大學生高等數(shù)學競賽試題匯總及答案

1、前三屆高數(shù)競賽預賽試題（非數(shù)學類）（參加高等數(shù)學競賽的同學最重要的是好好復習高等數(shù)學知識，適當看一些輔導書及相關題目，主要是一些各大高校的試題。）2009-2010年第一屆全國大學生數(shù)學競賽預賽試卷、填空題（每小題5分）（x y） ln（1 -）1.計算 n x dxdy 16/15,其中區(qū)域D由直線x D .1 x y兩坐標軸所圍成三角形區(qū)域.解:令xy u,x0 dxdy detdudvdudv ,du2tdt ,u2 1設 f (x)是連續(xù)函1 t22t2 t4 ,1 u2u(1 u)t2(1t)(1t)數(shù)，且滿足f(x)3x220 f(x)dxf(x)-F 人2解:令A f022Ao(

2、3X(x)dx ,則 f (x)A2)dx8解得A因止匕f(x) 3x2曲面z因平面2x 2 z - y23x2ZA10o32平行平面2x 2y2x 2y z 0的法向2)2A,0的切平面方程是為（2,2, 1）, 而曲面2 在（x°,y°）處的法向量為(zx(x°, y°), zy(x°, y°), 1),故(zx(x°, y°), Zy (x°, y°), 1)與(2,2, 1)平由zx x ,zy 2y 知2 Zx(Xo,yo) Xo,2 Zy(Xo,yo) 2y0,即 X02, y01,

3、又 z(x0,y0) z(2,1) 5,于是曲面 2x 2y z 0在誨,y°,z(X0, y。)處的切平面方程是22(x 2) 2(y 1)(z 5) °，即曲面zy2 2平行平面 2x 2y z 0的切平面方程是2x 2y z 1 0。4.設函數(shù)y y(x)由方程xef(y) eyln29確定，其中f具有二階導數(shù)，且f 1 ,則也.dx解：方程xef(y) ey In 29的兩邊對x求導，得一因 ey In 29 xef(y),故1 f (y)y y,即 y 1,因止匕xx(1 f (y) 7x 2xnx e二、(5分)求極限1a(八一e-尸，其中n是給定的正整數(shù).解：

4、因故因此三、(15 分)設函數(shù) f(x)連續(xù)，g(x) 1f (xt)dt,且 Iim-fS) A, A 為 0X 0 x常數(shù)，求g (X)并討論g (X)在x 0處的連續(xù)性.I解:由lim上儂A 和函數(shù) f(x)連續(xù)知， x 0 xf(0) lim0f(x)mo NX X mo NX1-1因 g(x) 0 f (xt)dt ,故 g(0)0 f (0)dtf(0) 0 ,Xr ,因此，當 x 0 時，g(x) - f(u)du,故 X 0當x 0時，1 xf (x)g (x) 0 f(u)du ，x 0X這表明g(x)在x 0處連續(xù).,0 y , L為D的正四、(15分)已知平面區(qū)域D (x

5、, y)|0 x向邊界，試證:sin ysin xsin ysin x (1) o xe dy ye dx g xe dy ye dx;LLssin ysin y 5 2(2) : xe dy ye dx -.證：因被積函數(shù)的偏導數(shù)連續(xù)在D上連續(xù)，故由格林公式知sin ysin xsin ysin x、(1) xe dy ye dx 一(xe ) ( ye ) dxdy ld xy而D關于x和y是對稱的，即知因此(2)因故由 /一+ L_ I 、II知sin ysin y 5 2xe dy ye dx 一l2五、(10 分)已知 y1 xex e2x , y2xex ex, y xex e2x

6、 e x 是某二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個解，試求此微分方程.解設 yxex e2x, y2 xex e x , y3xex e2x e x 是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程f !/ '的三個解，則y2 yi ex e2x和y3 yi e x都是二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解，因此y by cy 0的特征多項式是(2)(1) 0 ,而Iy by cy 0的特征多項式是因此二階常系數(shù)線性齊次微分方程為y y 2y 0,由V1V1 2y1f(x)和x x 2xx x 2xye xe 2e, y12exe4e知，f(x) y1 y1 2y1xex2ex4e2x(xexex2e2x)2(x

7、exe2x)二階常系數(shù)線性非齊次微分方程為六、(10分)設拋物線y ax2 bx 2lnc過原點.當0x 1 時，y。，又已知該拋物線與X軸及直線x 1所圍圖形的面積為L試確定a,b,c,使 3此圖形繞x軸旋轉一周而成的旋轉體的體積最小.解因拋物線y ax2 bx 2lnc過原點，故c 1,于是即而此圖形繞x軸旋轉一周而成的旋轉體的體積即令218V (a)-a-(12a)(1a) 0,5327得即因此5 3.a , b , c 1.42七、(15 分)已知 Un(x)滿足 Un(x) Un (x) xn'g 1,2,)，且 4 ,n求函數(shù)項級數(shù)Un(x)之和.n 1解Un(x) Un(

8、x) xn '、，即由一階線性非齊次微分方程公式知即因此由 e Un(1) e(C 1)知，C 0, nn于是下面求級數(shù)的和：令即由一階線性非齊次微分方程公式知0,得 0 S(0)Un(x)的和n 1八、(10分)求x解令t2 f(t) xt1時，與xn n 0則因當0 x等價的無窮大量.1, t (0,)時,t2f (t) 2tx Inx 0 ,f(t)即t2ln1x在(0,)上嚴格單調減。因此0 f(t)dt f(n) n 00 f(t)dt,所以,f (n)n 00 f出2 n x0xt2dtt2ln1e xdt 1nxe12dt 右、，,1nx1時，與n°xn2等價的

9、無窮大量是虬2010-2012年第二屆全國大學生數(shù)學競賽預賽試卷 (參加高等數(shù)學競賽的同學最重要的是好好復習高等數(shù)學知識，適當看一些輔導書及相關題目，主要是一些各大高校的試題。)一、(25分，每小題5分)(1)設 xn (1 a)(1 a2)L (1 a2n),其中 |a| 1,求 “m4.2 x(2)求 lim e x 1 -。 xx(3)設 s 0,求 I 0esxxndx(n 1,2,L ) o(4)設函數(shù)f(t)有二階連續(xù)導數(shù)r . x y ,g(x,y)22gg-2-2- oxy(5)求直線li:0與直線12：U4一的距離。解:(1)xn(1a)(12a2)L (1 a2n)=Xn(

10、1 a)(12a)(1 a2)L (12na2 )/(1a)=(1a2)(12a )L (12na )/(1 a)=Lnx 1=(1 a )/(1 a)lim e xX 1lne x(1)lim e xx21x2 ln(1 ) xlim e x x令 x=1/t,原式=!im0e(ln(1 t) t)t21/(1 t) 1lim e 2t t 0112(1 t)2lim e e 2t 0I,(3) nsxn 0e xndx ( 1)xnde sxs 0sx n 1, n . n(n 1).e x dx 1nl 2 Iss1 n sx I()x eI0sLn! I2 Ln I0s_ sx n1e

11、 dx 0n!n 1 s二、(15 分)設函數(shù) f(x)ft(,)上具有二階導數(shù)，并且f (x) 0, lim f (x)0, lim f (x)xx0,且存在一點x。,使得f(xo)0。證明：方程f(x) 0在(，)恰有兩個實根。解：二階導數(shù)為正，則一階導數(shù)單增，f(x)先減后增，因為f(x)有 小于0的值，所以只需在兩邊找兩大于 0的值。將f(x)二階泰勒展開: 因為二階倒數(shù)大于0,所以lim f(x), lim f(x)xx證明完成八 、一 一一，/ 一、- x 2t t2一一一三、(15分)設函數(shù)y f(x)由參數(shù)方程x 2tt (t1)所確定，其中y (t)具有二階導數(shù)，曲線y (t

12、)與yt2e u2du3在t 1出相切，求函12e數(shù)(t)。解：(這兒少了一個條件d2y dx2t2.23 )由丫與y 1eudu瓦在t 1出相切得2d y d(dy/dx) d(dy/dx)/dt.2.dx dxdx/ dt(t)(2 2t) 2 (t)(2 2t)3上式可以得到一個微分方程，求解即可n四、(15分)設an 0,Snak,證明：k 1(1)當 1時，級數(shù)曳收斂；n1&當1且sn(n )時，級數(shù)及發(fā)散n1Sn I解：(1) an>0, Sn單調遞增當ann 1收斂日寸，Q -anSn曳，而亙收斂，所以至收斂; SiSiSn發(fā)散時，lim Sn所以,ann 1 Sn

13、a1 Sn dx a1S dxS1n 2、1 xS1S1 x11而 Sndx 亙 limSn一S1 x51n 11員k,收斂于k41所以，旦收斂。n 1 sn(2) Q lim sn n n所以an發(fā)散，所以存在k1,使得 n 1k1ann 2ai于是,k1k1ana2 Sn2 Snk1an2sk1依此類推，可得存在1k1k2ki 1使得亙, 1成立，所以k Sn 2kN a1 sn當n 時，N ，所以 3 n 1 sn發(fā)散五、（15分）設l是過原點、方向為（一),(其中222 1 )的直線,均勻橢球2 x2 a22學c2 1，其中（0c b a,密度為1）繞l旋轉。(1)求其轉動慣量；(2)

14、求其轉動慣量關于方向（,）的最大值和最小值。解:(1)橢球上一點P（x,y,z）到直線的距離由輪換對稱性,(2) Qa b cmax1 時，Imin415415 1abc(a2 b2)abc(b2 c2)六、（15分）設函數(shù)（x）具有連續(xù)的導數(shù)，在圍繞原點的任意光滑的簡單閉曲線C上，曲線積分？ c2xydx (x)dy的值為常數(shù)。(1)設L為正向閉曲線（x 2）21，Wdy 0；(2)求函數(shù)（x）;(3)設C是圍繞原點的光滑簡單正向閉曲線，求2xydx (x)dy-2°y解:(1)L不繞原點，在L上取兩點A, B,將L分為兩段LiL2,再從A, B作一曲線L3,使之包圍原點。則有(2

15、)令 P42xy2，Q4(x)2x y x y由（1）知與上。，代入可得 x y上式將兩邊看做y的多項式，整理得由此可得解得：（x） x2(3)取L為x4y24,方向為順時針2011-2012年第三屆全國大學生數(shù)學競賽預賽試卷（參加高等數(shù)學競賽的同學最重要的是好好復習高等數(shù)學知識，適當看一些輔導書及相關題目，主要是一些各大高校的試題。）計算下列各題（本題共3小題，每小題各5分，共15分）11 cosx(1).求 lim 犯；x 0 x解：（用兩個重要極限）.求lim n解：（用歐拉公式）令xn其中，o 1表示n11n 1 n 2 時的無窮小量,x In 1 e2td2y(3)已知t，求Ty t

16、 arctanetdx解:dx dt2e2t dy1 e2t , dtet1 e2t二.（本題10分）求方程2x y解：設 P 2x y 4,Q x y12t r tdy1 e2te e 1dx2e2t 2e2t2t1 e4 dx x y 1 dy 0的通解1,則 Pdx Qdy 0P Q一 一Q 1, Pdx Qdy 0是一個全微分方程，設 y xL、，L 4飛-I -I dz Pdx Qdy f- 'j/ jt zP Q Q ,該曲線積分與路徑無關 y x三.（本題15分）設函數(shù)f（x）在x=0的某鄰域內具有二階連續(xù)導數(shù)， I I且f 0 ,f' 0 ,f" 0均

17、不為0,證明：存在唯一一組實數(shù)k1,k2,k3,k1 f h 使得limh 0k2f 2hk3f 3h f 0h20。的 存 在 性 ：0,又 f 00,k1k2k31 123lim k1fhk2 f 2hh 0即 k1 k2 k3 1 f 0 123k3f 3h f 00由洛比達法則得由極限的存在性得lim k1f h 2k2 f h 012即 k12k23k3 f 00 ,又 f 02h 3k3f 3h 0k12 k23k3 0 再次使用洛比達法則得k1 4k2 9 k3 0 由得k1,k2,k3是齊次線性方程組k1k1k1k3 13k39 k30的解0,xk1k2k3,bR A,b所以，

18、方程Axb有唯一解，即存在唯一一組實數(shù)k1,k2 ,k3滿足題意,且 k13,k23及1四.（本題17I分）設222xyz1 :2 2" 21，其中 aabc222 a2: z x y ,為1與2的交線，求橢球面上各點的切平面到原點距離的最大值和最小值。解：設上任一點 M x, y,z，令 F x, y,z2 x2 ay2b7則Fx x號Fy N'Fz用，橢球面1在 a b c上點M處的法向量為:2，b1在點M處的切平面為占八、的距離為d 產12 yb42 z4 cx, y,z2 x4 a2 y b42z4，貝 Ud c現(xiàn)在求x,y,z2 x4 a2 y b4G x,y,z2

19、,在條件 c2 x2 a2 y b22 z2 cy2下的條件極值,x, y,z2 x4 a2 y b42 z4 c2 x2 a2 y b22 z2 c則由拉格朗日乘數(shù)法得:HxHyHz2 x2 a2 x2xI4 a2y b42z4 c2 y b22yz2 c2 z2x1 2 a2y1 b22z1 -2" c22x2y2 2z0解得2 2a c22a cb2c2yx,y,z44b c2 222b c b c0G x,y,z4 a2 2a c4c22a c此時的d1bcb2b4cd2 cac22a c44a c又因為ab c 0,則 d1d2所以，橢球面1在上各點的切平面到原點距離的最大值和最小值分另U為：d2 ac22ac4 , d1bacb2 c2b4 c4五.（本題16分）已知S是空間曲線22x 3yz 01 _ 小一繞y軸旋轉形成的橢球面的上半部分（z 0）取上側,是S在P x,y,z點處的切平面，x, y,z是原點到切平面 的距離，表示S的正法II I向的方向余弦。計算：(1)zdS; (2)z x 3 y z dSS x, y,zS解：(1)由題意得：橢球面S的方程為x2 3y2 z2 1 z令 F x2