《李賢平概率論基礎(chǔ)》ppt課件

1、2.3 伯努利實(shí)驗(yàn)與直線上的隨機(jī)游動(dòng)Ch2：條件概率與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性3 伯努利實(shí)驗(yàn)與直線上的隨機(jī)游動(dòng)伯努利實(shí)驗(yàn)與直線上的隨機(jī)游動(dòng)一、伯努利概型一、伯努利概型三、直線上的隨機(jī)游動(dòng)三、直線上的隨機(jī)游動(dòng)二、伯努利概型中的一些分布二、伯努利概型中的一些分布一 、伯努利概型伯努利實(shí)驗(yàn), ,A A F ,1EA AP A = pP A = qp0qp+q= 若隨機(jī)試驗(yàn) 的事件域?yàn)椋?，其?，且，0,.F那么稱那么稱E E為為 Bernoulli Bernoulli 實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)n n 重伯努利實(shí)驗(yàn)記作重伯努利實(shí)驗(yàn)記作En ): nEn ): n次獨(dú)立次獨(dú)立 反復(fù)的伯努利實(shí)反復(fù)的伯努利實(shí)驗(yàn)驗(yàn). .n n 重伯努利實(shí)

2、驗(yàn)重伯努利實(shí)驗(yàn)n n重伯努利實(shí)驗(yàn)的特點(diǎn)重伯努利實(shí)驗(yàn)的特點(diǎn): :每次實(shí)驗(yàn)最多出現(xiàn)兩個(gè)能夠結(jié)果之一每次實(shí)驗(yàn)最多出現(xiàn)兩個(gè)能夠結(jié)果之一A A在每次實(shí)驗(yàn)種出現(xiàn)的概率在每次實(shí)驗(yàn)種出現(xiàn)的概率p p堅(jiān)持不變堅(jiān)持不變各次實(shí)驗(yàn)相互獨(dú)立各次實(shí)驗(yàn)相互獨(dú)立共進(jìn)展了共進(jìn)展了n n次實(shí)驗(yàn)次實(shí)驗(yàn)n n 重伯努利實(shí)驗(yàn)的樣本空間：重伯努利實(shí)驗(yàn)的樣本空間：pqppAAAAPnn.).(121121121(,.,),.nnnnA AAAA AAAA樣本點(diǎn)簡記為，其概率由 的概率與獨(dú)立性可得出：12|,n iiiiAAiA其中或，表示第 次試驗(yàn)中事件 發(fā)生與否。顯然， 是有限樣本空間。 可列重伯努利實(shí)驗(yàn)記作可列重伯努利實(shí)驗(yàn)記作EE：

3、樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)w=(w1,w2,.,wn,.)w=(w1,w2,.,wn,.)樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)不可列樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)不可列, ,無限樣本空間。無限樣本空間。可列重伯努利實(shí)驗(yàn)可列重伯努利實(shí)驗(yàn)二二 伯努利概型中的一些分布伯努利概型中的一些分布只進(jìn)展一次伯努利實(shí)驗(yàn)只進(jìn)展一次伯努利實(shí)驗(yàn)概率分布為概率分布為: : ,0,0,1.P Ap P Aq pqpq1.1.伯努利分布伯努利分布 這種概率分布稱為伯努利分布這種概率分布稱為伯努利分布 伯努利概型中最簡單的情形伯努利概型中最簡單的情形 也稱兩點(diǎn)分布也稱兩點(diǎn)分布例例1 200件產(chǎn)品中件產(chǎn)品中,有有190件合格品件合格品,10件次品件次品,現(xiàn)現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件從中隨機(jī)抽

4、取一件,令令A(yù)表示獲得次品，那么：表示獲得次品，那么：此為兩點(diǎn)分布此為兩點(diǎn)分布. 10190,.200200P AP A“擲硬幣、擲硬幣、“嬰兒性別等實(shí)驗(yàn)均為兩點(diǎn)分布嬰兒性別等實(shí)驗(yàn)均為兩點(diǎn)分布. 在在n重重Bernoulli實(shí)驗(yàn)中實(shí)驗(yàn)中,事件事件A恰好發(fā)生恰好發(fā)生k次次的概率記為，的概率記為， 那么那么; ,b k n p2.2.二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布; ,10,1,2,kkn knb k n pC p qqp kn knknkAkCp q分析：事件 恰好發(fā)生 次共有種可能情況，而每種情況出現(xiàn)的概率為 1)(),;(00nknknkknnkqpqpCpnkb稱稱b(k;n,p)b(k;n,p)決議的

5、概率分布為二項(xiàng)分布。決議的概率分布為二項(xiàng)分布。例例2 2、設(shè)一批產(chǎn)品中有、設(shè)一批產(chǎn)品中有a a件是次品件是次品,b ,b件是正品件是正品. . 現(xiàn)有放現(xiàn)有放回地從中抽取回地從中抽取n n件產(chǎn)品件產(chǎn)品. .求求: :事件事件A=nA=n件產(chǎn)品中恰有件產(chǎn)品中恰有k k件次品件次品 的概率其中，的概率其中，k=0,1,2,n.k=0,1,2,n.paab解解: : 屬于屬于 n n重伯努利分布重伯努利分布, ,且：且：knkknknkknbabbaaCqpCpnkb)()(),;(例例3: 3: 某病的自然痊愈率為某病的自然痊愈率為 0.25 0.25，某醫(yī)生為檢驗(yàn)?zāi)?，某醫(yī)生為檢驗(yàn)?zāi)撤N新藥能否有效，

6、他事先制定了一個(gè)決策規(guī)那么：種新藥能否有效，他事先制定了一個(gè)決策規(guī)那么：把這藥給把這藥給 10 10 個(gè)病人服用，假設(shè)這個(gè)病人服用，假設(shè)這 10 10 人中至少有人中至少有4 4 個(gè)人痊愈，那么以為新藥有效；反之，那么以為新個(gè)人痊愈，那么以為新藥有效；反之，那么以為新藥無效求：藥無效求： 新藥有效，并且把痊愈率提高到新藥有效，并且把痊愈率提高到 0.35 0.35，但經(jīng)過實(shí)，但經(jīng)過實(shí)驗(yàn)卻被否認(rèn)的概率驗(yàn)卻被否認(rèn)的概率新藥完全無效，但經(jīng)過實(shí)驗(yàn)卻被判為有效的概新藥完全無效，但經(jīng)過實(shí)驗(yàn)卻被判為有效的概率率分析：此為分析：此為1010重伯努利實(shí)驗(yàn)，令重伯努利實(shí)驗(yàn)，令A(yù)A痊愈痊愈2藥物本身無效時(shí)，1藥物本

7、來有效的情況下， 0.35,10pP An331011000; ,0.351 0.35kkkkkpb k n pC令k痊愈的人數(shù)，“被否認(rèn)=“k=0,1,2,3 0.25,10,4,5,10.pP Ank1024;10,0.25kpb k課堂練習(xí)：設(shè)一批產(chǎn)品中有課堂練習(xí)：設(shè)一批產(chǎn)品中有3030的產(chǎn)品是一級品的產(chǎn)品是一級品. .現(xiàn)現(xiàn)對該產(chǎn)品中進(jìn)展反復(fù)抽樣檢查對該產(chǎn)品中進(jìn)展反復(fù)抽樣檢查, ,共取共取5 5個(gè)樣品。求個(gè)樣品。求 ：(1)(1)取出的取出的5 5個(gè)樣品中恰有個(gè)樣品中恰有2 2個(gè)一級品的概率個(gè)一級品的概率(2)(2)取出的取出的5 5個(gè)樣品中至少有個(gè)樣品中至少有2 2個(gè)一級品的概率個(gè)一級

8、品的概率(1)解解: :22352;5,0.30.3 (1 0.3)0.3087bC(2)A:“5個(gè)樣品中至少有個(gè)樣品中至少有2個(gè)一級品個(gè)一級品511555200( );5,0.31( ) 10.30.70.47178iiiiiiP Ab iP iC 在伯努利實(shí)驗(yàn)中，在伯努利實(shí)驗(yàn)中，“事件事件A在第在第k次才初次出現(xiàn)的次才初次出現(xiàn)的概率概率,記為：記為： ，顯然：，顯然：( ;)g k p1121;(.),1,2,kkkg k pP A AAAqp k( ;)g k p稱由決定的概率分布為幾何分布。111);(111qppqpkgkkk3.3.幾何分布幾何分布例4、一個(gè)人要開門，共有n把鑰匙，

9、其中僅有一把鑰匙能開門，這人在第s次試開時(shí)才初次勝利的概率是多少分析：可列重伯努利實(shí)驗(yàn) p=1/n 第s次才初次勝利的概率： g(s;1/n)=1/n (n-1)/ns-1 相繼的伯努利實(shí)驗(yàn)中，要多長時(shí)間才會(huì)出現(xiàn)第相繼的伯努利實(shí)驗(yàn)中，要多長時(shí)間才會(huì)出現(xiàn)第r r 次次勝利勝利 記記Ck=Ck=第第r r 次勝利發(fā)生在第次勝利發(fā)生在第k k 次次 記記 f (k; r, p)=P (Ck) f (k; r, p)=P (Ck) Ck=Ck=前前k-1k-1次勝利次勝利r-1r-1次次, ,且第且第k k 次勝利次勝利 ，那么：，那么：rkrrkrkrrkkqpCpqpCCP11111)(11( ;

10、 ,),1,rrk rkf k r pCp qkr r 即：11( ; ,)1rrkrkkrkrf k r pCp q顯然：稱稱 f (k; r, p) f (k; r, p)為帕斯卡分布，當(dāng)為帕斯卡分布，當(dāng)r=1r=1時(shí)時(shí), ,即為幾何分布即為幾何分布4. 4. 帕斯卡分布帕斯卡分布例例5 5、分賭注問題、分賭注問題 甲、乙兩賭徒按某種方式下注賭博，先勝t 局者將博得全部賭注，但進(jìn)展到甲勝r 局、乙勝s 局(rt, st)時(shí)，因故不得不中止。試問如何分配這些賭注才公平合理？建議：用 r:s 來分配用最終甲乙取勝的概率 P甲:P乙 來分配分析： 甲假想象獲勝，需求再勝n=t-r 局 乙假想象獲

11、勝，需求再勝m=t-s 局 記A=每局中甲獲勝,P(A)=p, P(Ac)=q 甲獲勝，當(dāng)且僅當(dāng)：甲再勝n局時(shí)，乙再勝的局?jǐn)?shù)km，即A的第n次勝利發(fā)生在第n+k次(k=n,即Ac的第m次勝利發(fā)生在m+k次(k=n)實(shí)驗(yàn)：nkmkmkmqpCP11甲顯然:再賭n+m-1局可以決議勝負(fù) 甲假想象獲勝甲假想象獲勝, ,必需在必需在n+m-1n+m-1局中勝局中勝n n次，由二項(xiàng)分布次，由二項(xiàng)分布: :111n mkkn mkn mk nPCp q 甲例6、巴拿赫火柴問題：兩盒火柴，各裝n根,每次抽煙時(shí)任取一盒用一根，求發(fā)現(xiàn)一盒用光時(shí)，另一盒有k根的概率。看作p=1/2的伯努利實(shí)驗(yàn)。一盒取過n+1次而

12、另一盒取過n-k次：2121121;1,22n knn kfnknC 由對稱性，所求概率為：222nknn kpC5 推行的伯努利實(shí)驗(yàn)與多項(xiàng)分布二項(xiàng)分布的推行n次反復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)每次實(shí)驗(yàn)有多個(gè)能夠結(jié)果記每次實(shí)驗(yàn)的一切能夠結(jié)果為：12,.rA AA12,1,2, . 0,1.iiirP Ap irpppp令且：12rrnAkAkAk12 在 次試驗(yàn)中: 出現(xiàn) 次, 出現(xiàn) 次， ,出現(xiàn) 次的概率為：12121212!.rrkkkrrnpp ppk kkkkkn其中：由此概率確定的分布稱為多項(xiàng)分布， r=2時(shí)，退化為二項(xiàng)分布三、直線上的隨機(jī)游走0()1xtaapp 設(shè) 軸上有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，假定它只能在整數(shù)點(diǎn)

13、上停頓，在初始時(shí)刻時(shí)，它在初始位置 處為整數(shù) ，以后每隔單位時(shí)間，它總是受到一個(gè)外力的隨機(jī)作用，使位置發(fā)生變化，分別以概率 及概率向坐標(biāo)軸正向或負(fù)向移動(dòng)一個(gè)單位，質(zhì)點(diǎn)的這種運(yùn)動(dòng)稱為直線上的隨機(jī)游動(dòng)。無限制隨機(jī)游動(dòng)有吸收壁隨機(jī)游動(dòng)分類分類稱為對稱隨機(jī)游動(dòng)時(shí)當(dāng)pp1無限制隨機(jī)游動(dòng)假定質(zhì)點(diǎn)的初始位置在原點(diǎn)。nnStnSknk以記質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻時(shí)的位置，則意即“質(zhì)點(diǎn)在前 次游動(dòng)中向右的次數(shù)比向左的次數(shù)恰好多 次”nxnynSk設(shè) 表示質(zhì)點(diǎn)在前 次游動(dòng)中向右移動(dòng)的次數(shù)， 在前次游動(dòng)中向左移動(dòng)的次數(shù)。于是發(fā)生，則有xynxyk,22nknkxyxnk，由 是整數(shù)，所以 與 必須同奇偶。nSk由二項(xiàng)分布，發(fā)生的

14、概率為：2220n kn kn knnnnkP SkCpqnkP Sk當(dāng) 與 同奇偶時(shí)， 當(dāng) 與 奇偶相異時(shí)，兩端帶有吸收壁的隨機(jī)游動(dòng)111,2,1nnnqpqqqnab，11nnnnp qqq qq1,nnncqq rq p令則：1,1,2,1.nncrcnab 111,1 2,nnrpqcc 即對稱隨機(jī)游動(dòng),nanaqqabab 212021,nnnnrpqcrcr cr c 111010000011nnnnknkkkkkkrqqqqcr ccr0010,1,11a ba brqqcr 11nna brqr特別有特別有baabaaapqpqrrq1111留意對該式令 用洛比達(dá)法那么求極限也

15、可以獲得qp baaqa1,11aaa baa ba bpqqqpppqppqqp例例7 7、賭徒輸光問題、賭徒輸光問題甲乙賭本分別為a元及b元，每局賭注為1元，甲獲勝的概率為p，試求甲輸光的概率。分析：可看成兩端帶有吸收壁的隨機(jī)游動(dòng)模型。以Pa記甲從a出發(fā)而在0點(diǎn)被吸收賭本輸光，贏一局看成向右走一步，輸一局看成向左走一步，那么：111aaa baa ba bp qq pq ppp qq p注解：假設(shè)ab，那么不論甲贏一局的概率是多少，都終輸光。平面上的隨機(jī)游動(dòng) 一質(zhì)點(diǎn)從平面上某點(diǎn)出發(fā)，等能夠地向上下左右一質(zhì)點(diǎn)從平面上某點(diǎn)出發(fā)，等能夠地向上下左右方向挪動(dòng)，每次挪動(dòng)的間隔為方向挪動(dòng)，每次挪動(dòng)的間隔為1，求經(jīng)過，求經(jīng)過2n次挪次挪動(dòng)后回到出發(fā)點(diǎn)的概率動(dòng)后回到出發(fā)點(diǎn)的概率分析：分析： 從某點(diǎn)出發(fā)，向上下左右四個(gè)方向挪動(dòng)的從某點(diǎn)出發(fā)，向上下左右四個(gè)方向挪動(dòng)的概率均為概率均為1/4，可以歸結(jié)為多項(xiàng)分布的問題。，可以歸結(jié)為多項(xiàng)分布的問題。假設(shè)要在假設(shè)要在2n次挪動(dòng)后回到原來的出發(fā)點(diǎn)，那么向次挪動(dòng)后回到原來的出發(fā)點(diǎn)，那么向左挪動(dòng)的次數(shù)左挪動(dòng)的次數(shù)(k)與向右挪動(dòng)的次數(shù)應(yīng)該相等，向與向