3.2.2用向量的方法求二面角PowerPoint 演示文稿

1、.1課題：利用向量方法課題：利用向量方法求二面角求二面角.2四四、教學(xué)過程的設(shè)計(jì)與實(shí)施教學(xué)過程的設(shè)計(jì)與實(shí)施lABO2、如何作二面角、如何作二面角l的平面角？的平面角？溫故知新溫故知新 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成 的圖形叫做的圖形叫做 ，這條直線叫做，這條直線叫做 ， 這兩個(gè)半平面叫做這兩個(gè)半平面叫做 .二面角二面角二面角的棱二面角的棱二面角的面二面角的面。lAOBOBlOBOAlOA的平面角的就是二面角,1、二面角的定義：、二面角的定義：.3BSACD與面與面如圖，如圖， 是直角梯形，是直角梯形，,90BADABC,ABCDSA面又ADBCABSA, 1所

2、成的二面角的余弦值。,21求面求面SCDSABABCD你能找到所求二面角的棱嗎？.4探究新知探究新知問題：問題：二面角的平面角與兩個(gè)半平面的法向量的夾角有沒二面角的平面角與兩個(gè)半平面的法向量的夾角有沒有關(guān)系？有關(guān)系？l1n2n .5 21,nn 探究新知探究新知.6 21,nn探究新知探究新知.7問題：問題：法向量的夾角與二面角的大小是法向量的夾角與二面角的大小是相等相等或或互補(bǔ)互補(bǔ)。再次演示課件再次演示課件探究新知探究新知細(xì)心想一想，細(xì)心想一想，你將有新發(fā)現(xiàn)！你將有新發(fā)現(xiàn)！.8嘗試：已知兩平面的法向量分別為嘗試：已知兩平面的法向量分別為m m= =（0 0，1 1，0 0），）， n n=

3、=（0 0，1 1，1 1）, ,則兩平面所成的二面角為則兩平面所成的二面角為( )( ) A.45 A.45 B.135 B.135 C.45 C.45或或135135 D.90 D.90 解析解析 即即m m, ,n n=45=45，其補(bǔ)角為，其補(bǔ)角為135135. . 兩平面所成二面角為兩平面所成二面角為4545或或135135. .C練一練,22211|,cosnmnmnm.9例1如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，已知AB4，AD3，AA12，E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EBFB1，(1)求二面角CDEC1的正切值；(2)求直線EC1與FD1所成角的余弦值.10結(jié)論

4、結(jié)論： 利用法向量求二面角的平面角避免了繁難的作、利用法向量求二面角的平面角避免了繁難的作、證二面角的過程。證二面角的過程。解題的關(guān)鍵是確定相關(guān)平面的法解題的關(guān)鍵是確定相關(guān)平面的法向量，如果圖中的法向量沒有直接給出，那么必須向量，如果圖中的法向量沒有直接給出，那么必須先創(chuàng)設(shè)法向量。先創(chuàng)設(shè)法向量。利用法向量求二面角的平面角的一般步驟利用法向量求二面角的平面角的一般步驟：建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系找點(diǎn)坐標(biāo)找點(diǎn)坐標(biāo)求法向量坐標(biāo)求法向量坐標(biāo)求兩法向量夾角求兩法向量夾角定值定值.11例2：如圖，四棱錐PABCD中，PB底面ABCD，CDPD，底面ABCD為直角梯形，ADBC，ABBC，ABADPB3.點(diǎn)E在棱

5、PA上，且PE2EA.求二面角ABED的余弦值.12練習(xí)：若PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC ，求二面角APBC的余弦值2.131.利用法向量求二面角大小的優(yōu)勢：利用法向量求二面角大小的優(yōu)勢： 避免了繁難的作、證二面角的過程，將幾避免了繁難的作、證二面角的過程，將幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)值計(jì)算。何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)值計(jì)算。2.利用法向量求二面角大小的關(guān)鍵：利用法向量求二面角大小的關(guān)鍵：確定相關(guān)平面的法向量。確定相關(guān)平面的法向量。3.利用法向量求二面角大小的缺點(diǎn)：利用法向量求二面角大小的缺點(diǎn)：計(jì)算量相對(duì)比較大。計(jì)算量相對(duì)比較大。.14,2,4,ABCBSAABC SABCABMNABBCSNMA是以

6、為直角的直角三角形。平面、分別是、的中點(diǎn)。求二面角的余弦值。當(dāng)堂檢測.15BSACD與面與面如圖，如圖， 是直角梯形，是直角梯形，,90BADABC,ABCDSA面又ADBCABSA, 1所成的銳二面角的余弦值。,21求面求面SCDSABABCD例題精講【審題指導(dǎo)】【審題指導(dǎo)】本題是求二面角的余弦值，可重點(diǎn)關(guān)注向量法求二面角本題是求二面角的余弦值，可重點(diǎn)關(guān)注向量法求二面角的余弦值的余弦值.本題的特點(diǎn)是圖中沒有出現(xiàn)兩個(gè)平面的交線，不能直接利本題的特點(diǎn)是圖中沒有出現(xiàn)兩個(gè)平面的交線，不能直接利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量的夾角解決，利用法向量的用二面角的平面角或者垂直于棱的向量的夾角解決，利用

7、法向量的夾角解決體現(xiàn)了向量求解立體幾何問題的優(yōu)越性夾角解決體現(xiàn)了向量求解立體幾何問題的優(yōu)越性.16BSACD解解：xyz則則設(shè)設(shè)),(zyxn 是面是面SCDSCD的法向量的法向量，,DCn 與面與面如圖，如圖，ABCDABCD是直角梯形，是直角梯形，,90BADABC,ABCDSA面又ADBCABSA, 1所成的二面角的余弦值。,21求面求面SCDSAB,xyzA建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)),0 , 0 , 0(D),0 , 0 ,21(C),0 , 1 , 1 (S),1 , 0 , 0(.SDn ),1, 0 ,21(SD),0 , 1 ,21(DC則則啟

8、示啟示：求二面角的平面角可轉(zhuǎn)化為求兩法向量的夾角。求二面角的平面角可轉(zhuǎn)化為求兩法向量的夾角。.17)0 , 0 ,21(AD是平面是平面SAB的法向量，的法向量，SABAD面|,cosnADnADnADnAD,就是二面角的平面角，就是二面角的平面角，所求銳二面角的余弦值為：所求銳二面角的余弦值為：36BSACDxyz令令z=1解之得解之得12yx021021zxyx) 1 , 1, 2( n366211.18結(jié)論結(jié)論： 利用法向量求二面角的平面角避免了繁難的作、利用法向量求二面角的平面角避免了繁難的作、證二面角的過程。證二面角的過程。解題的關(guān)鍵是確定相關(guān)平面的法解題的關(guān)鍵是確定相關(guān)平面的法向量

9、，如果圖中的法向量沒有直接給出，那么必須向量，如果圖中的法向量沒有直接給出，那么必須先創(chuàng)設(shè)法向量。先創(chuàng)設(shè)法向量。利用法向量求二面角的平面角的一般步驟利用法向量求二面角的平面角的一般步驟：建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系找點(diǎn)坐標(biāo)找點(diǎn)坐標(biāo)求法向量坐標(biāo)求法向量坐標(biāo)求兩法向量夾角求兩法向量夾角定值定值.19正方體正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為的棱長為2，點(diǎn)，點(diǎn)Q是是BC的中點(diǎn)，求銳二面角的中點(diǎn)，求銳二面角ADQA1的余弦值的余弦值 鞏固練習(xí)：鞏固練習(xí)：.20 xyz。ADQAAAnAAnAAn），（AAADQAAADQAAnzyxyxzx），（DQ），（DADQn，DAnzy（xnDQAQAAD，D：32

10、32214112,cos200)1,21, 1 (1,21, 102022021202),)0 ,2, 1 (),2,0 ,2(),0 ,0 ,2(),0 ,0 ,0(11111111111的平面角的余弦值是二面角平面是銳角觀察圖形可知二面角的的一個(gè)法向量是平面平面令則的一個(gè)法向量設(shè)平面則角坐標(biāo)系空間直為原點(diǎn)建立如圖所示的以解.211.利用法向量求二面角大小的優(yōu)勢：利用法向量求二面角大小的優(yōu)勢： 避免了繁難的作、證二面角的過程，將幾避免了繁難的作、證二面角的過程，將幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)值計(jì)算。何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)值計(jì)算。2.利用法向量求二面角大小的關(guān)鍵：利用法向量求二面角大小的關(guān)鍵：確定相關(guān)平面的法向量

11、。確定相關(guān)平面的法向量。3.利用法向量求二面角大小的缺點(diǎn)：利用法向量求二面角大小的缺點(diǎn)：計(jì)算量相對(duì)比較大。計(jì)算量相對(duì)比較大。.22課后思考課后思考 （20092009天津理，天津理，1919） 如圖，在五面體如圖，在五面體ABCDEFABCDEF中，中，F(xiàn)AFA 平面平面ABCDABCD，ADADBCBCFEFE，ABAB ADAD，M M為為ECEC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，AFAF= =ABAB= =BCBC= =FEFE= .= . (1) (1)求異面直線求異面直線BFBF與與DEDE所成的角的大小；所成的角的大??； (2)(2)證明：平面證明：平面AMDAMD平面平面CDECDE; ; (3)

12、 (3)求銳二面角求銳二面角A ACDCDE E的余弦值的余弦值. . (1) (1)解解 如圖所示，建立空間直如圖所示，建立空間直 角坐標(biāo)系，點(diǎn)角坐標(biāo)系，點(diǎn)A A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) ABAB=1=1，依題意得，依題意得B B(1,0,0),(1,0,0), C C(1,1,0)(1,1,0)，D D(0,2,0),(0,2,0),E E(0,1,1),(0,1,1),F F(0,0,1)(0,0,1)，AD21).21, 1 ,21(M.23.2122100|,cos),1 , 1, 0(),1 , 0 , 1(DEBFDEBFDEBFDEBF于是所以異面直線所以異面直線BFBF與與DEDE所成的角的大小為所成的角的大小為6060. .(2)(2)證明證明.,. 00),0 , 2 , 0(),1 , 0 , 1(),21, 1 ,21(ADCEAMCEADCE，AMCEADCEAM因此可得由又又AMAMADAD= =A A，故，故CECE平面平面AMDAMD. .而而CECE平面平面CDECDE，所以平面，所以平面AMDAMD平面平面CDECDE. .24(3)(3)解解 設(shè)平面設(shè)平面CDECDE的法向量為的法向量為u u= =（x x, ,y y, ,z z) )，令