高考熱點(diǎn)專題-有關(guān)彈簧問題的分析與計(jì)算Word版

1、1 / 34彈簧類問題在高中物理中占有相當(dāng)重要的地位，且涉及到的物理問題多是一些綜合性較強(qiáng)、物理過程又比較復(fù)雜的問題，從受力的角度看，彈簧上的彈力是變力；從能量的角度看，彈簧是個(gè)儲能元件；因此，關(guān)于彈簧的問題，能很好的考察學(xué)生的分析綜合能力，備受高考命題專家的青睞。解決這些問題除了一般要用動量守恒定律和能量守恒定律這些基本規(guī)律之外，搞清物體的運(yùn)動情景，特別是彈簧所具有的一些特點(diǎn)，也是正確解決這類問題的重要方法。在有關(guān)彈簧類問題中，要特別注意使用如下特點(diǎn)和規(guī)律：1.彈簧的彈力是一種由形變而決定大小和方向的力。當(dāng)題目中出現(xiàn)彈簧時(shí)，要注意彈力的大小與方向時(shí)刻要與當(dāng)時(shí)的形變相對應(yīng)。在題目中一般應(yīng)從彈簧

2、的形變分析入手，先確定彈簧原長位置、現(xiàn)長位置，找出形變量x與物體空間位置變化的幾何關(guān)系，分析形變所對應(yīng)的彈力大小、方向，以此來分析計(jì)算物體運(yùn)動狀態(tài)的可能變化。2. 彈簧的彈力不能突變，它的變化要經(jīng)歷一個(gè)過程，這是由彈簧形變的改變要逐漸進(jìn)行決定的。在瞬間內(nèi)形變量可以認(rèn)為不變，因此，在分析瞬時(shí)變化時(shí)，可以認(rèn)為彈力大小不變，即彈簧的彈力不突變。3、彈簧上的彈力是變力，彈力的大小隨彈簧的形變量發(fā)生變化，求彈力的沖量和彈力做功時(shí)，不能直接用沖量和功的定義式，一般要用動量定理和動能定理計(jì)算。彈簧的彈力與形變量成正比例變化，故它引起的物體的加速度、速度、動量、動能等變化不是簡單的單調(diào)關(guān)系，往往有臨界值。如果

3、彈簧被作為系統(tǒng)內(nèi)的一個(gè)物體時(shí)，彈簧的彈力對系統(tǒng)內(nèi)物體做不做功都不影響系統(tǒng)的機(jī)械能。4、對于只有一端有關(guān)聯(lián)物體，另一端固定的彈簧，其運(yùn)動過程可結(jié)合彈簧振子的運(yùn)動規(guī)律去認(rèn)識，突出過程的周期性、對稱性及特殊點(diǎn)的應(yīng)用。如當(dāng)彈簧伸長到最長或壓縮到最短時(shí)，物體的速度最?。榱悖?，彈簧的彈性勢能最大，此時(shí)，也是關(guān)聯(lián)物的速度方向發(fā)生改變的時(shí)刻。若關(guān)聯(lián)物與接觸面間光滑，當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時(shí)，物體速度最大，彈性勢能為零。若關(guān)聯(lián)物與接觸面間粗糙，物體速度最大時(shí)彈力與摩擦力平衡，此時(shí)彈簧并沒有恢復(fù)原長，彈性勢能也不為零。若關(guān)聯(lián)物同時(shí)處在電磁場中，要注重過程分析。5、兩端均有關(guān)聯(lián)物的彈簧，彈簧伸長到最長或壓縮到最短時(shí)，相關(guān)

4、聯(lián)物體的速度一定相同，彈簧具有最大的彈性勢能；當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時(shí)，相關(guān)聯(lián)物體的速度相差最大，彈簧對關(guān)聯(lián)物體的作用力為零。若物體再受阻力時(shí)，彈力與阻力相等時(shí)，物體速度最大。針對此類問題，要立足運(yùn)動和受力分析，在解題方法上以動量定理、動量守恒定律和動能定理等為首選。下面我們結(jié)合例題來分析一下彈簧類問題的研究方法。典型例題透析類型1：彈簧中的力學(xué)問題（一）平衡中的彈簧問題例1S1和S2表示勁度系數(shù)分別為k1和k2的兩根彈簧，k1k2。a和b表示質(zhì)量分別為ma和mb的兩個(gè)物塊，mamb，將彈簧與物塊按如圖所示方式懸掛起來。現(xiàn)要求兩根彈簧的總長度最大，則應(yīng)使：（ ）AS1在上，a在上BS1在上，b在上CS

5、2在上，a在上DS2在上，b在上答案D解析上面彈簧彈力是確定的，等于ab兩物體的重力，要使上面的伸長量大，應(yīng)使勁度系數(shù)小的在上，即S2在上面；要使下面伸長量大，應(yīng)讓質(zhì)量大的物體在下面，即a物體在下面。點(diǎn)評本題是根據(jù)胡克定律解題的，由F=kx知要使形變量x最大，則必有F最大或k最小。例2如圖所示，兩木塊的質(zhì)量分別為m1和m2，兩輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)分別為k1和k2，上面木塊壓在上面的彈簧上（但不栓接），整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)?，F(xiàn)緩慢向上提上面的木塊，直到它剛離開上面彈簧，在這過程中下面木塊移動的距離為：（ ）A. B. C. D.答案C解析我們把看成一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)受重力

6、和彈力，則下面彈簧被壓縮x1，則有： 當(dāng)上面的木塊剛離開上面的彈簧時(shí)，上面的彈簧顯然為原長，此時(shí)對下面的木塊m2則有：，因此下面的木塊移動的距離為，點(diǎn)評該題涉及到整體法和隔離法的應(yīng)用，解題時(shí)要看清問題的關(guān)鍵，根據(jù)整體法和隔離法的運(yùn)用條件，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?。思考：此題若求ml移動的距離又當(dāng)如何求解? 參考答案：（二）動力學(xué)的彈簧問題例3一條輕彈簧和一根細(xì)線共同拉住一個(gè)質(zhì)量為m的小球，平衡時(shí)細(xì)線是水平的，彈簧與豎直方向的夾角是，如圖所示。若突然剪斷細(xì)線，則在剛剪斷細(xì)線的瞬時(shí)，彈簧拉力的大小是_，小球加速度的大小是_，方向_。答案 mg/cos，gtan，水平向右解析在細(xì)線未斷之前，小球受三個(gè)力作用：

7、重力mg、彈簧的彈力F和細(xì)線的拉力T，如圖所示：根據(jù)平衡條件，可知T=mgtan，F(xiàn)=mg/cos。當(dāng)細(xì)線突然剪斷的瞬間，拉力消失了，但彈簧還沒有恢復(fù)形變，此時(shí)，F(xiàn)大小、方向均不變，仍為F=mg/cos。細(xì)繩剪斷瞬間，小球受的重力與彈簧的彈力的合力必與細(xì)繩未剪斷時(shí)對它的作用力等值反向，即mgtan=ma，所以a=gtan，方向水平向右。點(diǎn)評 （1）小球的加速度與小球受到的合外力具有瞬時(shí)對應(yīng)關(guān)系。分析時(shí)應(yīng)按時(shí)間的先后順序逐次分析物體的受力情況和合外力所產(chǎn)生的加速度，以及引起物體運(yùn)動性質(zhì)、運(yùn)動狀態(tài)的改變。（2）注意不可伸長的繩和彈簧的區(qū)別：彈簧的形變需要時(shí)間，剛剪斷的瞬間彈簧的形變可認(rèn)為是不變的；

8、不可伸長的柔繩發(fā)生形變過程所需時(shí)間極短，在極短時(shí)間內(nèi)彈力可發(fā)生很大變化。 例4如圖所示，物塊B和C分別連接在輕彈簧的兩端，將其靜置于吊籃A的水平底板上，已知A、B、C三者質(zhì)量相等且為m，則將掛吊籃的輕繩燒斷的瞬間，吊籃A、物塊B和C的瞬時(shí)加速度分別為：（ ）A.g、g、g B.g、g、0 C.1.5g、1.5g、0 D.g、2g、0答案 C 解析 此問題應(yīng)用到彈簧的彈力不能突變的性質(zhì)。未燒斷繩子之前，C受到一個(gè)重力mg和彈簧的彈力F彈，兩者平衡。繩燒斷瞬間，F(xiàn)彈不能突變，大小仍為mg，所以物塊C在輕繩燒斷的瞬間，瞬時(shí)加速度aC=0。若物體A和B之間沒彈力，則aA=g，而B的合外力則為mg+F彈

9、=2mg，所以aB=2g，顯然這種情況是不可能的。當(dāng)繩被燒斷后，A和B的加速度應(yīng)該相等，AB可看成一個(gè)整體來分析，繩子未斷之前，它們受重力2mg，彈簧向下的彈力F彈=mg，繩子向上的拉力T=3mg，處于平衡狀態(tài)。繩子斷的瞬間，拉力T消失，而彈簧的彈力不能突變，所以它們受到的合力向下，大小為3mg，由牛頓第二定律可得：3mg=2maAB，則aA=aB=1.5g。因此本題的正確選項(xiàng)為C。可以進(jìn)一步分析，對A有：N+mg=maA，則吊籃A和物塊B之間的彈力N=0.5mg。點(diǎn)評 要注意兩物體“剛性接觸” 和“彈性接觸” 的區(qū)別。對于吊籃A和物塊B，由于它們是剛性接觸，它們之間的相互作用力可發(fā)生突變，因

10、此在輕繩燒斷的瞬間A和B的加速度相等。類型2：彈簧連接物體的分離例5如圖所示，一勁度系數(shù)為k=800 N / m的輕彈簧兩端各焊接著兩個(gè)質(zhì)量均為m=12 kg的物體A、和B，物體A、B和輕彈簧豎立靜止在水平地面上?，F(xiàn)要加一豎直向上的力F在上面物體A上，使物體A開始向上做勻加速運(yùn)動，經(jīng)0.4 s物體B剛要離開地面。設(shè)整個(gè)過程中彈簧都處于彈性限度內(nèi)，取g=10 m / s2，求：（1）此過程中所加外力F的最大值和最小值。（2）此過程中外力F所做的功。解析（1）A原靜止時(shí)，設(shè)彈簧壓縮x1，由受力平衡和胡克定律有：kx1=mg-物體A向上做勻加速運(yùn)動，開始時(shí)彈簧的壓縮形變量最大，向上的彈力最大，則所需

11、外力F最小，設(shè)為F1。由牛頓第二定律：F1+kx1mg=ma-當(dāng)B剛要離地時(shí)，彈簧由縮短變?yōu)樯扉L，此時(shí)彈力變?yōu)橄蛳吕瑼，則所需外力F最大，設(shè)為F2。對B：kx2=mg-對A：F2-kx2-mg=ma -由位移公式對A有：-又t=0.4s-由可得：a=3.75m/s2F1=45NF2=285N（2）0.4 s末的速度：v=at=3.75×0.4 m / s=1.5 m / s對A全程由動能定理得：WFmg (x1+x2)=mv2解得：WF=49.5 J也可用能量守恒求解：在力作用的0.4s內(nèi)，在初末狀態(tài)有x1=x2，所以彈性勢能相等，由能量守恒知，外力 做了功，將其它形式的能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)

12、的重力勢能和動能。即：點(diǎn)評本題中考查到彈簧與物體A和B相連，在運(yùn)動過程中彈簧的彈力是變力，為確保系統(tǒng)的加速度恒定，則外加力必須也要隨之變化，解決本題的關(guān)鍵找出開始時(shí)彈簧的形變量最大，彈力最大，則外力F最小。當(dāng)B剛要離地時(shí)，彈簧由縮短變?yōu)樯扉L，此時(shí)彈力變?yōu)橄蛳吕瑼，則外力F最大。其次，求變力功時(shí)必須由動能定理或能量守恒定律求得。例6A、B兩木塊疊放在豎直輕彈簧上，如圖所示，已知木塊A、B質(zhì)量分別為0.42 kg和0.40 kg，彈簧的勁度系數(shù)k=100 N/m ，若在木塊A上作用一個(gè)豎直向上的力F，使A由靜止開始以0.5 m/s2的加速度豎直向上做勻加速運(yùn)動（g=10 m/s2）（1）使木塊A豎

13、直做勻加速運(yùn)動的過程中，力F的最大值； （2）若木塊由靜止開始做勻加速運(yùn)動，直到A、B分離的過程中，彈簧的彈性勢能減少了0.248 J，求這一過程F對木塊做的功。解析（1）當(dāng)F=0（即不加豎直向上F力時(shí)），設(shè)A、B疊放在彈簧上處于平衡時(shí)彈簧的壓縮量為x，有kx=（mA+mB）g，所以x=（mA+mB）g/k 對A施加F力，分析A、B受力如圖： 對A：F+N-mAg=mAa 對B：kx-N-mBg=mBa 可知，當(dāng)N0時(shí)，AB有共同加速度a=a，由式知欲使A勻加速運(yùn)動，隨N減小F增大， 當(dāng)N=0時(shí)，F(xiàn)取得了最大值Fm，即 Fm=mA（g+a）=4.41 N（2）又當(dāng)N=0時(shí)，A、B開始分離，由式

14、知，此時(shí)彈簧壓縮量kx=mB（a+g） 即x=mB（a+g）/k AB共同速度 v2=2a（x-x） 由題知，此過程彈性勢能減少了WP=EP=0.248 J 設(shè)F做功WF，對這一過程應(yīng)用動能定理或功能原理 WF+EP-（mA+mB）g（x-x）=（mA+mB）v2 聯(lián)立，且注意到EP=0.248 J 可知，WF=9.64×10-2 J點(diǎn)評此題命題意圖是考查對物理過程、狀態(tài)的綜合分析能力。難點(diǎn)和失分點(diǎn)在于能否通過對此物理過程的分析后，確定兩物體分離的臨界點(diǎn)，即當(dāng)彈簧作用下的兩物體加速度、速度相同且相互作用的彈力N=0時(shí) ，恰好分離。類型3：利用簡諧運(yùn)動的對稱性例7如圖所示，一升降機(jī)在箱

15、底裝有若干個(gè)彈簧，設(shè)在某次事故中，升降機(jī)吊索在空中斷裂，忽略摩擦力，則升降機(jī)在從彈簧下端觸地后直到最低點(diǎn)的一段運(yùn)動過程中：（ ）A. 升降機(jī)的速度不斷減小B. 升降機(jī)的加速度不斷變大C. 先是彈力做的負(fù)功小于重力做的正功，然后是彈力做的負(fù)功大于重力做的正功D. 到最低點(diǎn)時(shí)，升降機(jī)加速度的值一定大于重力加速度的值答案CD解析升降機(jī)從彈簧下端觸地后直到最低點(diǎn)的一段運(yùn)動可以轉(zhuǎn)化為熟悉的彈簧振子，其平衡位置是重力與彈力相平衡的時(shí)刻。升降機(jī)的彈簧從觸地到平衡位置之前，加速度是在不斷減小，速度不斷增大，故選項(xiàng)A、B不正確。彈簧下端觸地后，升降機(jī)先加速后減速，加速度先減小后增大。達(dá)到平衡位置之前，重力大于彈

16、力，所以重力做正功大于彈力做的負(fù)功；過了平衡位置，彈力大于重力，所以重力做正功小于彈力做的負(fù)功。選項(xiàng)C正確。對于選項(xiàng)D，可以設(shè)想有一輕彈簧豎直在水平地面上，將一小球無初速度放于彈簧上，可以證明小球的運(yùn)動為簡諧運(yùn)動。由簡諧運(yùn)動的對稱性知小球在最低點(diǎn)加速度的值等于在最高點(diǎn)的值。若小球以一定速度落在彈簧上，在最低點(diǎn)加速度的值必大于重力加速度的值。故選項(xiàng)D正確。點(diǎn)評簡諧運(yùn)動的對稱性在彈簧問題的運(yùn)動上有廣泛的應(yīng)用，因此在解決有關(guān)于位移、速度、加速度及力的變化時(shí)，經(jīng)常用到。例8如圖所示，一根輕質(zhì)彈簧兩端與質(zhì)量分別為m1 和m2的木塊相連，豎直放置在水平地面上。問：至少要向下壓多大的力F于m1上，才可以使突

17、然撤去外力F后m2恰好離開地面？解析m2恰好離開地面的臨界條件是彈簧比原長再伸長x2，且kx2=m2g和m1速度為零。設(shè)未加壓力F時(shí)，彈簧的壓縮量為x0；加壓力F時(shí)，彈簧的壓縮量為x1，則：kx0=m1g kx1=F+m1g應(yīng)用簡諧運(yùn)動的對稱性求解：m2不離開地面，m1做簡諧運(yùn)動，則振幅：A=x1x0= x0 + x2所以x1=x2+2x0=加壓力F時(shí)，F(xiàn)+m1g=kx1F=kx1m1g=(m1+m2) g點(diǎn)評物體與彈簧組成的系統(tǒng)做簡諧運(yùn)動時(shí)，具有明顯的對稱性，這類題一般用對稱性來求解會簡單得多。類型4：電磁學(xué)中彈簧問題例9一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，下端掛有一匝數(shù)為n的矩形線框abcd，bc邊

18、長為L。線框的下半部處在勻強(qiáng)磁場中，磁感強(qiáng)度大小為B，方向與線框平面垂直，在圖中垂直于紙面向里。線框中通以電流I，方向如圖所示。開始時(shí)線框處于平衡狀態(tài)，令磁場反向，磁感強(qiáng)度的大小仍為B，線框達(dá)到新的平衡。在此過程中線框位移的大小x=_，方向_。解析令線框質(zhì)量為m。開始時(shí)，線框受向下的重力、向上的彈力和安培力，三力平衡，有 mg=nBIL+kx1 磁場反向后，安培力由向上改為向下，其它力情況不變，有： mg+nBIL=kx2 電流反向后，彈簧的伸長是x2x1， x=x2x1 由解之：，方向向下。點(diǎn)評本題為靜力學(xué)與安培力綜合，把安培力看成靜力學(xué)中按性質(zhì)來命名的一個(gè)力進(jìn)行受力分析，是本題解答的基本思

19、路。例10如圖，固定的水平金屬導(dǎo)軌，間距為L，左端接有阻值為R的電阻，處在方向豎直、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒與固定彈簧相連，放在導(dǎo)軌上，導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒的電阻均可忽略，初始時(shí)刻，彈簧恰處于自然長度，導(dǎo)體棒具有水平向右的初速度v0。在沿導(dǎo)軌往復(fù)運(yùn)動的過程中，導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌垂直并保持良好接觸。（1）求初始時(shí)刻導(dǎo)體棒受到的安培力；（2）若導(dǎo)體棒從初始時(shí)刻到速度第一次為零時(shí)，彈簧的彈性勢能為EP，則這一過程中安培力所做的功W1和電阻上產(chǎn)生的焦耳熱Q1分別為多少？（3）導(dǎo)體棒往復(fù)運(yùn)動，最終將靜止于何處？從導(dǎo)體棒開始運(yùn)動直到最終靜止的過程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q為多少？解析 導(dǎo)體棒以初

20、速度v0運(yùn)動而產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，回路中的感應(yīng)電流使導(dǎo)體棒受到安培力的作用。安培力做功使系統(tǒng)的機(jī)械能減少，最終將機(jī)械能全部轉(zhuǎn)化為電阻R上的焦耳熱。由平衡條件知，棒最終靜止時(shí)，彈簧的彈力為零，即此時(shí)彈簧處于初始的原長狀態(tài)。（1）初始時(shí)刻棒中感應(yīng)電動勢： 棒中感應(yīng)電流： 作用于棒上的安培力 聯(lián)立得，方向：水平向左（2）導(dǎo)體棒從初始時(shí)刻到速度第一次為零過程中，棒最初的動能轉(zhuǎn)化成了彈簧的彈性勢能和焦耳熱， 即 所以電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱 由功和能的關(guān)系知Q1=-W安，所以安培力做功（3）當(dāng)棒靜止時(shí)，安培力為零，導(dǎo)軌光滑，所以棒會靜止在彈簧原長處，即棒最終靜止于初始位置。 此時(shí)彈性勢能為零，根據(jù)能量守恒知在整

21、個(gè)的運(yùn)動過程中系統(tǒng)最初的動能最后全部轉(zhuǎn)化成焦耳熱， 即點(diǎn)評本題考查了單桿切割問題及功能關(guān)系，本題最大特點(diǎn)在于它突出了力電磁等主要知識的綜合，考查了學(xué)生的綜合分析能力。同學(xué)們要充分掌握高中物理的兩大基本觀點(diǎn)：力的觀點(diǎn)和能量觀點(diǎn)，這是解決此類問題的基本途徑。類型5：綜合性彈簧問題例11如圖所示，光滑水平面上放有A、B、C三個(gè)物塊，其質(zhì)量分別為mA=2.0kg，mB=mC=1.0kg，用一輕彈簧連接A、B兩物塊，現(xiàn)用力壓縮彈簧使三物塊靠近，此過程外力做功72J，然后釋放。求：（1）釋放后物塊B對物塊C一共做了多少功？（2）彈簧第二次被壓縮時(shí)，彈簧具有的最大彈性勢能為多大？解析（1）釋放后，在彈簧恢復(fù)

22、原長的過程中B和C和一起向左運(yùn)動，當(dāng)彈簧恢復(fù)原長后B和C的分離，所以此過程B對C做功。選取A、B、C為一個(gè)系統(tǒng)，在彈簧恢復(fù)原長的過程中動量守恒，取向右為正向，則有： 系統(tǒng)能量守恒： B對C做的功： 聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得：（2）B和C分離后，選取A、B為一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)彈簧被壓縮至最短時(shí)，彈簧的彈性勢能最大，此時(shí)A、B具有共同速度v，取向右為正向由動量守恒： 彈簧的最大彈性勢能： 聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得：Ep=48J 點(diǎn)評求解彈簧類綜合題有以下步驟或方法：根據(jù)題述情景，正確分析物理過程，靈活運(yùn)用相關(guān)規(guī)律，如牛頓運(yùn)動定律和運(yùn)動學(xué)規(guī)律、動量定理、動能定理、動量守恒定律、機(jī)械能守恒定律、能量守恒等；當(dāng)兩個(gè)物體共同運(yùn)動時(shí)，要注意兩物體剛