“相容性、獨立性和完全性”的觀點

1、（十三）第四節(jié) “相容性、獨立性和完全性”的觀點一、相容性、獨立性和完全性表述數(shù)學理論的經(jīng)典方法， 是形式的公理化方法，即從一批公理、 定義出發(fā)，通過邏輯推理，得到一系列結論（稱為命題、定理或推論） 的方法。形式的公理化方法在邏輯上的要求，是相容性、獨立性和完 全性。1.相容性：不允許從公理系統(tǒng)推出矛盾來2 .獨立性：每一個公理不可由其它公理推出3 完全性：該形式系統(tǒng)中所有命題都能判定真?zhèn)巍竞小安豢膳卸}”的系統(tǒng)是不完全的。所謂不可判定命題，是指該命題和其反命題都不能由該系統(tǒng)中的公理推導出來。 （A與非A都能導出叫“不相容” ，A與非A都不能導出叫“不完全”）】二、哥德爾的不完全性定理1

2、關于 .數(shù)學證明與科學證明的再認識（圖）數(shù)學證明是依靠邏輯推理導出結論，定理一經(jīng)證明就永遠是對 的，除非發(fā)現(xiàn)證明本身有誤。而其它學科的證明， 往往是在某些依據(jù)下提出一種假說， 當觀察 和實驗與該假說相符， 就成為假說成立的證據(jù)。 如果該假說不僅能描 述已知的現(xiàn)象， 而且能預見未知的事實， 就成為假設成立的更強的證 據(jù)。證據(jù)積累到一定的數(shù)量，假設就改稱為理論而被人們接受。觀察和實驗是可能出錯的， 或者可能是不精確的， 從而只能提供 近似的證據(jù)， 導出相對正確的理論。 所以其它學科的理論， 可能在后 來會被證明是錯的， 從而導致科學上的革命， 以至用新理論去代替舊 理論。 數(shù)學證明卻與此不同， 數(shù)

3、學證明不是依賴于觀察和實驗， 而是 依賴于邏輯，所以，數(shù)學證明具有“絕對的意義” 。這些，是我們過去的認識。但是，形式的、公理化的、邏輯的推 理方法確實是無懈可擊嗎？數(shù)學真理一定是絕對真理嗎？1931 年 ， 年 僅 25 歲的 奧 地 利數(shù) 學 家 和邏 輯 學 家哥 德 爾 （Kurt .Godel 1906 年 1978 年）在數(shù)學物理期刊上發(fā)表了一 篇題為 “論數(shù)學原理 和有關系統(tǒng)中的形式不可判定命題” 的論文。 他當時在維也納大學。論文剛發(fā)表時并未受到重視，但僅過了幾年， 就被數(shù)學界認為是數(shù)學和邏輯的基礎方面的劃時代文獻。 哥德爾的論 文提出了公理化方法的局限性， 這是人們始料不及的

4、。 哥德爾證明了 兩個重要的定理，即哥德爾第一定理和哥德爾第二定理。2 .哥德爾第一定理：對于包含自然數(shù)系的任何相容的形式體系S,S中都有不可判定命題，從而該體系是“不完全”的。（這里，“包含自然數(shù)系”不是特別的要求，一般的形式體系都 包含自然數(shù)系。 ）哥德爾第一定理表明， 相容的體系一定是不完全的， 這太令人吃驚了！例如哥德巴赫猜想，至今未被證明，也未被推翻，它是不可判 定的命題嗎？那樣我們就永遠也不能證明它了！3.哥德爾第二定理：對于包含自然數(shù)系的任何相容的形式體系S, “S的相容性”是不可判定的。只有有窮個命題的體系，“體系的相容性”原則上是可以判定的； 但包含自然數(shù)系的形式體系中總有無

5、窮個命題,而哥德爾又證明了： 對于包含自然數(shù)系的任何相容的形式體系S,“S的相容性”是不可判定的。這就是說,公理化體系對邏輯的三條最基本的要求相容 性、獨立性、完全性,是無法同時滿足的。公理化體系大廈的基礎崩 塌了！面講述一個通俗的例子, 來說明哥德爾的不完全性定理。4 問題的核心仍是“自我指謂”在講集合論的“羅素悖論”時,我們提到過“含有自身的集合” 這樣的詞句,說明過該悖論的要害是“自我指謂” ,即命題中又說到 命題本身。還有“說謊者悖論”（說謊者說：“我這句話是謊話”,則, 說“這句話是謊話”將導致這句話是實話,說“這句話是實話”又將 導致這句話是謊話,左右為難）的要害也是“自我指謂”

6、（命題中有這句話”一詞）哥德爾第一定理說， 相容的體系中存在不可判定的命題。 這就是， 從體系內判斷體系里的命題，這就是“自我指謂” 。古詩說“不識廬 山真面目，只緣身在此山中” ，也是這個道理。哥德爾第二定理說， 公理體系的相容性不能在體系中證明。 這就 是，想從體系中去證明體系本身的相容性，這就是“自我指謂” 。俗 話說：“老王賣瓜，自賣自夸” 。人們不能聽他自己的自夸，就判定他 的瓜是好的； 也不能從公理體系自己的邏輯推理， 就推出體系自己的 相容性來。當然，這里所說的“自我指謂” ，與羅素悖論的“自我指謂”還 不完全一樣， 因為形式的公理化方法本來就是自成系統(tǒng)的。 所以這種 “自我指謂

7、”的毛病，來自公理系統(tǒng)自身。這表明， 公理化方法確有局限性， 公理化方法在邏輯方面的三大 基本要求，本身是無法完全滿足的。5 .哥德爾的重大貢獻哥德爾的兩條定理肯定是所有數(shù)學定理中最具重要意義的定理 之一。 由此，人類對于宇宙的認識和對于數(shù)學地位的認識， 被迫作出 了根本性的改變： 數(shù)學不再是精確論證的頂峰， 不再是絕對真理的化 身，數(shù)學也有它自己的局限性。具體說，哥德爾的貢獻可以簡要地從兩方面來說：1）把“正確”與“可證明”區(qū)別開來 按照哥德爾的定理，任一個形式系統(tǒng)中都存在不可判定的命題。而邏輯中的排中律告訴我們：一個命題A和它的否命題非A必有一個是正確的；現(xiàn)在又說：A和非A在系統(tǒng)中都不可證

8、明。這就表明：“正確”與“可證明”是兩回事，而且“正確”弱于“可證明”一一“可 證明”一定“正確” ，“正確”不一定“可證明” 。這是極其深刻的： 一方面我們把邏輯真與 “主觀符合客觀” 之謂真，區(qū)別開來了； 另一方面， 又把邏輯真與邏輯的可證明性區(qū)別開來 了。2）清醒地提出“ “數(shù)學基礎”的問題能否徹底解決”的問題從17世紀起，數(shù)學家就在尋求“數(shù)學基礎”，極限理論和實數(shù)理論的建立， 康托的集合論， 希爾伯特的公理化思想， 使人們看到了 解決這一問題的希望，以致1 9 0 0年龐加萊在國際數(shù)學家大會上宣 稱：“完全的嚴格性已經(jīng)達到了！ ”1 9 0 3年的“羅素悖論”，曾對此給了 “當頭棒喝”

9、，引起了歷 史上的第二次數(shù)學危機；雖然后來由集合論的公理化而化解了。但哥德爾的兩條定理出世以后， 有誰敢說， 數(shù)學已經(jīng)得到嚴格的基礎了？相反， 現(xiàn)在比較有共識的看法是， 關于“數(shù)學基礎” 的問題， 很可能不會有一個最終的、 為一切人所接受的解決。 實際上， 在公理 化集合論建立， “羅素悖論” 被化解以后， 同一個龐加萊就打過比喻， 說：現(xiàn)在“羅素悖論”這樣的“狼”是被圈在外面了，但圈內有沒有 隱藏的“狼” ，并不知道。三、對數(shù)學如何“補救”1 .算術相容性的證明“算術相容性” ，本來在希爾伯特的“元數(shù)學”體系中是一個不 可判定命題，但是根岑( Gentzen, Gerhard, 1909年-

10、1945年)在19 36年證明了它。根岑是擴大了希爾伯特的元數(shù)學中所允許采用的邏 輯而應用了超限歸納法，從而完成了這一證明。哥德爾第一定理是說， 在一個相容的形式系統(tǒng)內， 有該系統(tǒng)無法 證明也無法證否的命題。 但根岑想到， 在一個擴大的形式系統(tǒng)中該命 題是可能被證明或證否的。這使我們找到了“補救”數(shù)學的途徑。2 擴大形式系統(tǒng)去“補救”上面“算術相容性” 被證明的例子， 使我們了解了公理化方法的 局限性： 對每一個具體的公理化形式系統(tǒng)， 總有不可判定的命題； 但 是，適當擴大這個形式系統(tǒng)，又可以證明或證否它。例1) 關于非歐幾何對歐幾里得的第五公設， 在“去掉第五公設的歐氏幾何系統(tǒng)” 內， 用歐

11、氏幾何的其它公理公設，不能證明，也不能證否，“三角形三內角之和為18 0?！边@一命題，也是既不能證明又不能證否?，F(xiàn)在把該形式系統(tǒng)擴大， 增加第五公設： 過直線外一點， 能作且 只能作一條直線與已知直線平行。這樣就產生了歐幾里得幾何的系 統(tǒng)。在這一系統(tǒng)內，“三角形三內角之和為180 °”的命題，就可 以得到證明。如用另一種方式把該系統(tǒng)擴大： 不是采用第五公設， 而是采用下 邊的公理（稱為羅巴契夫斯基公理） ：過直線外一點，至少能作兩條 直線與已知直線平行（從而可作無窮條直線與已知直線平行） 。這樣就產生了非歐幾里得幾何的系統(tǒng) （叫羅氏幾何， 也叫雙曲幾 何）。在這一系統(tǒng)內， “三角形三

12、內角之和為180°”的命題，就可 以被證否。而“三角形三內角之和小于180°”的命題，卻可以得 到證明。如果再用另一種方式把該系統(tǒng)擴大： 不是采用第五公設， 而是采用下邊的公理（不妨稱為黎曼公理） ：過直線外一點，不能作任何直 線與已知直線平行。這樣就產生了另一種非歐幾何的系統(tǒng) （叫黎曼幾何， 也叫橢球幾 何）。在這一系統(tǒng)內，“三角形三內角之和為18 0 °”的命題，就可 以被證否，而“三角形三內角之和大于18 0 °”的命題，卻可以得 到證明。例2）關于“連續(xù)統(tǒng)假設”在康托的集合論的系統(tǒng)內，有一個“連續(xù)統(tǒng)假設” ，是說，“無窮 勢中可數(shù)無窮是最小的勢，

13、 連續(xù)統(tǒng)勢是次小的勢” 這一命題為真， 被 列為希爾伯特23個問題中的第一個問題。后來的研究表明，“連續(xù)統(tǒng)假設”在上述系統(tǒng)內，既不能被證明，也不能證否。1 9 3 3年，哥德爾證明，把“連續(xù)統(tǒng)假設”加進該系統(tǒng)（集合 論的ZF系統(tǒng)）中是相容的，不會導出矛盾。我們把這樣擴充后得到 的公理化集合論，叫康托集合論。1 9 6 3年，科恩又證明，“連續(xù)統(tǒng)假設”在ZF系統(tǒng)中是獨立的，即不能從其它公理導出。這樣，如果把“連續(xù)統(tǒng)假設”的否命題 加進該系統(tǒng)中也是相容的， 不會導出矛盾。 我們把這樣擴充后得到的 公理化集合論，叫非康托集合論。3 用非形式的數(shù)學方法去“補救”剛才說的擴大形式系統(tǒng)， 仍是采用 “形式

14、系統(tǒng)” 的方法去 “補救” 數(shù)學， 希望每一個具體的命題 （在擴大的形式系統(tǒng)中） 總可以證明或 證否。 這樣，雖然不是在同一個形式系統(tǒng)中做到的， 人們也可以滿足 了。但是， 除了形式的方法外， 也還可以有非形式的數(shù)學方法， 去解 決具體的數(shù)學問題。 例如構造的方法、 問題的方法。 我們是否可以用 非形式的數(shù)學方法去解決問題，以“補救”數(shù)學呢？4 用非數(shù)學的方法去“補救”數(shù)學是為認識宇宙產生的， 但解決宇宙中的問題， 判斷一個命題 的真?zhèn)?，除了?shù)學的方法外， 還可以有非數(shù)學的方法。 采用多種方法， 我們總可以一步步前進，逐漸地認識世界。5 .數(shù)學家并未失去信心，也未停止工作數(shù)學的邏輯基礎，雖然從

15、20世紀三十年代起就由哥德爾定理發(fā)現(xiàn)了問題， 但數(shù)學仍然有力地解決著各種實際問題， 發(fā)揮著越來越大 的作用。衛(wèi)星上了天，人類也登上月球。數(shù)學不但得到認可，而且深 入各個角落。這與17世紀微積分誕生以后的情形很相似。當時，雖然有“貝克萊悖論” ，但數(shù)學仍然有力地解決著機械、航海、天文等 各領域的大量實際問題，發(fā)揮著巨大的作用。所以說， 數(shù)學家并未因數(shù)學基礎的問題尚未解決而失去信心， 也 從來沒有停止他們的數(shù)學工作。四、數(shù)學：確定性的喪失1 .克萊因的一本材料豐富的書美國著名數(shù)學家M ?克萊因1 9 8 0年出版了一本名為數(shù)學： 確定性的喪失 的書。 這是一本材料十分豐富的書。 這本書早已有了 中

16、譯本。但對這一書的書名，有不少數(shù)學家說： “實在不敢茍同” 。2 .確定性并未喪失不敢茍同“數(shù)學喪失了確定性”的原因有二：1）哥德爾定理乃至“確定性的喪失” ，本身是非常確定的，是用非常確定的數(shù)學方法得出的非常確定的結果。2）是的，數(shù)學的“確定性”不是絕對的，是有局限性的；但這種局限性不是含糊的， 數(shù)學是“非常確定” 地闡明了自己的不確定性。即，局限性在哪里，是“確定的” 。3 .新境界的開辟數(shù)學上要求的“確定性” ，是歷史上長期形成的一種定見或者說 是成見（這不免就有些貶意了） 。這種帶引號的“確定性”的喪失， 其實常常意味著新境界的開辟。1）數(shù)學的新學科體系的誕生例如歐幾里得第五公設既不能

17、證明， 也不能證否， 看起來喪失了 確定性， 成為不可判定命題。 但是， 由此卻誕生了兩種非歐幾何的新 學科體系羅巴契夫斯基幾何和黎曼幾何。 所以， 這究竟是 “確定 性的喪失”呢，還是開辟了新的境界呢？2）新的邏輯體系有可能誕生前面講到“正確”與“可證明”的差別時說，如果承認邏輯上的“排中律”，則命題A與非A必有一為“真”；當兩者均不可證明時， 就出現(xiàn)了不可判定命題， 系統(tǒng)就是不完全的。 但是， 我們?yōu)槭裁匆欢?要堅持邏輯上的“排中律”呢？如果不承認“排中律”，則命題A與非A均不可證明時，可以認為可能存在“真”與“非真”之外的另一 個邏輯概念。 當數(shù)學中像公理化體系這樣過去認為 “明顯” 的

18、“真理” 都已“崩潰” 了的時候， 邏輯的法則為什么一定不能改變呢？新的邏 輯體系為什么不可能誕生呢？五、嚴肅的反思本節(jié)討論的問題， 有些是學術界正在研究的問題。 把材料介紹給 大家， 并不是定論， 只是希望開闊大家的眼界。 有些論點互相也不一 致。這些問題真正的意義是什么， 也許再過許多年才能看清楚。 我們 僅以以下三點反思結束這一節(jié)。1. 是否有“現(xiàn)有條件下不可解決的問題”？當我們用數(shù)學方法去解決一個問題， 去預測一件事情時， 我們有 必要問自己： 我們是不是試圖解決現(xiàn)有條件下不可解決的問題？是不 是在預測現(xiàn)有條件下不可預測的事？我們自認為已經(jīng)懂得的東西， 是 不是包含了某些超出我們當前智

19、力的困難？其實， 牛頓創(chuàng)立微積分的時代， 這些問題就已經(jīng)十分尖銳地存在 了。正因為此，英國大主教貝克萊關于牛頓“無窮小量”的責難，才 在兩百年間無人能夠徹底批駁。2. 對一個哲學觀點的印證哲學是對整個世界的普遍規(guī)律的研究。 很多哲學觀點是十分深刻 的。本節(jié)關于數(shù)學的討論就印證了以下的哲學觀點。真理是無限的、絕對的，人對真理的認識是有限的、相對的。在有限的時間里、 有限的范圍內、 有限的條件下， 人類對真理的 認識是有局限性的。 隨著時間的推移， 人類對真理的認識， 會逐步地 接近真理，如同古人說： “路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索” 。3. 數(shù)學文化的地位1）認識宇宙和人類自身數(shù)學是向兩個方向

20、生長的大樹為什么大多數(shù)數(shù)學家并不太擔心哥德爾定理所造成的陰影呢？因為數(shù)學這棵大樹是向兩個方向生長的它既向上生長， 去研究宇宙的深度；也向下生長，去研究人類自身理性思維的深度。如果不是這樣， 而只向上生長， 一旦細微的須根出了問題， 基礎 就要崩潰，大樹就會倒下。現(xiàn)在，枝葉也在生長，根須也在生長，大 樹就不會因為少許須根的“問題”而倒下。因為，認識宇宙的過程中 會有許多一時不能解決的問題（如宇宙大爆炸的問題） ，我們并未因 此而氣餒；認識人類自身理性思維的過程中也會遇到許多一時難以解 決的問題，我們又何必氣餒而懷疑整個數(shù)學的價值呢？哥德爾定理是人類認識自身理性思維的記錄， 但，這不是失敗的 記錄， 而是勝利的記錄。 如果說哥德爾定理揭示了形式的公理系統(tǒng)的 深刻矛盾， 則問題在于我們是在探索世界的過程中， 自己把數(shù)學變成 形式系統(tǒng)的，數(shù)學本身并不一定要是形式系統(tǒng)。2）沒有現(xiàn)代數(shù)學就沒有現(xiàn)代文化我們再從反面看一下數(shù)學與文化的關系。 假定沒有現(xiàn)代形式化公理化的數(shù)學體系，甚至連它的早期形式一一歐幾里得的幾何原