2017年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三真題及答案解析

1、2017年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三真題及答案解析一、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分）（1）若函數(shù)在處連續(xù)，則（ ）。 。 ?！敬鸢浮俊窘狻?，因?yàn)樵谔庍B續(xù)，所以，從而，應(yīng)選。（2）二原函數(shù)的極值點(diǎn)為（ ）。 。 。 ?！敬鸢浮俊窘狻坑傻茫?dāng)時(shí)，則不是極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，且，則為極大點(diǎn)，應(yīng)選。（3）設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，且，則（ ）。 。 ?！敬鸢浮俊窘狻咳?，則，從而；若，則，從而，故，應(yīng)選。（4）若級(jí)數(shù)收斂，則 （ ）。 2。 。 ?！敬鸢浮俊窘狻?，由得，于是，由收斂得，應(yīng)選。（5）設(shè)為維單位列向量，為階單位矩陣，則（ ）不可逆。 不可逆。不可逆。 不可逆?！敬鸢浮俊窘狻苛?，令，由得，或，

2、因?yàn)榈玫奶卣髦禐?，的特征值為，從而，即不可逆，?yīng)選。（6）已知矩陣，則 （ ）與相似，與相似。 與相似，與不相似。與不相似，與相似。與不相似，與不相似。【答案】【解】的特征值為，由得，則可相似對角化，從而；由得，則不可相似對角化，從而與不相似，應(yīng)選。（7）設(shè)為三個(gè)隨機(jī)事件，且與相互獨(dú)立，與相互獨(dú)立，則與相互獨(dú)立的充分必要條件是（ ）與相互獨(dú)立。 與互不相容。與相互獨(dú)立。 與互不相容?！敬鸢浮俊窘狻?，與獨(dú)立即的充分必要條件為，或，即與獨(dú)立，應(yīng)選。（8）設(shè)（）為來自總體的簡單隨機(jī)樣本，記，則下列結(jié)論正確的是（ ）服從分布。 服從分布。服從分布。 服從分布?！敬鸢浮俊窘狻咳艨傮w，則，因?yàn)榭傮w，所以，

3、再由得，從而，不正確的是，應(yīng)選。二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分）（9）?！敬鸢浮俊窘狻?。（10）差分方程的通解為?！敬鸢浮俊窘狻康耐ń鉃?；設(shè)的特解為，代入得，故的通解為。（11）設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的平均成本為，其中為產(chǎn)量，則邊際成本為?！敬鸢浮俊窘狻科骄杀緸?，總成本為，邊際成本為。（12）設(shè)函數(shù)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，則?！敬鸢浮俊窘狻坑傻?，再由得，故。（13）矩陣，為線性無關(guān)的三維列向量組，則向量組的秩為?！敬鸢浮?【解】，因?yàn)榫€性無關(guān)，所以可逆，從而，由得，故向量組的秩為2。（14）設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為，若，則?！敬鸢浮俊窘狻?，再由得，。三、解答題（15）（本題滿分10

4、分）求?！窘狻浚瑒t。（16）（本題滿分10分）計(jì)算積分，其中是第一象限中曲線與軸邊界圍成的無界區(qū)域?！窘狻俊＃?7）（本題滿分10分）求。【解】。（18）（本題滿分10分）已知方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)根，求的范圍。【解】令，令，由得（）；再由得（），即（），因?yàn)?，即，故。?9）（本題滿分10分）若，（），為冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。（1）證明：的收斂半徑不小于1，并求。（2）證明（），并求?！咀C明】（）由得。由得，令，即單調(diào)增加，若有上界，則，從而，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為；若無上界，由得，故級(jí)數(shù)的收斂半徑。（），即滿足。由得，解得，再由得，故。（20）（本題滿分11分）設(shè)3階矩陣有三個(gè)不同的特征值，且。（）證明：

5、（）若，求方程組的通解。【證明】（）設(shè)的特征值為，因?yàn)橛腥齻€(gè)不同的特征值，所以可以相似對角化，即存在可逆矩陣，使得 ，因?yàn)閮蓛刹煌?，所以，又因?yàn)?，所以線性相關(guān)，從而，于是。（）因?yàn)?，所以基礎(chǔ)解系含一個(gè)線性無關(guān)的解向量，由得的通解為 （為任意常數(shù)）。（21）（本題滿分11分）設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為，求的值及一個(gè)正交矩陣?！窘狻?，因?yàn)?，所以。由得。由得。由得對?yīng)的線性無關(guān)的特征向量為；由得對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為；由得對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為。規(guī)范化得，故正交矩陣為。（22）（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，的密度為（）求。（）求的概率密度。【解】（），。（），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即密度為。（23）（本題滿分11分）某工程師為了解一臺(tái)天平的精度，用該天平對一物體的質(zhì)量做次測量，該物體的質(zhì)量是已知的，設(shè)次測量結(jié)果相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布。該工程師記錄的是次測量的絕對誤差（），利用估計(jì)。（）求的