幾何向量及線性運算31-323向量積課件

1、1 王王 寶寶 玲玲2幾何向量的線性運算幾何向量的線性運算空間中的平面與直線空間中的平面與直線t數(shù)量積、向量積、混合積數(shù)量積、向量積、混合積3456，： , , , ., , AB a, a,ABaABa坐標(biāo)坐標(biāo) (x,y,z)7a 1a 的負(fù)向量與的負(fù)向量與a 大小相等方向相大小相等方向相 反反, ,記為記為 a 0a ab 同向或反向的向量同向或反向的向量.平行與同一平面的向量平行與同一平面的向量. .任意兩向量都共面任意兩向量都共面. .8baa+baba+b首尾相連首尾相連, ,a起點起點指向指向b終點終點c = a+b9a bcdee = a + b + c + dn個向量之和個向量

2、之和,只要把它們只要把它們相繼地首尾連接后，從第一個向量的起點相繼地首尾連接后，從第一個向量的起點到最后一個向量的終點的向量到最后一個向量的終點的向量,即為和向量即為和向量.如如10a + b = b+ a2) (a + b) + c = a +(b+ c) : : a +0 = 0 + a = aa +(- a) = (- a)+ a = 0aba( b)b兩起點置一處兩起點置一處, , b終點指向終點指向a終點終點aab11(1) 1a = a, (-1)a = -a(2) k(la)=(kl) a(3) (k+l)a= ka+la(4) k(a+b)=ka + kbkaa長度長度 0,

3、0,0,aaakkkkkk方向方向同向同向反向反向不定不定規(guī)定規(guī)定: 若若a = 0， k， ka = 0 若若k = 0， a， ka = 012a0 ,a0 = a|a|,a. .a = a a0（）/(), / a bba aa0 01aba（1） （2） a b.abab（3）13 0 a = (- / )b a, b 0 b = (- / )a a, ba,b a +b = 0.a, b a = kbb = ka,a +b = 0, a +b = 0.14a1,a2, a3k1, k2, k3aaa1 122330kkka2a3a1k1a1= (-k2/k1)a2 +(-k3/k1)

4、a315平行四邊形平行四邊形ABCD( (如圖如圖) ), ,試用試用a、b 表示表示 . .,ab ABAD和和, MA MB MCMD 因為平行四邊形的對角線互相平分因為平行四邊形的對角線互相平分所以所以 2ab ACMC()12ab MCabMABCD()12ab MAMC,()122abab DBMBMB()()1122abba MDMB16 前面討論的向量及運算只是在幾何前面討論的向量及運算只是在幾何作圖，而這節(jié)的目的是用投影法得到向作圖，而這節(jié)的目的是用投影法得到向量的坐標(biāo)，即將向量與數(shù)對應(yīng)起來，把量的坐標(biāo)，即將向量與數(shù)對應(yīng)起來，把向量的代數(shù)運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量（坐標(biāo)）的向量的代數(shù)運算轉(zhuǎn)

5、化為數(shù)量（坐標(biāo)）的代數(shù)運算，實際上是對向量及運算進(jìn)行代數(shù)運算，實際上是對向量及運算進(jìn)行定量的描述定量的描述.17a b 注：零向量與任一向量的夾角可以在注：零向量與任一向量的夾角可以在0 到到 間任意間任意 取值取值. 向量與軸及軸與軸的夾角都是正向向量與軸及軸與軸的夾角都是正向 間不超過間不超過 的夾角的夾角.ab2.2.點在點在u軸上的投影軸上的投影：若若A為空間中一點為空間中一點, u 為一軸，過為一軸，過 A點作垂直于點作垂直于 u 軸的平軸的平面面 ，則，則 與軸與軸 的交點的交點 為為A在在 軸軸 上的投影上的投影.uAu18AB , , u(),uuAA1投軸()uuBB2投軸

6、A Bu 與與A Bu 與與 反反A B與與 A B A BuABuAB投影軸投影軸u1 1u2 2BA3 3.向量在向量在u軸上軸上投影投影: :urj21P ABA Buu19uABu1 1u2 2ABCCu3 3abABu1 1u2 2BuBAuurjPcos,ABABABu uuurjrjrjP ()PPabab:20數(shù)量積（數(shù)）數(shù)量積（數(shù)）21|cos| |cos WFSFSF SF 物理背景：一物體在常力物理背景：一物體在常力 的作用下，的作用下，沿直線運動產(chǎn)生的位移為沿直線運動產(chǎn)生的位移為 時，則力時，則力 所所做的功是做的功是: FS 抽去物理意義，就是兩個向量確定一抽去物理意

7、義，就是兩個向量確定一 個數(shù)的運算個數(shù)的運算.22rjrj|cos,|P|Paba baba babba 一個向量的模乘以另一個向量在這個向量一個向量的模乘以另一個向量在這個向量上的投影上的投影.ab23a bb a （1）交換律：）交換律：()ab ca cb c （2）分配律：）分配律：()()()a ba bab () ()()mmaba b（3）結(jié)合律：）結(jié)合律：0a b , a b （1） , 中未必有中未必有0向量向量, 也可也可. （2） 無意義無意義. （3）數(shù)量積不滿足消去律即）數(shù)量積不滿足消去律即aba b c ,a ba c abc 0abc22| cos|0, |a a

8、aaaa a（4）0a a a 0a (b-c).：（1 1）（2 2）（4 4）|a|=aa,ab00(,) aba b32a b a b=0,0brjPba bab,arccos| a ba bab25設(shè)設(shè)( (a +3+3b) )(7(7a-5-5b) ), ,且且( (a -4-4b) )(7(7a-2-2b)求求 .2222(3 ) (75 )715160(4 ) (72 )78300abababa babababa bcos2ba由上式消去由上式消去2223460aba b 得得cos2ab由上式消去由上式消去221613220baa b 得得1cos,2326用向量證明余弦定理用

9、向量證明余弦定理. . ABC2BC2ACAB() ()ACABACAB AC ACAC ABAB AB2 cosACAC ABAAB222 cos Aabcbc2222中中bcaABC27 a, b a b sin,a ba ba b. .都非零且不共線都非零且不共線, ,則則,a b| |cab, a b以以 為鄰邊的平行四邊形的面積為鄰邊的平行四邊形的面積. .aba b,a ba a bba, b a bb a28()()()ababa b kkk()abca ba c abb a aa 0（1）0 a b（2）（3）反交換律）反交換律：（4）結(jié)合律）結(jié)合律: :（5）分配律）分配律: :規(guī)定規(guī)定/0a/ ,a b29(1)(1)(2)(2)：abhh=|b|sina，b=|ab|a|(3)(3)：(4)(4)/a ba b