高等數(shù)學(xué)：8_5平面及其方程

1、-1-一、平面的點法式方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角8.5 平面及其方程-2-xyzo0MM若一非零向量垂直于一平面，此向量就叫做該平面的法線向量 平面法線向量的特征：（1）垂直于平面內(nèi)的任一向量n 平面的法線向量 （2）一個平面的法向量不唯一一、平面的點法式方程-3-xyzo0MM.).,(,0000的方程如何求出平面過點且平面的法向量為：問題：已知平面zyxMCBAn 設(shè)平面上的任一點為設(shè)平面上的任一點為),(zyxMnMM 0必有必有00 nMMn解：,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA 平面的點法式方程平面的點法式方程-4-.1, 9 ,14)4

2、 , 1, 2(10的平面方程且垂直于向量求過點例nM015914zyx-5-解解6, 4, 3 AB1, 3, 2 AC取取ACABn ,1, 9,14 所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡得化簡得. 015914 zyx132643kji-6-.)() 3 , 2 , 1 (3，求該平面的方程面上夾角平分線軸軸與且垂直于已知平面過點例yozzyxyzo:解解,010j,100k在角平分線上1 , 1 , 0kj1 , 1 , 0n可取方程方程032)()(zy5 zy即即-7-由平面的點法式方程由平面的點法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)

3、(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 二、平面的一般方程-8-平面一般方程的幾種特殊情況：平面一般方程的幾種特殊情況：, 0)1( D平面通過坐標(biāo)原點；平面通過坐標(biāo)原點；, 0)2( A , 0, 0DD平面通過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB類似地可討論類似地可討論 情形情形.-9-.) 1, 3, 4(4軸的平面方程和求過點例x:解解,軸平面過 x0CzBy可設(shè)方程為代入

4、代入將點將點),(13403CBBC303 BzBy即即03 zy-10-,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得化簡得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解-11-設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx由平面過原點知由平面過原點知, 0 D由由平平面面過過點點)2, 3, 6( 知知0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解-12-例例 7 7 設(shè)設(shè)平平面面與與zyx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0

5、,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程. 設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx將三點坐標(biāo)代入得將三點坐標(biāo)代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解-13-,aDA ,bDB ,cDC 將將代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距-14-設(shè)平面為設(shè)平面為, 022Dzyxxyzo, 122DzDyDx即即解解12261)(DDD由題意由題意332D平面方程為平面方程為032223zyx-15-定

6、義定義1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角. . （通常（通常取銳角取銳角）, 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 三、兩平面的夾角-16-按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式 兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA -17-例例9 9 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下

7、各組里兩平面的位置關(guān)系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角.601arccos -18-)2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 兩平面平行兩平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合.-19- ),(1111zyx

8、P|Pr|01PPjdn 1PNn0P 00101PrnPPPPjn ,10101001zzyyxxPP 解解 2222222220,CBACCBABCBAAn-20-00101PrnPPPPjn 222102221022210)()()(CBAzzCCBAyyBCBAxxA222111000)(CBACzByAxCzByAx.222000CBADCzByAx.|222000CBADCzByAxd 點到平面距離公式點到平面距離公式-21-.4100:11222相切的平面方程球面且與求平行于平面例zyxzyx:解解. 0Dzyx的平面方程可設(shè)為平行于平面與球面相切平面與球面相切2111000222D32 D平面方程平面方程032zyx-22-平面的方程平面的方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程）（熟記平面的幾種特殊位置的方程）兩平面的夾角兩平面的夾角.點到平面的距離公式點到平面的距離公式.點法式方程點法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截