二倍角的正弦余弦正切公式教案

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載二倍角的正弦、余弦、正切公式整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析“二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了兩角和與差的三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究具有“二倍角”關(guān)系的正弦、余弦、正切公式的，它既是兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又為以后求三角函數(shù)值、化簡、證明提供了非常有用的理論工具、通過對二倍角的推導(dǎo)知道，二倍角的內(nèi)涵是：揭示具有倍數(shù)關(guān)系的兩個三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律、通過推導(dǎo)還讓學(xué)生加深理解了高中數(shù)學(xué)由一般到特殊的化歸思想、因此本節(jié)內(nèi)容也是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算和邏輯推理能力的重要內(nèi)容，對培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力都有著十分重要的意義.本節(jié)課通過教師提出問題、設(shè)置情境及對

2、和角公式中 、 關(guān)系的特殊情形 = 時(shí)的簡化，讓學(xué)生在探究中既感到自然、易于接受，還可清晰知道和角的三角函數(shù)與倍角公式的聯(lián)系，同時(shí)也讓學(xué)生學(xué)會怎樣發(fā)現(xiàn)規(guī)律及體會由一般到特殊的化歸思想. 這一切教師要引導(dǎo)學(xué)生自己去做 , 因?yàn)?，?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出：“要讓學(xué)生在參與特定的數(shù)學(xué)活動，在具體情境中初步認(rèn)識對象的特征，獲得一些體驗(yàn)”.在實(shí)際教學(xué)過程中不要過多地補(bǔ)充一些高技巧、高難度的練習(xí)，更不要再補(bǔ)充一些較為復(fù)雜的積化和差或和差化積的恒等變換，否則就違背了新課標(biāo)在這一章的編寫意圖和新課改精神 .三維目標(biāo)1. 通過讓學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)二倍角公式, 了解它們之間、以及它們與和角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系 , 并通過

3、強(qiáng)化題目的訓(xùn)練, 加深對二倍角公式的理解，培養(yǎng)運(yùn)算能力及邏輯推理能力, 從而提高解決問題的能力.2. 通過二倍角的正弦、余弦、正切公式的運(yùn)用，會進(jìn)行簡單的求值、化簡、恒等證明. 體會化歸這一基本數(shù)學(xué)思想在發(fā)現(xiàn)中和求值、化簡、恒等證明中所起的作用. 使學(xué)生進(jìn)一步掌握聯(lián)系變化的觀點(diǎn)，自覺地利用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)來分析問題，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.3. 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟?qū)ふ覕?shù)學(xué)規(guī)律的方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，以及善于發(fā)現(xiàn)和勇于探索的科學(xué)精神 .重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：二倍角公式推導(dǎo)及其應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：如何靈活應(yīng)用和、差、倍角公式進(jìn)行三角式化簡、求值、證明恒等式課時(shí)安排1 課時(shí).教學(xué)過程導(dǎo)入

4、新課思路1. ( 復(fù)習(xí)導(dǎo)入 ) 請學(xué)生回憶上兩節(jié)共同探討的和角公式、差角公式，并回憶這組公式的來龍去脈，然后讓學(xué)生默寫這六個公式 . 教師引導(dǎo)學(xué)生：和角公式與差角公式是可以互相化歸的 . 當(dāng)兩角相等時(shí) , 兩角之和便為此角的二倍 , 那么是否可把和角公式化歸為二倍角公式呢今天 , 我們進(jìn)一步探討一下二倍角的問題，請同學(xué)們思考一下，應(yīng)解決哪些問題呢？由此展開新課 .?思路2.(問題導(dǎo)入) 出示問題，讓學(xué)生計(jì)算， 若sin = 3 , (, ),求sin2 ，cos2 52的值 . 學(xué)生會很容易看出：sin2 =sin( +)=sincos +cos sin =2sincos 的，以此展開新課，并

5、由此展開聯(lián)想推出其他公式.學(xué)習(xí)必備歡迎下載推進(jìn)新課新知探究提出問題還記得和角的正弦、余弦、正切公式嗎？ ( 請學(xué)生默寫出來，并由一名學(xué)生到黑板默寫 ) 你寫的這三個公式中角 、 會有特殊關(guān)系 = 嗎？此時(shí)公式變成什么形式？在得到的 C2 公式中，還有其他表示形式嗎？細(xì)心觀察二倍角公式結(jié)構(gòu)，有什么特征呢？能看出公式中角的含義嗎？思考過公式成立的條件嗎？讓學(xué)生填空：老師隨機(jī)給出等號一邊括號內(nèi)的角，學(xué)生回答等號另一邊括號內(nèi)的角，稍后兩 人 為 一 組 ， 做 填 數(shù) 游 戲 ： sin()=2sin()cos() ，cos( )=cos2()-sin2( ).思考過公式的逆用嗎？想一想C2 還有哪些

6、變形？請思考以下問題：sin2 =2sin 嗎？ cos2 =2cos 嗎？ tan2 =2tan ？活動：問題 , 學(xué)生默寫完后， 教師打出課件， 然后引導(dǎo)學(xué)生觀察正弦、 余弦的和角公式，提醒學(xué)生注意公式中的, ，既然可以是任意角，怎么任意的？你會有些什么樣的奇妙想法呢？并鼓勵學(xué)生大膽試一試. 如果學(xué)生想到, 會有相等這個特殊情況，教師就此進(jìn)入下一個問題，如果學(xué)生沒想到這種特殊情況，教師適當(dāng)點(diǎn)撥進(jìn)入問題，然后找一名學(xué)生到黑板進(jìn)行簡化，其他學(xué)生在自己的座位上簡化、教師再與學(xué)生一起集體訂正黑板的書寫，最后學(xué)生都不難得出以下式子，鼓勵學(xué)生嘗試一下，對得出的結(jié)論給出解釋. 這個過程教師要舍得花時(shí)間，

7、充分地讓學(xué)生去思考、去探究， 并初步地感受二倍角的意義. 同時(shí)開拓學(xué)生的思維空間，為學(xué)生將來遇到的3 或 3 等角的探究附設(shè)類比聯(lián)想的源泉.sin( + )=sin cos +cos sin =2sin cos （ S2 ） ;cos( + )=cos cos -sin sin =cos 2 -sin2 (C2);tan( + )=tantantan 22 tan()1 tantan1 tan2T2這時(shí)教師適時(shí)地向?qū)W生指出，我們把這三個公式分別叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書，確切明了二倍角的含義，以后的“倍角”專指“二倍角”、教師適時(shí)提出問題，點(diǎn)撥學(xué)生結(jié)合 sin 2

8、+cos2 =1 思考 , 因此二倍角的余弦公式又可表示為以下右表中的公式 .這時(shí)教師點(diǎn)出，這些公式都叫做倍角公式（用多媒體演示）. 倍角公式給出了 的三角函數(shù)與 2 的三角函數(shù)之間的關(guān)系.問題 , 教師指導(dǎo)學(xué)生，這組公式用途很廣，并與學(xué)生一起觀察公式的特征與記憶，首先公式左邊角是右邊角的2 倍；左邊是2 的三角函數(shù)的一次式，右邊是 的三角函數(shù)的二次式，即左到右升冪縮角，右到左降冪擴(kuò)角、二倍角的正弦是單項(xiàng)式，余弦是多項(xiàng)式，正切是分式 .問題 , 因?yàn)檫€沒有應(yīng)用，對公式中的含義學(xué)生可能還理解不到位，教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察思考并初步感性認(rèn)識到： ( ) 這里的“倍角”專指“二倍角” , 遇到“三倍角”

9、等名詞時(shí), “三”字等不可省去； ( ) 通過二倍角公式, 可以用單角的三角函數(shù)表示二倍角的三角函學(xué)習(xí)必備歡迎下載數(shù)； ( ) 二倍角公式是兩角和的三角函數(shù)公式的特殊情況； ( ) 公式 (S2 ),(C 2 ) 中的角 沒有限制，都是 R. 但公式 (T 2 ) 需在 1 k + 和 k + (k Z) 時(shí)才成立，這一條242件限制要引起學(xué)生的注意. 但是當(dāng) =k +,k Z 時(shí) , 雖然 tan 不存在 , 此時(shí)不能用此公式，2但 tan2 是存在的 , 故可改用誘導(dǎo)公式.問題 , 填空是為了讓學(xué)生明了二倍角的相對性，即二倍角公式不僅限于2 是 的二倍的形式 , 其他如 4 是 2 的二倍

10、 , a 是 a 的二倍 ,3 是 3a 的二倍 , a 是 a 的二倍，- 242362是 - a 的二倍等 , 所有這些都可以應(yīng)用二倍角公式 .42例如 :sin a =2sina cosa ,cosa =cos 2 a -sin2 a 等等 .244366問題 , 本組公式的靈活運(yùn)用還在于它的逆用以及它的變形用，這點(diǎn)教師更要提醒學(xué)生引起足夠的注意 . 如 :sin3 cos3 = 1 sin6 ， 4sin a cos a =2(2sina cos a )=2sina ,2444422 tan4022 ， tan2 =2tan (1-tan21 tan2=tan80°， cos

11、 2 -sin2 =cos4 ) 等等 .40問題 , 一般情況下:sin2 2sin ,cos2 2cos ,tan2 2tan .若 sin2 =2sin , 則 2sin cos =2sin , 即 sin =0 或 cos =1, 此時(shí) =k (k Z).若 cos2 =2cos , 則 2cos2 -2cos -1=0, 即 cos =13 (cos = 13 舍去 ).22若 tan2 =2tan , 則2 tan a=2tan , tan =0, 即 =k (k Z).1tan 2 a解答： （略）應(yīng)用示例思路 1例 1 已知 sin2 = 5 ,< <, 求 sin

12、4 ,cos4 ,tan4 的值 .1342活動： 教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中角的關(guān)系，觀察所給條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)，注意二倍角公式的選用，領(lǐng)悟“倍角”是相對的這一換元思想. 讓學(xué)生體會“倍”的深刻含義，它是描述兩個數(shù)量之間關(guān)系的 . 本題中的已知條件給出了 2 的正弦值 . 由于 4 是 2 的二倍角 , 因此可以考慮用倍角公式 . 本例是直接應(yīng)用二倍角公式解題，目的是為了讓學(xué)生初步熟悉二倍角的應(yīng)用，理解二倍角的相對性，教師大膽放手，可讓學(xué)生自己獨(dú)立探究完成.解 : 由 <<, 得 <2 < .422又 sin2 = 5 ,13cos2 =1sin2 2a = 1 ( 5 )

13、 212.1313學(xué)習(xí)必備歡迎下載于是 sin4 =sin2 ×(2)=2sin2 cos2 =2× 5 ×( 12 )=120 ;1313169cos4 =cos2 ×(2 )=1-2sin22 =1- 2×( 5 ) 2= 119 ;tan4 = sin 4a =(-120 )×169 =12013129.cos 4a169119119點(diǎn)評： 學(xué)生由問題中條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)不難想象出解法，但要提醒學(xué)生注意, 在解題時(shí)注意優(yōu)化問題的解答過程，使問題的解答簡捷、巧妙、規(guī)范，并達(dá)到熟練掌握的程度. 本節(jié)公式的基本應(yīng)用是高考的熱點(diǎn) .變式訓(xùn)

14、練1. 不查表 , 求值解 : 原式 = (sin 15cos15 ) 2sin 2 15 2 sin15 cos2 1562點(diǎn)評： 本題在兩角和與差的學(xué)習(xí)中已經(jīng)解決過，現(xiàn)用二倍角公式給出另外的解法，讓學(xué)生體會它們之間的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)變化的魅力.2.(20XX年高考海南卷 ,9)若cos 2a2 , 則 cos +sin 的值為sin( a)24A.7B.1C.1D.72222答案:C3.(20XX年高考重慶卷 ,6)下列各式中 , 值為3 的是()2A.2sin15 ° - cos15°B.cos2215° -sin15°C.2sin 2 15

15、6; -1D.sin215°+cos 215°答案:B例2證明1sin 2cos2=tan .1sin 2cos2活動： 先讓學(xué)生思考一會，鼓勵學(xué)生充分發(fā)揮聰明才智，戰(zhàn)勝它，并力爭一題多解. 教師可點(diǎn)撥學(xué)生想一想，到現(xiàn)在為止，所學(xué)的證明三角恒等式的方法大致有幾種：從復(fù)雜一端化向簡單一端；兩邊化簡，中間碰頭；化切為弦；還可以利用分析綜合法解決，有時(shí)幾種方法會同時(shí)使用等 . 對找不到思考方向的學(xué)生，教師點(diǎn)出：可否再添加一種，化倍角為單角？這可否成為證明三角恒等式的一種方法？再適時(shí)引導(dǎo)，前面學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時(shí)曾用到“ 1”的代換，對“ 1”的妙用大家深有體會，這里可否在

16、“ 1”上做做文章？待學(xué)生探究解決方法后，可找?guī)讉€學(xué)生到黑板書寫解答過程，以便對照點(diǎn)評及給學(xué)生以啟發(fā) . 點(diǎn)評時(shí)對能夠善于運(yùn)用所學(xué)的新知識解決問題的學(xué)生給予贊揚(yáng)；對暫時(shí)找不到思路的學(xué)生給予點(diǎn)撥、鼓勵 . 強(qiáng)調(diào)“ 1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出現(xiàn)，在證明過程中就會起到至關(guān)重要的作用，在今后的證題中，萬萬不要忽視它.證明:方法一:學(xué)習(xí)必備歡迎下載左 = sin 2(1 cos2)2sincos(11 2 cos2 )sin 2(1cos2)2sincos(12 cos21)= sincos1cos2sincoscos2= sincossin 2sincoscos2sin(cossin)

17、 =tan =右 .cos(sincos )所以 ,原式成立 .方法二 :左 = sin2cos2sin2sin 2cos2sin 22 sin2sin 2cos2sin 2cos2sin2sin 22 cos2= 2sin(sincos) =tan =右.2cos(sincos)方法三 :左= (1sin 2)cos2(sin 2cos22sincos)(cos2sin2)(1sin 2)cos2(sin 2cos22sincos)(cos2sin2)= (sincos) 2(cossin)(cossin)(sincos) 2(cossin)(cossin)= (sincos)(sincos

18、sincos)(sincos)(sincoscossin)= (sincos)2 sin=tan =右 .(sincos)2 cos點(diǎn)評： 以上幾種方法大致遵循以下規(guī)律：首先從復(fù)雜端化向簡單端；第二，化倍角為單角，這是我們今天剛剛學(xué)習(xí)的；第三，證題中注意對數(shù)字的處理，尤其“1”的代換的妙用，請同學(xué)們在探究中仔細(xì)體會這點(diǎn). 在這道題中通常用的幾種方法都用到了，不論用哪一種方法，都要思路清晰，書寫規(guī)范才是.思路2例 1 求 sin10 °sin30 °sin50 °sin70 °的值.活動： 本例是一道靈活應(yīng)用二倍角公式的經(jīng)典例題，有一定難度，但也是訓(xùn)練學(xué)生

19、思維能力的一道好題. 本題需要公式的逆用，逆用公式的先決條件是認(rèn)識公式的本質(zhì)，要善于把表象的東西拿開，正確捕捉公式的本質(zhì)屬性，以便合理運(yùn)用公式. 教學(xué)中教師可讓學(xué)生充分進(jìn)行討論探究，不要輕易告訴學(xué)生解法，可適時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生需要做怎樣的變化，又需怎樣應(yīng)用二倍角公式 . 并點(diǎn)撥學(xué)生結(jié)合誘導(dǎo)公式思考. 學(xué)生經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn)，如果用誘導(dǎo)公式把10°， 30°，學(xué)習(xí)必備歡迎下載50°，70°正弦的積化為20°,40 °,60 °,80 °余弦的積, 其中60°是特殊角, 很容易發(fā)現(xiàn)40°是 20°的 2

20、 倍,80 °是 40°的 2 倍 , 故可考慮逆用二倍角公式.解 : 原式 =cos80°cos60°cos40°cos20°= 23sin 20 cos20 cos40 cos8023 2 sin 20= sin160sin 20116 sin 2016sin 2016.點(diǎn)評： 二倍角公式是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要知識點(diǎn)之一，又是解答許多數(shù)學(xué)問題的重要模型和工具，具有靈活多變，技巧性強(qiáng)的特點(diǎn)，要注意在訓(xùn)練中細(xì)心體會其變化規(guī)律.例 2 在 ABC中,cosA= 4 ,tanB=2, 求 tan(2A+2B) 的值 .5活動： 這是本節(jié)課本上

21、最后一個例題，結(jié)合三角形，具有一定的綜合性, 同時(shí)也是和與差公式的應(yīng)用問題. 教師可引導(dǎo)學(xué)生注意在三角形的背景下研究問題, 會帶來一些隱含的條件,如 A+B+C= ,0<A< ,0<B< ,0<C< , 就是其中的一個隱含條件 . 可先讓學(xué)生討論探究， 教師適時(shí)點(diǎn)撥 . 學(xué)生探究解法時(shí)教師進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生思考由條件到結(jié)果的函數(shù)及角的聯(lián)系. 由于對2A+2B 與 A,B 之間關(guān)系的看法不同會產(chǎn)生不同的解題思路, 所以學(xué)生會產(chǎn)生不同的解法，不過它們都是對倍角公式、和角公式的聯(lián)合運(yùn)用，本質(zhì)上沒有區(qū)別. 不論學(xué)生的解答正確與否，教師都不要直接干預(yù). 在學(xué)生自己嘗試解決

22、問題后, 教師可與學(xué)生一起比較各種不同的解法，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題方法的歸納總結(jié). 基礎(chǔ)較好的班級還可以把求tan(2A+2B) 的值改為求tan2C的值 .解： 方法一 : 在 ABC中 , 由cosA= 4,0<A< , 得5sinA=1 cos2A1(4) 23 .55所以 tanA= sin A = 3 × 5 = 3 ,cos A5442 tan A2324tan2A=41 tan2A1327( )4又 tanB=2,所以 tan2B=2 tan B224 .1tan 2 B1223tan 2Atan 2B24444于是 tan(2A+2B)=731 tan2 A

23、 tan 2B244.)1771(73方法二 : 在 ABC中 , 由 cosA= 4 ,0<A< , 得5sinA=1 cos2A1(4) 23 .55學(xué)習(xí)必備歡迎下載所以 tanA=sin A3 × 5= 3 . 又 tanB=2,cos A544所以 tan(A+B)= tan Atan B321141tan A tan B32214于是 tan(2A+2B)=tan2(A+B)2 tan(AB)2(11)442.=B)11 21171 tan2 ( A1()2, 本質(zhì)上沒有區(qū)別, 其目的是點(diǎn)評： 以上兩種方法都是對倍角公式、和角公式的聯(lián)合運(yùn)用為了鼓勵學(xué)生用不同的思

24、路去思考, 以拓展學(xué)生的視野 .變式訓(xùn)練化簡： 1cos 4asin 4a .1cos4asin 4a解： 原式 2 cos2 2a2 sin 2a cos2a2sin 2 2a2sin 2a cos2a= 2cos2a(cos2a sin 2a)2sin 2a(sin 2acos2a)=cot2 .知能訓(xùn)練(20XX 年高考四川卷 ,17)已知 cos = 1 ,cos( - )=13 , 且 0< < <,7142(1) 求 tan2 的值 ;(2) 求 .解 : (1) 由 cos = 1 ,0< <2, 得 sin =1 cos2 a =1( 1)243 .777tan = sin a = 437=43 . 于是 tan2 =2 tan a24 383 .cos a711tan 2 a1tan2 a47(2) 由 0< < < , 得 0< - < .22又 cos( - )=13 , sin( - )= 1cos2 (a)1 (13)23 3 .141414由 =-( - ), 得cos =cos -( - ) =cos cos( - )+sin sin( - )= 1 × 13 + 433 3=1 .714