高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)學(xué)案 新人教A版選修22

1、1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系(易混點(diǎn))2.掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法(重點(diǎn))3.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(重點(diǎn)、難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)yf(x)：f(x)的正負(fù)f(x)的單調(diào)性f(x)0單調(diào)遞增f(x)0單調(diào)遞減思考：如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0，那么函數(shù)f(x)有什么特性？提示f(x)是常數(shù)函數(shù)2函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)與導(dǎo)數(shù)值大小的關(guān)系一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)，在區(qū)間(a，b)上：導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值函數(shù)值變化函數(shù)的圖象越大快比較“陡峭”(向上或向下)越小慢比較“平緩”(向上

2、或向下)基礎(chǔ)自測(cè)1思考辨析(1)函數(shù)f(x)在定義域上都有f(x)>0，則函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增()(2)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)越大，函數(shù)在該點(diǎn)處的切線越“陡峭”()(3)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上變化越快，函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越大()答案(1)×(2)×(3)2函數(shù)f(x)2xsin x在(，)上是()a增函數(shù)b減函數(shù)c先增后減d不確定af(x)2xsin x，f(x)2cos x0在(，)上恒成立，f(x)在(，)上是增函數(shù)3函數(shù)yf(x)的圖象如圖1­3­1所示，則導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象可能是()圖1­3­1d函數(shù)f(x

3、)在(0，)，(，0)上都是減函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，當(dāng)x0時(shí)，f(x)0.4函數(shù)f(x)exx的單調(diào)遞增區(qū)間為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062036】解析f(x)exx，f(x)ex1.由f(x)0得，ex10，即x0.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)答案(0，)合 作 探 究·攻 重 難函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系(1)設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，yf(x)的圖象如圖1­3­2所示，則導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象可能為()圖1­3­2 (2)已知f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f(x)的圖象如圖1­3­3所示，則f(x)的圖象只可能是

4、()圖1­3­3(1)d(2)d(1)由函數(shù)的圖象可知：當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)始終為正；當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)先增后減再增，即導(dǎo)數(shù)先正后負(fù)再正，對(duì)照選項(xiàng)，應(yīng)選d.(2)從f(x)的圖象可以看出，在區(qū)間內(nèi)，導(dǎo)數(shù)單調(diào)遞增；在區(qū)間內(nèi)，導(dǎo)數(shù)單調(diào)遞減即函數(shù)f(x)的圖象在內(nèi)越來越陡，在內(nèi)越來越平緩，由此可知，只有選項(xiàng)d符合規(guī)律方法研究函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間關(guān)系的方法研究一個(gè)函數(shù)的圖象與其導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系時(shí)，注意抓住各自的關(guān)鍵要素，對(duì)于原函數(shù)，要注意其圖象在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；而對(duì)于導(dǎo)函數(shù)，則應(yīng)注意其函數(shù)值在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)大于零，在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)小于零，并分析這些區(qū)間與原

5、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致.跟蹤訓(xùn)練1已知yxf(x)的圖象如圖1­3­4所示(其中f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))下面四個(gè)圖象中，yf(x)的圖象大致是()圖1­3­4c當(dāng)0x1時(shí)，xf(x)0，f(x)0，故f(x)在(0,1)上為減函數(shù)；當(dāng)x1時(shí)，xf(x)0，f(x)0，故yf(x)在(1，)上為增函數(shù)故選c.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間角度1不含參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)f(x)3x22ln x；(2)f(x)x2·ex；(3)f(x)x. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062037】解(1)函數(shù)的定義域?yàn)閐(0，)f(x)6x，令f(x

6、)0，得x1，x2(舍去)，用x1分割定義域d，得下表：xf(x)0f(x)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)函數(shù)的定義域?yàn)閐(，)f(x)(x2)exx2(ex)2xexx2exex(2xx2)，令f(x)0，由于ex0，x10，x22，用x1，x2分割定義域d，得下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，0)和(2，)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2)(3)函數(shù)的定義域?yàn)閐(，0)(0，)f(x)1，令f(x)0，得x11，x21，用x1，x2分割定義域d，得下表：x(，1)1(1,0)(0,1)1(1，)f(x)00f(x)函數(shù)f(x

7、)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,0)和(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(，1)和(1，)角度2含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間討論函數(shù)f(x)ax2x(a1)ln x(a0)的單調(diào)性思路探究解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)ax1.(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)，由f(x)0，得x1，由f(x)0，得0x1.f(x)在(0,1)內(nèi)為減函數(shù)，在(1，)內(nèi)為增函數(shù)(2)當(dāng)a0時(shí)，f(x)，a0，0.由f(x)0，得x1，由f(x)0，得0x1.f(x)在(0,1)內(nèi)為減函數(shù)，在(1，)內(nèi)為增函數(shù)綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0,1)內(nèi)為減函數(shù)，在(1，)內(nèi)為增函數(shù). 規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)

8、f(x)的定義域(2)求導(dǎo)數(shù)f(x)(3)由f(x)>0(或f(x)<0)，解出相應(yīng)的x的范圍當(dāng)f(x)>0時(shí)，f(x)在相應(yīng)的區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)f(x)<0時(shí)，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)(4)結(jié)合定義域?qū)懗鰡握{(diào)區(qū)間跟蹤訓(xùn)練2設(shè)f(x)exax2，求f(x)的單調(diào)區(qū)間. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062038】解f(x)的定義域?yàn)?，)，f(x)exa.若a0，則f(x)0，所以f(x)在(， )上單調(diào)遞增若a0，則當(dāng)x(，ln a)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(ln a，)時(shí)，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)

9、在(，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增.已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍探究問題1在區(qū)間(a，b)內(nèi)，若f(x)0，則f(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞增，反之也成立嗎？提示：不一定成立比如yx3在r上為增函數(shù)，但其在x0處的導(dǎo)數(shù)等于零也就是說f(x)0是yf(x)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件2若函數(shù)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)遞增(或遞減)函數(shù)，則f(x)滿足什么條件？提示：f(x)0(或f(x)0)已知函數(shù)f(x)x3ax1為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍思路探究解由已知得f(x)3x2a，因?yàn)閒(x)在(，)上是單調(diào)增函

10、數(shù)，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2對(duì)xr恒成立，因?yàn)?x20，所以只需a0.又因?yàn)閍0時(shí)，f(x)3x20，f(x)x31在r上是增函數(shù)，所以a0.母題探究：1.(變條件)若函數(shù)f(x)x3ax1的單調(diào)減區(qū)間為(1,1)，求a的取值范圍解由f(x)3x2a，當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，f(x)在(，)上為增函數(shù)當(dāng)a0時(shí)，令3x2a0，得x±，當(dāng)x時(shí)，f(x)0.f(x)在上為減函數(shù)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，1，即a3.2(變條件)若函數(shù)f(x)x3ax1在(1,1)上單調(diào)遞減，求a的范圍解由題意可知f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立，即，a3.即a的取值范圍是3，

11、)3(變條件)若函數(shù)f(x)x3ax1在(1,1)上不單調(diào)，求a的范圍解f(x)x3ax1，f(x)3x2a，由f(x)0，得x±(a0)，f(x)在區(qū)間(1,1)上不單調(diào)，01，即0a3.故a的取值范圍為(0,3)規(guī)律方法1.解答本題注意：可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)的充要條件是f(x)0(或f(x)0)在(a，b)上恒成立，且f(x)在(a，b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.2已知f(x)在區(qū)間(a，b)上的單調(diào)性，求參數(shù)范圍的方法(1)利用集合的包含關(guān)系處理f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(減)的問題，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集；(2)利用不等式的

12、恒成立處理f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(減)的問題，則f(x) 0(f(x)0)在(a，b)內(nèi)恒成立，注意驗(yàn)證等號(hào)是否成立當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1設(shè)函數(shù)f(x)的圖象如圖1­3­5所示，則導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象可能為()圖1­3­5cf(x)在(，1)，(4，)上是減函數(shù)，在(1,4)上為增函數(shù)，當(dāng)x1或x4時(shí)，f(x)0；當(dāng)1x4時(shí)，f(x)0.故選c.2函數(shù)f(x)(x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062039】a(，2)b(0,3) c(1,4)d(2，)df(x)ex(x3)ex(x2)ex，由f(x)0得(x2)ex

13、0，x2.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，)3函數(shù)yx2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為()a(1,1b(0,1c1，)d(0，)b函數(shù)yx2ln x的定義域?yàn)?0，)，yx，令y0，則可得0x1.4若函數(shù)f(x)x3ax2x6在(0, 1)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062040】a1，)ba1c(，1d(0,1)af(x)3x22ax1，且f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，不等式3x22ax10在(0,1)內(nèi)恒成立，f(0)0，且f(1)0，a1.5試求函數(shù)f(x)kxln x的單調(diào)區(qū)間解函數(shù)f(x)kxln x的定義域?yàn)?0，)，f(x)k.當(dāng)k0時(shí)，kx10，f(x)0，則f(x)在(0，)上單調(diào)遞減當(dāng)k0時(shí)，由f(x)0，即0，解得0x；由f(x)0，即0，解得x.當(dāng)k0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)k0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)；當(dāng)k0時(shí)，f(x