半方差函數(shù)(共3頁)

1、半方差半方差函數(shù)(Semi-variogram)及其模型 半方差函數(shù)也稱為,它是地統(tǒng)計(jì)學(xué)中研究土壤變異性的關(guān)鍵函數(shù). 2.1.1半方差函數(shù)的定義和參數(shù) 如果隨機(jī)函數(shù)Z(x)具有二階平穩(wěn)性,則半方差函數(shù)(h)可以用Z(x)的方差S2和空間協(xié)方差C(h)來定義:(h)= S2-C(h) (h)反映了Z(x)中的空間相關(guān)部分,它等于所有以給定間距h相隔的樣點(diǎn)測值之差平方的數(shù)學(xué)期望: (1) 實(shí)際可用: (2) 式中N(h)是以h為間距的所有觀測點(diǎn)的成對數(shù)目.某個(gè)特定方向的半方差函數(shù)圖通常是由(h)對h作圖而得.在通常情況下,半方差函數(shù)值都隨著樣點(diǎn)間距的增加而增大,并在一定的間距(稱為變程,arran

2、ge)升大到一個(gè)基本穩(wěn)定的常數(shù)(稱為基臺,sill). 土壤性質(zhì)的半方差函數(shù)也可能持續(xù)增大,不表現(xiàn)出確定的基臺和變程,這時(shí)無法定義空間方差,說明存在有趨勢效應(yīng)和非平穩(wěn)性.另一些半方差函數(shù)則可能完全缺乏空間結(jié)構(gòu),在所用的采樣尺度下,樣品間沒有可定量的空間相關(guān)性. 從理論上講,實(shí)驗(yàn)半方差函數(shù)應(yīng)該通過坐標(biāo)原點(diǎn),但是許多土壤性質(zhì)的半方差函數(shù)在位置趨于零時(shí)并不為零.這時(shí)的非零值就稱為"塊金方差(Nugget variance)"或"塊金效應(yīng)".它代表了無法解釋的或隨機(jī)的變異,通常由測定誤差或土壤性質(zhì)的微變異所造成. 對于平穩(wěn)性數(shù)據(jù),基底方差與結(jié)構(gòu)方差之和約等于基臺

3、值. 2.1.2 方差函數(shù)的理論模型 土壤在空間上是連續(xù)變異的,所以土壤性質(zhì)的半方差函數(shù)應(yīng)該是連續(xù)函數(shù).但是,樣品半方差圖卻是由一批間斷點(diǎn)組成.可以用直線或曲線將這些點(diǎn)連接起來,用于擬合的曲線方程就稱為半方差函數(shù)的理論模型.在土壤研究中常用的模型有: 線性有基臺模型: 式中C1/a是直線的斜率.這是一維數(shù)據(jù)擬合的最簡單模型: (h)=C0 +C1·h/a 0在極限情況下,C1/a可以為0,這時(shí)就有純塊金效應(yīng)模型: (h)=C0, h>0 (4) (0)=0 h=0 球狀模型 (h)= C0 +C11.5h/a-0.5(h/a)3 0a (5) (0)=0 h=0 指數(shù)模型 (h

4、)=C0+C11-exp-h/a h>0 (6) (0)=0 h=0 雙曲線模型 (7) 高斯模型 (h)=C0+C11-exp(-h2/a2) h>0 (8) (0)=0 h=0 選定了半方差函數(shù)的擬合模型后,通常是以最小二乘法計(jì)算方程的參數(shù),并應(yīng)用Ross等的最大似然程序(MLP),得到效果最好的半方差方程. 2.1.3 模型的檢驗(yàn)(cross-validation,又稱作jacknifing) 為了檢驗(yàn)所選模型三個(gè)參數(shù)的合理性,必須作一定的檢驗(yàn).但是到現(xiàn)在為止還沒有一個(gè)有效的方法檢驗(yàn)參數(shù)的置信區(qū)間;同時(shí),由于我們不知道半方差模型的確切形式,所選定的模型只是半方差函數(shù)的近似式,

5、故無法以確切的函數(shù)形式對模型參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn).交叉驗(yàn)證法的檢驗(yàn)方法,一種間接的結(jié)合普通克立格的方法,為檢驗(yàn)所選模型的參數(shù)提供了一個(gè)途徑.這個(gè)方法的優(yōu)點(diǎn)是在檢驗(yàn)過程中對所選定的模型參數(shù)不斷進(jìn)行修改,直至達(dá)到一定的精度要求. 交叉驗(yàn)證法的基本思路是:依次假設(shè)每一個(gè)實(shí)測數(shù)據(jù)點(diǎn)未被測定,由所選定的半方差模型,根據(jù)n-1個(gè)其它測定點(diǎn)數(shù)據(jù)用普通克立格估算這個(gè)點(diǎn)的值.設(shè)測定點(diǎn)的實(shí)測值為,估算值為,通過分析誤差,來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇? 2.1.4半方差函數(shù)的模型的選取原則和參數(shù)的確定 半方差函數(shù)的模型的選取原則是:首先根據(jù)公式計(jì)算出(h)的散點(diǎn)圖,然后分別用不同類型的模型來進(jìn)行擬合,得到模型的參數(shù)值及離差平方和

6、,首先考慮離差平方和較小的模型類型,其次,考慮塊金值和獨(dú)立間距,最后用交叉驗(yàn)證法來修正模型的參數(shù). 2.2 Kriging最優(yōu)內(nèi)插估值法 如果區(qū)域化變量滿足二階平穩(wěn)或本征假設(shè),對點(diǎn)或塊段的估計(jì)可直接采用點(diǎn)克立格法(Puctual Kriging )或者塊段克立格法(Block Kriging).這兩種方法是最基本的估計(jì)方法,也稱普通克立格法(Origing Kriging,簡稱OK). 半方差圖除用于分析土壤特性空間分布的方向性和相關(guān)距離外,還可用于對未測點(diǎn)的參數(shù)進(jìn)行最優(yōu)內(nèi)插估值和成圖,該法原理如下: Kriging最優(yōu)內(nèi)插法的原理 設(shè)x0為未觀測的需要估值的點(diǎn),x1, x2, xN 為其周圍

7、的觀測點(diǎn),觀測值相應(yīng)為y(x1 ),y(x2),y(xN).未測點(diǎn)的估值記為 (x0),它由相鄰觀測點(diǎn)的已知觀測值加權(quán)取和求得: (9) 此處,(i為待定加權(quán)系數(shù). 和以往各種內(nèi)插法不同,Kriging內(nèi)插法是根據(jù)無偏估計(jì)和方差最小兩項(xiàng)要求來確定上式中的加權(quán)系數(shù)(i的,故稱為最優(yōu)內(nèi)插法. 1. 無偏估計(jì) 設(shè)估值點(diǎn)的真值為y(x0).由于土壤特性空間變異性的存在,以及, y(x0)均可視為隨機(jī)變量.當(dāng)為無偏估計(jì)時(shí), (10) 將式(9)代入(10)式,應(yīng)有 (11) 2. 估值和真值y(x0)之差的方差最小.即 (12) 利用式(3-10),經(jīng)推導(dǎo)方差為 (13) 式中,(xi,xj)表示以xi

8、和xj兩點(diǎn)間的距離作為間距h時(shí)參數(shù)的半方差值,(xi, x0)則是以xi和x0兩點(diǎn)之間的距離作為間距h時(shí)參數(shù)的半方差值.觀測點(diǎn)和估值點(diǎn)的位置是已知的,相互間的距離業(yè)已知,只要有所求參數(shù)的半方差(h)圖,便可求得各個(gè)(xi,xj)和(xi,x0)值. 因此,確定式(9)中各加權(quán)系數(shù)的問題,就是在滿足式(11)的約束條件下,求目標(biāo)函數(shù)以式(13)表示的方差為最小值的優(yōu)化問題.求解時(shí)可采用拉格朗日法,為此構(gòu)造一函數(shù),(為待定的拉格朗日算子.由此,可導(dǎo)出優(yōu)化問題的解應(yīng)滿足: i=1,2,N (14) 由式(14)和式(11)組成n+1階線性方程組,求解此線性方程組便可得到n個(gè)加權(quán)系數(shù)(i和拉格朗日算子(.該線性方程組可用矩陣形式表示: (15) 式中,( ij為(xi,xj)的簡寫. 求得各(i值和(值后,由式(9)便可得出x0點(diǎn)的最優(yōu)估值y(x0).而且