第四節(jié)輸運方程

1、-作者xxxx-日期xxxx第四節(jié)輸運方程【精品文檔】第四節(jié) 系統(tǒng)控制體輸運公式一、系統(tǒng)系統(tǒng)：就是一群流體質(zhì)點的集合。流體系統(tǒng)在運動過程中盡管形狀在不停地發(fā)生變化，但始終包含有相同的流體質(zhì)點，有確定的質(zhì)量。系統(tǒng)的特點：1、從流體中取出的一定質(zhì)量的流體；2、與周圍流體無質(zhì)量交換（即運動過程始終包含這些確定的流體質(zhì)點）；3、系統(tǒng)的體積和形狀可以隨時間改變。4、在系統(tǒng)的邊界上可以有能量交換。二、控制體控制體(control volume)：相對于坐標(biāo)系固定不變的空間體積V 。是為了研究問題方便而取定的。邊界面S 稱為控制面。 控制體的特點：1、從該場中取出某一固定的空間區(qū)域，該體積稱為控制體，其表面

2、為控制面。2、控制體的形狀可根據(jù)研究的需要任意選定，但一旦選定以后，其形狀位置均不變。3、在控制面上可以存在質(zhì)量及能量交換。三、輸運方程（雷諾輸運定理）引言：為什么需要雷諾輸運定理？看下圖如此簡單的一個射流擋板受力，擋板受到的力多大？根據(jù)牛頓力學(xué)，就是求擋板對流體的力多大。擋板對流體施加了力，根據(jù)牛頓第二運動定律，應(yīng)該等于流體系統(tǒng)的動量的變化率。請注意，牛頓力學(xué)適用的是形狀、位置、密度不發(fā)生變化的系統(tǒng)的動量變化率。系統(tǒng)的動量變化率怎么求？真的要研究一個個的流體微團(tuán)的來龍去脈，密度、速度變化，再把它們總加起來，合成為系統(tǒng)，研究系統(tǒng)的變化率嗎？不是不可以，這是拉格朗日的研究方法。前面咱們已經(jīng)親身實

3、踐過了拉格朗日研究方法跡線的求法，計算相對于歐拉的空間點法要復(fù)雜許多。而且這樣一個問題，我們實際上并不關(guān)心流體的最終去向和流體的形狀、密度會發(fā)生什么變化，只是關(guān)心板的受力情況。這里流體還是密度不發(fā)生變化的不可壓縮的液體，若射流是密度可能發(fā)生變化的氣體，用可壓縮流體去研究，情況會變得更加復(fù)雜。為了使研究過程以及計算變得簡單，我們想用歐拉的空間的辦法，也就是控制體的辦法解決這個問題。繪出如上圖的控制體，設(shè)法用形狀、位置不變的控制體內(nèi)的動量變化率來表示系統(tǒng)的動量變化率，這就是雷諾輸運定理。整個思路是：板受到的力，等于系統(tǒng)的動量變化率；再用控制體的動量變化率表示系統(tǒng)的變化率，就完成了板受到的力等于控制

4、體動量變化率的轉(zhuǎn)化；從而，通過計算控制體的動量變化率，求得板受到的力。 另外，還有機械能守恒的問題。機械能守恒也是指的“質(zhì)量不變的確定物體”的系統(tǒng)的機械能守恒，不是“內(nèi)含不斷變化的新物體” 的控制體的機械能守恒；因此，用控制體的方法研究機械能守恒，推出著名的伯努利方程，也需要利用雷諾輸運定理?？偠灾瑢ⅰ斑m用于系統(tǒng)的牛頓力學(xué)基本方程”轉(zhuǎn)化成“適用于空間體積的力學(xué)方程”，這就是雷諾輸運定理的用途。下面看看什么是傳說中的雷諾輸運定理 II 控制體 系統(tǒng) III I x y z o 設(shè)N為t瞬時，系統(tǒng)內(nèi)流體具有的某種物理量；（-讀Eta,伊塔）表示單位質(zhì)量流體具有的這種物理量。在流場中任選一控制體

5、（實線）II在t瞬時，系統(tǒng)與所選的控制體相重合，系統(tǒng)所占的空間體積為II。在這里用v代表體積，V代表速度。t+t瞬時，由于系統(tǒng)內(nèi)流體的流動，系統(tǒng)所占的空間體積為IIIII（系統(tǒng)用虛線表示，系統(tǒng)的形狀、大小都發(fā)生了變化，大小發(fā)生變化，意味著流體的密度發(fā)生了變化，也就是流體是可壓縮流體），則t時間間隔內(nèi)，系統(tǒng)內(nèi)某種物理量的增量為： 式中的為空間II中的任意某一微元體積，乘以這一微元體積對應(yīng)的密度（這里允許II內(nèi)各處的密度不相同，也就是允許流體是可壓縮的），得出某一微元的質(zhì)量，再乘以得出任意某一微元具有的某種物理量，再在整個II空間積分，得到II空間內(nèi)具有某種物理量；注意II空間內(nèi)具有某種物理量是在

6、時刻具有的物理量，在其它時刻具有的物理量，不一定是這個值。后兩項含義一樣，不再贅述。上式右邊加上并減去，用通除再取極限得： （a）對（a）式左端取極限為： (b)上式就是系統(tǒng)內(nèi)某種物理量對時間的變化率。下面分析（a）右端各項的物理意義。其中（a）式右端第一項的物理意義，對（a）式右端第一項取極限為：注意到，所占的體積，就是控制體的體積。而控制體的體積為了能清晰的從別的體積中識別出來，通常用表示，所以上式可表示為： (c)（c）式表示控制體內(nèi)流體所具有的某種物理量對時間的變化率。用偏導(dǎo)而不用全導(dǎo)的原因是：控制體內(nèi)流體所具有的某種物理量不僅僅是隨時間變化；控制體周圍流場的流體具有這種物理量的“密度

7、”若與控制體內(nèi)流體所具有的某種物理量的“密度”不一致，也會造成由于流場的非均勻性引起的這種物理量之間遷移，進(jìn)而改變控制體內(nèi)流體所具有的某種物理量，因此只能用偏導(dǎo)。（這里“密度”概念只是借用，借用來表示單位體積具有的這種物理量的概念） (c)式表示在同一地點上控制體內(nèi)的某種物理量隨時間的變化率，相當(dāng)于當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)項，是由流場的非穩(wěn)定性引起的。（a）式右端第二項的物理意義是t時間內(nèi)從控制體流出的流體所具有的某種物理量。則表示單位時間內(nèi)從控制體流出的某種物理量。A2如上圖，將控制體的外表面分成兩部分，流體流出的那部分面積記作A2，流入控制體的那部分面積記作A1。（流出部分A2+流入部分A2就是控制體全部

8、外表面總面積cs）在面積A2上取微元面積，其上流速為，單位時間從微元面積上流出的流體質(zhì)量為，單位時間從微元面積上流出的流體所具有的某種物理量為，則單位時間為從A2流出的物理量應(yīng)是。和都是單位時間從控制體內(nèi)流出的物理量，因此應(yīng)該相等，也就是（a）右端第三項的物理意義：表示t時間間隔內(nèi)流進(jìn)控制體的流體具有的某種物理量。同理，單位時間內(nèi)從A1流進(jìn)的這種物理量應(yīng)是：“”號是因為在流入條件下，或（cos）為負(fù)值。其中表示控制面的微元面積矢量，為d的法向單位矢量，垂直于控制面，規(guī)定向外為“”。單位時間內(nèi)經(jīng)過整個控制面的某種物理量的通量為：而： (d)其中A1+A2 =CS（控制面），對(1)取極限，將 (

9、b)、(c)、(d)代入(a)則； (e)式(e)表明：系統(tǒng)內(nèi)部對時間的變化率控制體內(nèi)對時間的變化率單位時間經(jīng)過控制面的的凈通量式（e）即為用“空間體積（即控制體）”的辦法表示“系統(tǒng)內(nèi)某種物理量N”隨時間的變化率，稱為輸運公式。就是將拉格朗日法中，求某種物理量的變化率轉(zhuǎn)化為歐拉法的計算公式，是歐拉法中的控制體法的基本公式。該式表明，流體系統(tǒng)內(nèi)部的某種物理量N的時間變化率數(shù)值上等于兩部分的和：一部分是由于流場的非穩(wěn)定性引起的控制體內(nèi)N的變化率，相當(dāng)于當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)項，另一部分是流體系統(tǒng)通過控制體表面的單位時間的凈通量，是流場的非均勻性引起的，相當(dāng)于遷移導(dǎo)數(shù)項。物理量N可以是標(biāo)量，如質(zhì)量、能量等，也可以

10、是矢量，如動量和動量矩等。對定常流動，控制體內(nèi)各物理量不隨時間變化，所以：則： (g)即在定常流動的條件下，系統(tǒng)內(nèi)部的流體所具有的某種物理量的變化僅與通過控制面的流動有關(guān)。第五節(jié) 連續(xù)性方程 連續(xù)性方程研究的是質(zhì)量，也叫質(zhì)量方程，或質(zhì)量守恒方程；說的是系統(tǒng)的質(zhì)量不隨時間發(fā)生變化；根據(jù)系統(tǒng)定義，系統(tǒng)就是從流體中取出的一定質(zhì)量的流體，且不與周圍流體發(fā)生質(zhì)量交換，因此系統(tǒng)的質(zhì)量自然不隨時間發(fā)生變化。寫成方程就是就是=0，這里N是系統(tǒng)質(zhì)量，其實就是系統(tǒng)的質(zhì)量m不隨時間變化，即=0 用控制體方法表示系統(tǒng)的質(zhì)量不隨時間發(fā)生變化這件事，就是下面這個過程：首先，輸運方程的通式是：，前面已經(jīng)說了，系統(tǒng)的質(zhì)量m不隨時間變化，所以=0，所以用控制體表示系統(tǒng)的質(zhì)量m不隨時間變化這件事，就是：=0翻譯成俗話就是：控制體內(nèi)質(zhì)量隨時間的變化 加上 單位時間內(nèi)進(jìn)、出控制體的外表面（控制面）的質(zhì)量等于零。當(dāng)研究對象是質(zhì)量時，就等于數(shù)字1；原因是的定義就是：1個單位質(zhì)量的流體具有的某種物理量，這個物理量現(xiàn)在是質(zhì)量，那么這句就變成1個單位質(zhì)量的流體具有的質(zhì)量就是1個單位，所以=1；所以系統(tǒng)質(zhì)量守恒這件事，用控制表示，就成為： 在書寫公式的時候，我們反復(fù)用了這