2021年人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊6.3.5《平面向量數(shù)量積的坐標表示》學(xué)案 (含詳解)

1、【新教材】【新教材】 6.3.5 平面向量數(shù)量積的坐標表示平面向量數(shù)量積的坐標表示（人教（人教 A 版）版）1學(xué)會用平面向量數(shù)量積的坐標表達式，會進行數(shù)量積的運算。理解掌握向量的模、夾角等公式.能根據(jù)公式解決兩個向量的夾角、垂直等問題.2經(jīng)歷根據(jù)平面向量數(shù)量積的意義探究其坐標表示的過程，體驗在此基礎(chǔ)上探究發(fā)現(xiàn)向量的模、夾角等重要的度量公式的成功樂趣，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新精神.1.數(shù)學(xué)抽象：數(shù)量積的坐標運算；2.邏輯推理：平面向量的夾角公式，模長公式，垂直關(guān)系等；3.數(shù)學(xué)運算：根據(jù)向量垂直求參數(shù)，根據(jù)已知信息求數(shù)量積、夾角、模長等；4.數(shù)據(jù)分析：根據(jù)已知信息選取合適方法及公式求數(shù)量積；5.數(shù)

2、學(xué)建模：數(shù)形結(jié)合，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決，體現(xiàn)了事務(wù)之間是可以相互轉(zhuǎn)化的.重點：重點：平面向量數(shù)量積的坐標表示；難點：難點：向量數(shù)量積的坐標表示的應(yīng)用.一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本 34-35 頁，填寫。1、兩向量的數(shù)量積與兩向量垂直的公式（1）已知兩個非零向量 a=(x1,x2), b=(x2,y2),怎樣用 a 與 b 的坐標表示數(shù)量積 ab 呢？ab =_.即：_.（2）ab _.2與向量的模、夾角相關(guān)的三個重要公式（1）若 a =(x,y)，則|a|=_.（2）若 A(x1,x2),B(x2,y2)，則兩點 A、B 間的距離為_.（3）設(shè) a, b 都是非零向量，a=(x1,y1), b

3、 (x2,y2), a 與 b 的夾角，則_.1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)向量的模等于向量坐標的平方和()(2)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 abx1x2y1y20.()(3)若兩個非零向量的夾角滿足 cos 0，則兩向量的夾角一定是鈍角2已知 a(3,4)，b(5,2)，則 ab 的值是()A23B7C23D73已知向量 a(x5,3)，b(2，x)，且 ab，則由 x 的值構(gòu)成的集合是()A2,3B1,6C2D64已知 a(1， 3)，b(2,0)，則|ab|_.題型一題型一平面向量數(shù)量積的坐標運算平面向量數(shù)量積的坐標運算例例 1 (1)向量 a

4、(1，1)，b(1,2)，則(2ab)a()A1B0C1D2(2)在平面直角坐標系 xOy 中， 已知四邊形 ABCD 是平行四邊形，AB(1， 2)，AD(2,1)， 則 AD AC()A5B4C3D2跟蹤訓(xùn)練一跟蹤訓(xùn)練一1、在平面直角坐標系 xOy 中，正方形 OABC 的對角線 OB 的兩端點坐標分別為 O(0,0)，B(1,1)，則 AB AC_.2在平行四邊形 ABCD 中， AC(1,2)， BD(3,2)，則 AD AC_.題型二題型二向量的模的問題向量的模的問題例例 2 (1)設(shè)平面向量 a(1,2)，b(2，y)，若 ab，則|3ab|等于()A. 5B. 6C. 17D.

5、26(2)已知|a|2 13，b(2，3)，若 ab，求 ab 的坐標及|ab|.跟蹤訓(xùn)練二跟蹤訓(xùn)練二1已知向量 a(cos ，sin )，向量 b( 3，0)，則|2ab|的最大值為_2已知平面向量 a(2,4)，b(1,2)，若 ca(ab)b，則|c|_.題型三題型三向量的夾角和垂直問題向量的夾角和垂直問題例例 3(1)已知向量 a(1,2)，b(2，4)，|c| 5，若(cb)a152，則 a 與 c 的夾角為()A30B60C120D150(2)已知向量 a(1,2)，b(2,3)若向量 c 滿足(ca)b，c(ab)，求 c 的坐標跟蹤訓(xùn)練三跟蹤訓(xùn)練三1、已知平面向量 a(3,4)

6、，b(9，x)，c(4，y)，且 ab，ac.(1)求 b 與 c；(2)若 m2ab，nac，求向量 m，n 的夾角的大小題型四題型四平面向量的數(shù)量積問題平面向量的數(shù)量積問題例例 4已知點 A，B，C 滿足| AB|3，| BC|4，| CA|5，求 AB BC BC CA CA AB的值跟蹤訓(xùn)練四跟蹤訓(xùn)練四1、如果正方形 OABC 的邊長為 1，點 D，E 分別為 AB，BC 的中點，那么 cosDOE 的值為_1已知向量 a(1，1)，b(2，x)若 ab1，則 x()A1B12C.12D12已知向量 a(0，2 3)，b(1， 3)，則向量 a 在 b 方向上的投影為()A. 3B3C

7、 3D33設(shè)向量 a(1，0)，b12，12 ，則下列結(jié)論中正確的是()A|a|b|Bab22Cab 與 b 垂直Dab4設(shè)平面向量 a(1，2)，b(2，y)，若 ab，則|3ab|等于_5 如圖， 在ABC 中， ABC120， BA4， BC2， D 是 AC 邊上一點， 且DC34DA， 則BDAC_.6已知 a，b，c 是同一平面內(nèi)的三個向量，其中 a(1，2)(1)若|c|2 5，且 ca，求 c 的坐標；(2)若|b|52，且 a2b 與 2ab 垂直，求 a 與 b 的夾角.答案答案小試牛刀小試牛刀1. (1) (2) (3) 2D.3C.4.2.自主探究自主探究例例 1【答案

8、】(1) C(2) A【解析】(1)a(1，1)，b(1,2)，(2ab)a(1,0)(1，1)1.(2)由 AC AB AD(1，2)(2,1)(3，1)，得 AD AC(2,1)(3，1)5.跟蹤訓(xùn)練一跟蹤訓(xùn)練一【答案】1、12、3.【解析】1、如圖所示，在正方形 OABC 中，A(0,1)，C(1,0)(當然兩者位置可互換，不影響最終結(jié)果)，則 AB(1,0)， AC(1，1)，從而 AB AC(1,0)(1，1)110(1)1.2、 設(shè) AC， BD 相交于點 O， 則 AD AO OD12AC12BD12，132，1(1,2) 又 AC(1,2)， AD AC(1,2)(1,2)14

9、3.例例 2【答案】（1）A（2）ab(8,1)或 ab(4，7)，|ab| 65.【解析】(1)ab，1y2(2)0，解得 y4，從而 3ab(1,2)，|3ab| 5.(2)設(shè) a(x，y)，則由|a|2 13，得 x2y252.由 ab，解得 2x3y0.由，解得x6，y4或x6y4.a(6,4)或 a(6，4)ab(8,1)或 ab(4，7)，|ab| 65.跟蹤訓(xùn)練二跟蹤訓(xùn)練二【答案】1、2 3.2、8 2.【解析】1、2ab(2cos 3，2sin )，|2ab| 2cos 322sin 2 4cos24 3cos 34sin2 74 3cos ，當且僅當 cos 1 時，|2ab

10、|取最大值 2 3.2、a(2,4)，b(1,2)，ab2(1)426，ca(ab)b(2,4)6(1,2)(2,4)(6,12)(8，8)，|c| 82828 2.例例 3【答案】(1)C.(2) c521，17 .【解析】(1)ab2810，得(cb)acabaca10152，ca52.設(shè) a 與 c 的夾角為，則 cos ac|a|c|525 512.0180，120.(2)設(shè) c 的坐標為(x，y)，則 ac(1x,2y)(ac)b，(1x)32(2y)0，即 3x2y1.又 ab(3,5)，且(ab)c，3x5y0.聯(lián)立，得方程組3x2y1，3x5y0，解得x521，y17.故 c5

11、21，17 .跟蹤訓(xùn)練三跟蹤訓(xùn)練三【答案】(1)b(9,12)，c(4，3)(2)34.【解析】(1)ab，3x49，x12.ac，344y0，y3，b(9,12)，c(4，3)(2)m2ab(6,8)(9,12)(3，4)，nac(3,4)(4，3)(7,1)設(shè) m，n 的夾角為，則 cos mn|m|n|37413242 72122525 222.0，34，即 m，n 的夾角為34.例例 4【答案】-25.【解析】法一定義法如圖，根據(jù)題意可得ABC 為直角三角形，且 B2，cos A35，cos C45， AB BC BC CA CA AB BC CA CA AB45cos(C)53cos

12、(A)20cos C15cos A2045153525.法二坐標法如圖，建立平面直角坐標系，則 A(3,0)，B(0,0)，C(0,4) AB(3,0)， BC(0,4)，CA(3，4) AB BC30040，BC CA034(4)16，CA AB3(3)(4)09. AB BC BC CA CA AB016925.跟蹤訓(xùn)練四跟蹤訓(xùn)練四1、【答案】45.【解析】法一：以 O 為坐標原點，OA，OC 所在的直線分別為 x 軸，y 軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則由已知條件，可得 OD1，12 ， OE12，1.故 cosDOEOD OE| OD| OE|112121525245.法二： OD OA AD OA12OC，OE OC CE OC12OA，| OD|52，| OE|52，OD OE12OA212OC21，cosDOEOD OE| OD| OE|45.當堂檢測當堂檢測1-3.DDC4.5.5. 4.6. 【答案】