二次函數(shù)的圖象

1、 二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)濟(jì)源市實(shí)驗(yàn)中學(xué)濟(jì)源市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 初三數(shù)序組初三數(shù)序組1.若（若（m，a），（），（n，a）是）是拋物線上不同的兩點(diǎn)，拋物線上不同的兩點(diǎn)，則拋物線的對(duì)稱軸為：直線則拋物線的對(duì)稱軸為：直線2nmxabxx2221abacabxacbxaxy44)2(2222.拋物線與拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)軸兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離之間的距離 aacbxxab4221yocx1x2abx2ab)44,2(2abacab3、系數(shù)、系數(shù)a的作用：的作用：決定開口方向與開口大決定開口方向與開口大小以及函數(shù)最值情況小以及函數(shù)最值情況注意：注意：|a|越大，拋物線的張口越小；越大，拋物線的張口越小；|a|越小，拋

2、物線的張口越大，越小，拋物線的張口越大，|a|相同的拋物線通過平移相同的拋物線通過平移（或旋轉(zhuǎn)）一定能重合。（或旋轉(zhuǎn)）一定能重合。yocx1x2abx2ab)44,2(2abacabyocx1x2abx2ab)44,2(2abacab4、系數(shù)、系數(shù)b的作用：的作用：和拋物線的對(duì)稱軸有關(guān)。和拋物線的對(duì)稱軸有關(guān)。當(dāng)當(dāng)ab0時(shí)，對(duì)稱軸在時(shí)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)軸左側(cè)當(dāng)當(dāng)ab0b.b2-4ac0c.2a+b0d.4a-2b+c0)的對(duì)稱軸，當(dāng)?shù)膶?duì)稱軸，當(dāng)x1=0,x2=1.5,x3=3時(shí)，時(shí)，對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的y值依次是值依次是y1,y2,y3,則它們之則它們之間的大小關(guān)系是間的大小關(guān)系是_2)2(2)(222

3、22222babaxbaxbaxyxyox=21.531y1y2y3例例3.求滿足下列條件的二次函數(shù)解析式：求滿足下列條件的二次函數(shù)解析式：（1）二次函數(shù)的圖像與）二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)a(2,0), b(4,0),且圖像過點(diǎn)且圖像過點(diǎn)c(1,6)（2）二次函數(shù)當(dāng)）二次函數(shù)當(dāng)x=1時(shí)有最大值時(shí)有最大值y=4,且且x=0時(shí)時(shí) y=0（3）二次函數(shù)的圖像可由函數(shù)）二次函數(shù)的圖像可由函數(shù)y=ax2-1的圖像的圖像 向左平移向左平移2個(gè)單位得到，且過點(diǎn)個(gè)單位得到，且過點(diǎn)m(-1,-3)4)(2(xxay設(shè)4) 1(2xay設(shè)1)2(2xay（4）圖象在圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為軸上截得的線

4、段長(zhǎng)為4，圖象，圖象 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為的頂點(diǎn)坐標(biāo)為p（3，-2）。）。xyop(3,-2)15)5)(1(xxay設(shè)（5）已知拋物線）已知拋物線c與拋物線與拋物線y=2x2-4x+5關(guān)關(guān)于于x軸對(duì)稱，求軸對(duì)稱，求拋物線拋物線c 的解析式的解析式。xyo(1,3)y=2(x-1)2+3(1,-3)y=2(x-1)2-3思考：若把拋物線拋物線y=2xy=2x2 2-4x+5-4x+5繞著頂點(diǎn)旋繞著頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)1801800 0（6）拋物線與）拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為 -2.5，積為，積為-6，且過點(diǎn)，且過點(diǎn)(0,-6)a(x1,0),b(x2,0)x1+x2=-2.5, x

5、1x2=-6 x1,x2是方程是方程x2+2.5x-6=0的兩根的兩根所求的拋物線解析式是所求的拋物線解析式是y=a(x2+2.5x-6)（7）拋物線的頂點(diǎn)是直線）拋物線的頂點(diǎn)是直線y=2x與與y=-2x+4的的交點(diǎn)，且經(jīng)過直線交點(diǎn)，且經(jīng)過直線y=-2x+4與與y軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)（8）把拋物線）把拋物線y=ax2+bx+c向下平移向下平移2個(gè)單位，個(gè)單位，再向左平移再向左平移6個(gè)當(dāng)單位，所得的拋物線頂點(diǎn)為個(gè)當(dāng)單位，所得的拋物線頂點(diǎn)為(-3,-1)，且，且a+b+c=9，求原拋物線解析式，求原拋物線解析式)9 , 1 (, 91)3(, 21)63(1)3(222得拋物線經(jīng)過又即原來的拋物線解析

6、式是平移后的拋物線為cbaxayxayxay例例4已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y=-x2+(m-2)x+3 滿足下列條件：滿足下列條件：（1）圖象與）圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為（2）當(dāng)）當(dāng)x1時(shí)，時(shí)，y隨隨x增大而減小。增大而減小。求求m的值。的值。21變式：變式：已知拋物線已知拋物線 y=-x2+(m-2)x+3與與x軸交于軸交于a，b兩點(diǎn)兩點(diǎn),與與y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)c,且同時(shí)滿足下列且同時(shí)滿足下列條件條件: (1)當(dāng)當(dāng)x-2時(shí)時(shí),y隨隨x的增大而增大的增大而增大; (2)當(dāng)當(dāng)x1時(shí)時(shí),y隨隨x的增大而減小的增大而減小. 如果如果o是坐標(biāo)原點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),m是是ab中點(diǎn)中點(diǎn),

7、問是否問是否存在這樣的存在這樣的m值值,使使com的面積等于的面積等于2或或6?若存在若存在,請(qǐng)求出請(qǐng)求出m的值的值;若不存在若不存在,請(qǐng)說明請(qǐng)說明理由理由?例例5.已知點(diǎn)已知點(diǎn)a（-1，-1）在拋物線）在拋物線y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1上上（1）求拋物線的對(duì)稱軸；）求拋物線的對(duì)稱軸；（2）若）若b點(diǎn)與點(diǎn)與a點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱， 問是否存在與拋物線只交于一點(diǎn)問是否存在與拋物線只交于一點(diǎn)b的直線？的直線？ 如果存在，求符合條件的直線；如果不存如果存在，求符合條件的直線；如果不存 在，說明理由。在，說明理由。解（解（2） b點(diǎn)與點(diǎn)與a點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱

8、軸對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱b點(diǎn)坐標(biāo)為（點(diǎn)坐標(biāo)為（x,-1），又），又b點(diǎn)在拋物線點(diǎn)在拋物線 上，上，11082xxy110812xx解得解得b點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為) 1,41(k=-3,y=8x2+10 x+1當(dāng)直線過點(diǎn)當(dāng)直線過點(diǎn)b，且與，且與y軸平行時(shí)，軸平行時(shí)，滿足條件，此時(shí)直線為滿足條件，此時(shí)直線為41x假設(shè)存在直線假設(shè)存在直線y=mx+n與拋物線只交于一點(diǎn)與拋物線只交于一點(diǎn)b5 .06, 5 .0, 64110)1 (32)10(001)10(81108222xynmnmbnmnxmxxxynmxyyb在直線上又軸不平行時(shí)且與當(dāng)直線過b ba a本節(jié)內(nèi)容主要復(fù)習(xí)了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，

9、本節(jié)內(nèi)容主要復(fù)習(xí)了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，圍繞解析式、圖象、性質(zhì)三方面展開。圍繞解析式、圖象、性質(zhì)三方面展開。（1）研究二次函數(shù)圖象的關(guān)鍵是將函數(shù)式轉(zhuǎn)換）研究二次函數(shù)圖象的關(guān)鍵是將函數(shù)式轉(zhuǎn)換為頂點(diǎn)式，理解二次函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵是：充分為頂點(diǎn)式，理解二次函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵是：充分理解圖象的直觀性。歸納到理解圖象的直觀性。歸納到“三點(diǎn)（頂點(diǎn)、與三點(diǎn)（頂點(diǎn)、與坐標(biāo)軸交點(diǎn)）一開口坐標(biāo)軸交點(diǎn)）一開口”。（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，三種）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，三種表達(dá)形式在不同條件下，應(yīng)選擇計(jì)算量少的那表達(dá)形式在不同條件下，應(yīng)選擇計(jì)算量少的那一種形式，通常還用到拋物線截一種形式，通常還用到拋物線

10、截x軸所得線段軸所得線段長(zhǎng)，面積等求法。長(zhǎng)，面積等求法。小結(jié)：例例6. 已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y=x2+ax+a-2（1）證明：不論）證明：不論a取何值，拋物線取何值，拋物線y=x2+ax+a-2的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)q總在總在x軸下方。軸下方。（2）設(shè)拋物線）設(shè)拋物線y=x2+ax+a-2與與y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)c，如，如果過點(diǎn)果過點(diǎn)c且平行于且平行于x軸的直線與該拋物線有兩個(gè)軸的直線與該拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，并設(shè)另一交點(diǎn)為不同的交點(diǎn)，并設(shè)另一交點(diǎn)為d,問：?jiǎn)枺篴cd能能否是等邊三角形？若能，請(qǐng)求出相應(yīng)的二次函數(shù)否是等邊三角形？若能，請(qǐng)求出相應(yīng)的二次函數(shù)解析式；若不能，請(qǐng)說明理由。解析式；若不能，請(qǐng)說明理由。（3）在（）在（2）題的已知條件下，又設(shè)拋物線與）題的已知條件下，又設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)之一為點(diǎn)軸的交點(diǎn)之一為點(diǎn)a,則能使則能使acd的面積等于的面積等于0.25的