絕對(duì)值不等式新題培優(yōu)練

1、基礎(chǔ)題組練1. 已知|2x- 3|w 1的解集為m, n.(1) 求m + n的值；(2) 若 |x a|<m，求證：Xl<|a|+ 1.解：不等式|2x 3|< 1可化為一K 2x 3< 1，解得 K x< 2,所以 m= 1, n= 2, m + n = 3.(2)證明：若 X a|<1，則 |x|= |x a+ a|< |x a|+ |a|<|a|+ 1.即|x|<|a|+ 1.2. 已知函數(shù) f(x) = |x 2| |x 5|.(1) 證明：一3< f(x) w 3;求不等式f(x)> x2 8x+ 15的解集.解：(

2、1)證明:f(x)= |x 2| |x 5|3, xW 2,=2x 7, 2<x<5,3, x>5.當(dāng) 2<x<5 時(shí)，3<2x 7<3,所以一3 w f(x)< 3.(2) 由(1)可知，當(dāng)xw 2時(shí)，f(x) > x2 8x+ 15的解集為空集；當(dāng) 2<x<5 時(shí)，f(x) >x2 8x+ 15 的解集為x|5 3 w x<5;當(dāng) x> 5 時(shí)，f(x) > x2 8x+ 15 的解集為x|5w xw 6.綜上，不等式f(x)>x2 8x+ 15的解集為x|5 ,3w xw 6.3. (2019

3、湖北荊州一模)已知函數(shù)f(x)=|x a|,不等式f(x)w 3的解集為6, 0.(1) 求實(shí)數(shù)a的值；若f(x) + f(x+ 5) > 2m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.解：(1)由 f(x)w 3，得 |x a|w 3,因?yàn)?a 3w xw a+ 3，又 f(x) w 3 的解集為6, 0,所以a= 3.(2) 因?yàn)?f(x) + f(x+ 5) = |x+ 3|+ |x+ 8|> |x+ 3 (x+ 8)|= 5,又f(x) + f(x + 5) > 2m對(duì)一切實(shí)數(shù) x恒成立，所以2mw 5,即卩mw 5.4. (2018高考全國(guó)卷 川)設(shè)函數(shù)f(x) =

4、 |2x+ 1|+ |x 1|.(1)畫出y= f(x)的圖象；當(dāng)x 0,+ )時(shí)，f(x)<ax+ b,求a+ b的最小值.解：(1)f(x)=x+ 2,-1<x<1,2 ，3x, x> 1.y= f(x)的圖象如圖所示.由知，y= f(x)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,且各部分所在直線斜率的最大值為3,故當(dāng)且僅當(dāng) a> 3且b>2時(shí)，f(x)< ax+ b在0,+ )上成立，因此 a+ b的最小值為 5.綜合題組練1. (2019 湖南岳陽(yáng)模擬)已知函數(shù) f(x)=|2x+ 2|-|2x-2|, x R.(1)求不等式f(x)w 3的解集；f (

5、x)若方程 2+ a= x有三個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.x< 1 , 1 w xW 1 ,x>1,3解：(1)原不等式等價(jià)于或或解得x<-,4W 34x< 34W 3,4所以不等式f(x)w3的解集為 8, 3 .f ( x)(2)方程一2 + a= x 可變形為 a= x+ |x 1| |x+ 1|,x+ 2, x< 1,令 h(x) = x+ |x 1| |x+ 1|= x, 1 w xw 1,x 2, x>1 ,作出函數(shù)h(x)的圖象如圖,于是由題意可得1<a<1.2. 設(shè)函數(shù) f(x) = |2x+ 3|+ |x 1|.解不等式f(x

6、)>4 ;3若存在xo 2，1當(dāng)2<x<1 時(shí)，f(x) = xW2,所以 2<x<1 ;使不等式a + 1>f(xo)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.則 f(x)>43x<2，一xW1,或 23x 2>4x+ 4>4、x>1,或？ x< 2 或 O<XW 1 或 x>1.3x+ 2>433x 當(dāng) xW1時(shí)，f(x)= 2 3xW 2，所以 ow xW|，綜上可得原不等式f(x) w 2的解集為x ow xw 3 .， x<2，解:(1)由題意得 f(x) =w xW 1x+ 4， 2 w xW 1，3x

7、+ 2, x>1.所以不等式f(x)>4的解集為(I 2) U (0 ,+).3 3存在 xo -2， 1 使不等式 a+ 1>f(xo)成立？ a + 1>f(x)min，由(1)知，當(dāng) x -？，1 時(shí)， f(x) = x+ 4,3553所以 f(x)min= f 一 = 5，則 a+ 1>5，解得 a>3 ,3所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為3，+ i .3. (2019太原市模擬試題(一)已知函數(shù)f(x)=|x+ m|+ |2x 1|.(1)當(dāng)m = 1時(shí)，求不等式f(x)w 2的解集；3若f(x)w|2x+ 1|的解集包含 4，2，求m的取值范圍.解：(1)

8、當(dāng) m= 1 時(shí)，f(x) = x 1|+ |2x 1|,4當(dāng) x> 1 時(shí)，f(x) = 3x 2W 2,所以 1W x< -;333(2)由題意可知f(x)w|2x+ 1|在 4，2 上恒成立，當(dāng) x 4，2 時(shí)，f(x)=|x+ m|+ |2x1|=|x+ m|+ 2x 1< |2x+ 1| = 2x+ 1,所以 |x + m|< 2，即一2< x+ m< 2,則一2 x< m< 2 x,且(一2 x) max =117，(2 x)min = 0,因此m的取值范圍為117，4. (綜合型)(2019鄭州模擬)已知函數(shù)f(x) = |3x+

9、2|.(1)解不等式 f(x)<4 |x 1|;1 1已知m+ n = 1(m, n>0),若|x a| f(x)<：+ ；(a>0)恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍. 解：(1)不等式 f(x)<4 x 1|,即卩 |3x+ 2|+ |x 1|<4.2當(dāng) x< 3時(shí)，即一3x 2 x+ 1<4 ,352解得5<x< 2；4 32當(dāng)一3三 x< 1 時(shí)，即 3x + 2 x+ 1<4 ,32 1 解得-x<1;3 2當(dāng) x>1 時(shí)，即 3x+ 2 + x 1<4,無解.5 1綜上所述，不等式的解集為5,.(2)m+n= m+n(m+n)=“ 仆 m+m4令 g(x) = |x a|f(x)= |x a| |3x+ 2