4函數(shù)與方程的思想方法

1、福建省邵武第一中學(xué) guanyoyo第4講 函數(shù)與方程的思想方法一、知識(shí)整合函數(shù)與方程是兩個(gè)不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程f(x)0的解就是函數(shù)yf(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，函數(shù)yf(x)也可以看作二元方程f(x)-y0通過方程進(jìn)行研究。就中學(xué)數(shù)學(xué)而言，函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題：二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易，化繁為簡的目的.許多有關(guān)方程的問題可以用函數(shù)的方法解決，反之，許多函數(shù)問題也可以用方

2、程的方法來解決。函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，也是歷年高考的重點(diǎn)。1函數(shù)的思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識(shí)或函數(shù)觀點(diǎn)觀察、分析和解決問題。2方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決。方程的數(shù)學(xué)是對方程概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點(diǎn)觀察處理問題。方程思想是動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量

3、關(guān)系.3(1) 函數(shù)和方程是密切相關(guān)的，對于函數(shù)yf(x)，當(dāng)y0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程f(x)0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)f(x)看做二元方程yf(x)0。函數(shù)問題（例如求反函數(shù)，求函數(shù)的值域等）可以轉(zhuǎn)化為方程問題來求解，方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解，如解方程f(x)0，就是求函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)。(2) 函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對于函數(shù)yf(x)，當(dāng)y>0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)>0，借助于函數(shù)圖像與性質(zhì)解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開解不等式。(3) 數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)處理數(shù)列問題十分重要。(4) 函數(shù)f(x)（nN*）與二項(xiàng)式定理

4、是密切相關(guān)的，利用這個(gè)函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項(xiàng)式定理的問題。(5) 解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論。(6) 立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用布列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決。二、例題解析運(yùn)用函數(shù)與方程、表達(dá)式相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)解決函數(shù)、方程、表達(dá)式問題。例1 已知，（a、b、cR），則有（ ）(A) (B) (C) (D) 解析 法一：依題設(shè)有 a·5b·c0是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)實(shí)根；0 故選(B)法二：去分母，移項(xiàng)，兩邊平方得：10ac2

5、·5a·c20ac 故選(B)點(diǎn)評(píng)解法一通過簡單轉(zhuǎn)化，敏銳地抓住了數(shù)與式的特點(diǎn)，運(yùn)用方程的思想使問題得到解決；解法二轉(zhuǎn)化為b2是a、c的函數(shù)，運(yùn)用重要不等式，思路清晰，水到渠成。練習(xí)1 已知關(guān)于的方程 （2 m8）x +16 = 0的兩個(gè)實(shí)根 、 滿足 ，則實(shí)數(shù)m的取值范圍_。答案：；x21y02 已知函數(shù) 的圖象如下，則（ ）（A） (B)(C) (D)答案：A. 3 求使不等式·對大于1的任意x、y恒成立的a的取值范圍。：構(gòu)造函數(shù)或方程解決有關(guān)問題：例2 已知，t，8，對于f(t)值域內(nèi)的所有實(shí)數(shù)m，不等式恒成立，求x的取值范圍。解析t，8，f(t)，3原題轉(zhuǎn)

6、化為：>0恒成立，為m的一次函數(shù)（這里思維的轉(zhuǎn)化很重要）當(dāng)x2時(shí)，不等式不成立。x2。令g(m)，m，3問題轉(zhuǎn)化為g(m)在m，3上恒對于0，則：；解得：x>2或x<1評(píng)析 首先明確本題是求x的取值范圍，這里注意另一個(gè)變量m，不等式的左邊恰是m的一次函數(shù)，因此依據(jù)一次函數(shù)的特性得到解決。在多個(gè)字母變量的問題中，選準(zhǔn)“主元”往往是解題的關(guān)鍵。例3 為了更好的了解鯨的生活習(xí)性，某動(dòng)物保護(hù)組織在受傷的鯨身上裝了電子監(jiān)測裝置，從海洋放歸點(diǎn)A處，如圖（1）所示，把它放回大海，并沿海岸線由西向東不停地對它進(jìn)行了長達(dá)40分鐘的跟蹤觀測，每隔10分鐘踩點(diǎn)測得數(shù)據(jù)如下表（設(shè)鯨沿海面游動(dòng)），然后

7、又在觀測站B處對鯨進(jìn)行生活習(xí)性的詳細(xì)觀測，已知AB15km，觀測站B的觀測半徑為5km。觀測時(shí)刻t（分鐘）跟蹤觀測點(diǎn)到放歸點(diǎn)的距離a（km）鯨位于跟蹤觀測點(diǎn)正北海岸西東圖1AB方向的距離b（km）1010.9992021.4133031.7324042.001(1)據(jù)表中信息：計(jì)算出鯨沿海岸線方向運(yùn)動(dòng)的速度；試寫出a、b近似地滿足的關(guān)系式并畫出鯨的運(yùn)動(dòng)路線草圖；AByx圖2（2）若鯨繼續(xù)以（1）運(yùn)動(dòng)的路線運(yùn)動(dòng)，試預(yù)測，該鯨經(jīng)過多長時(shí)間（從放歸時(shí)開設(shè)計(jì)時(shí)）可進(jìn)入前方觀測站B的觀測范圍？并求出可持續(xù)觀測的時(shí)間及最佳觀測時(shí)刻。（注：6.40；精確到1分鐘）解析（1）由表中的信息可知：鯨沿海岸線方向運(yùn)

8、動(dòng)的速度為：（km/分鐘）a、b近似地滿足的關(guān)系式為：運(yùn)動(dòng)路線如圖（2）以A為原點(diǎn)，海岸線AB為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)鯨所在位置點(diǎn)P（x，y），由、得：，又B（15，0），依題意：觀測站B的觀測范圍是：5 （y0） 又25 解得：11.30x17.70由得：該鯨經(jīng)過t113分鐘可進(jìn)入前方觀測站B的觀測范圍 持續(xù)時(shí)間：64分鐘該鯨與B站的距離d當(dāng)d最小時(shí)為最佳觀測時(shí)刻，這時(shí)x14.5，t145分鐘。練習(xí)4已知關(guān)于的方程2= 0有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍。（答案：04）：運(yùn)用函數(shù)與方程的思想解決數(shù)列問題例4設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知，>0，<0，（1）求公差d的取值范圍；（2

9、）指出、，中哪一個(gè)最大，并說明理由。解析（1）由得：，>0 <0<d<3（2）d<0，是關(guān)于n 的二次函數(shù)，對稱軸方程為：x<d<3 6<< 當(dāng)n6時(shí)，最大。三、強(qiáng)化練習(xí)1展開式中的系數(shù)為_.2已知方程的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列,則( )A 1 B C D 3.設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，兩條漸近線為，則該雙曲線的離心率（ ）A 5 B C D 4已知銳角三角形ABC中，。 .求證； .設(shè)，求AB邊上的高。5甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為。.分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工