問題二作業(yè) 北師大版選修11

1、4.2.2 最大值、最小值問題（二）基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.內(nèi)接于半徑為r的半圓中的矩形，周長最大的矩形邊長為()a.和r b.r和rc.r和r d. 以上都不對解析：選b.設(shè)矩形一邊長為x，則另一邊長為2，則l2x4(0<x<r)，l2 .令l0，解得x1r，x2r(舍去)當(dāng)0<x<r時，l>0，當(dāng)r<x<r時，l<0，當(dāng)xr時，l取最大值，即周長最大的矩形的邊長為r，r.2.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本：c(x)1 200x3，產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品的單價(jià)為50元，總利潤最大時，產(chǎn)量應(yīng)定為()a25件 b20件c15件

2、d30件解析：選a.設(shè)產(chǎn)品單價(jià)為a元，產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，即a2xk，由題知k250 000，則a2x250 000，所以a.總利潤y500x31 200(x>0)，yx2.由y0，得x25，當(dāng)x(0，25)時，y>0；當(dāng)x(25，)時，y<0，所以x25時，y取最大值3.內(nèi)接于半徑為r的球且體積最大的圓錐的高為()ar b2rc.r d.r解析：選c.設(shè)圓錐高為h，底面半徑為r，則r2(rh)2r2，r22rhh2，vr2hh(2rhh2)rh2h3，vrhh2.令v0得hr或h0(舍去)當(dāng)0<h<r時，v>0；當(dāng)<h<2r時，v

3、<0.因此當(dāng)hr時，圓錐體積最大4.如圖，在等腰梯形abcd中，cd40，ad40，梯形abcd的面積最大時，ab等于()a40 b60c80 d120解析：選c.設(shè)bad，則ab402×40cos ，梯形高h(yuǎn)40sin .從而梯形面積s1 600(1cos )sin .故s1 600(cos cos 2)令s0，得cos 1(舍)，cos ，即，此時ab80，即當(dāng)ab80時，梯形有最大面積1 200.5.設(shè)底面為等邊三角形的直棱柱的體積為v，則其表面積最小時，底面邊長為()a. b.c. d2解析：選c.設(shè)直棱柱的底面邊長為a，高為h.則a2·hv，h.則表面積s(

4、a)3aha2a2.s(a)a.令s(a)0，得a.當(dāng)0a時，s(a)0；當(dāng)a時，s(a)0.當(dāng)a時，s(a)最小6.用總長為14.8 m的鋼條制作一個長方體容器的框架，若所制作容器的底面的一邊比高長0.5 m，則當(dāng)高為_米時，容器的容積最大解析：由題意直接列出函數(shù)表達(dá)式，再用導(dǎo)數(shù)求最值，設(shè)高為x米，則vx(x0.5)(3.22x)，v6x24.4x1.60，解15x211x40，得x1，x(舍去)答案：17.電動車是現(xiàn)在比較流行的交通工具之一，電動自行車的耗電量y與速度x之間有如下關(guān)系：yx3x240x(x>0)，為使耗電量最小，則速度應(yīng)為_解析：由yx239x400，得x1或40，由

5、于0<x<40時，y<0；當(dāng)x>40時，y>0.所以，當(dāng)x40時，y有最小值答案：408.已知函數(shù)f(x)xln x若對于任意x不等式2f(x)x2ax3恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析：由題意知，2xln xx2ax3，則a2ln xx.設(shè)h(x)2ln xx(x0)，則h(x)1.當(dāng)x時，h(x)0，h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，e時，h(x)0，h(x)單調(diào)遞增由h23e，h(e)2e，hh(e)2e40，可得hh(e)所以當(dāng)x時，h(x)的最大值為h23e.故a23e.答案：23e，)9.一矩形鐵皮的長為8 cm，寬為5 cm，在四個角上截去四個相同的小正

6、方形，制成一個無蓋的小盒子，問小正方形的邊長為多少時，盒子容積最大？解：設(shè)小正方形的邊長為x cm，則盒子底面長為(82x) cm，寬為(52x) cm.v(82x)(52x)x4x326x240x(0<x<)，v12x252x40，令v0，得x1或x(舍去)v極大值v(1)18，在定義域內(nèi)僅有一個極大值，vmax18.即小正方形邊長為1 cm時，盒子容積最大為18 cm3.10.某商品每件成本5元，售價(jià)14元，每星期賣出75件如果降低價(jià)格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)m與商品單價(jià)的降價(jià)值x(單位：元，0x<9)的平方成正比，已知商品單價(jià)降低1元時，一星期多賣出5

7、件(1)將一星期的商品銷售利潤y表示成x的函數(shù)；(2)如何定價(jià)才能使一個星期的商品銷售利潤最大？解：(1)依題意，設(shè)mkx2，由已知有5k·12，從而k5.m5x2.y(14x5)(755x2)5x345x275x675(0x<9)(2)y15x290x7515(x1)(x5)由y>0得1<x<5，由y<0得0x<1或5<x<9.可知函數(shù)y在0，1)上遞減，在(1，5)遞增，在(5，9)上遞減，從而函數(shù)y取得最大值的可能位置為x0或是x5.y(0)675，y(5)800，當(dāng)x5時，ymax800.所以商品每件定價(jià)為9元時，可使一個星期的

8、商品銷售利潤最大能力提升1.函數(shù)ln xxem2m1對任意的正實(shí)數(shù)x恒成立，則m的取值范圍是()a(，01，) b0，1ce，2e d(，e)2e，)解析：選a.由題意知em2m1在(0，)上恒成立，設(shè)f(x)(x>0)，f(x)，當(dāng)x(0，e)時，f(x)>0，當(dāng)x(e，)時，f(x)<0，f(x)最大f(e)，em2m1e1，m2m11，即m2m0，解得m0或m1.2.要做一個底面為長方形的帶蓋的箱子，其體積為72 cm3，其底面兩鄰邊邊長之比為12，那么長為_，寬為_，高為_時，可使表面積最小解析：設(shè)體積為v，相鄰兩邊長分別為x cm，2x cm，高為y cm，則v2x

9、2·y，y，s2(2x2xy2xy)4x26xy4x2.s8x，令s0，得x3.長為6 cm，寬為3 cm，高為4 cm時可使表面積最小答案：6 cm3 cm4 cm3.已知f(x)2ax，是否存在正數(shù)a，使對任意x1，x2，1，|f(x1)f(x2)|<1都成立？解：f(x)2a，x，1，a>0，f(x)>0，即f(x)在上是增函數(shù)f(x)的最大值為f(1)2a1，f(x)的最小值為fa4.由已知，得得a<2，與a是正數(shù)矛盾，故不存在這樣的正數(shù)a.4. 如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為2，短半軸長為1，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底ab是半橢圓

10、的短軸，上底cd的端點(diǎn)在橢圓上，記|cd|2x，梯形的面積為s.(1)求面積s以x為自變量的函數(shù)解析式，并寫出其定義域；(2)求面積s的最大值解：(1)依題意，以ab的中點(diǎn)o為原點(diǎn)，ab所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則點(diǎn)c(x，y)滿足方程x21，且x>0，y>0，y2(0<x<1)s(2x2)·22(x1)(0<x<1)(2)令f(x)s24(x1)2(1x2)(0<x<1)，則f(x)8(x1)2(12x)令f(x)0，解得x或x1(舍去)當(dāng)0<x<時，f(x)>0，f(x)為增函數(shù)；當(dāng)<x<1時，f(x)<0，f(x)為減函數(shù)f()是f(x)在區(qū)間(0，1)上的極大值，也是最大值，且f()，此時s.故當(dāng)x時，s取得最大值.6edbc3191f2351dd815ff33d4435f