經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(微積分)講義

1、-作者xxxx-日期xxxx經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(微積分)講義【精品文檔】經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分學(xué)習(xí)講義合川電大蘭冬生知識(shí)點(diǎn)一：5個(gè)基本函數(shù)1，常數(shù)函數(shù)， （是常數(shù)）例如：，這些函數(shù)可以看成是隱含，例如可看成。2，冪函數(shù)，（是一個(gè)數(shù)）形如，是冪函數(shù)，注意：僅僅是這種形式是冪函數(shù)，其他的任何一點(diǎn)形式變化都不是，是冪函數(shù)，就不是冪函數(shù)，只能是下面，上面（指數(shù)）是一個(gè)數(shù)！以下基本函數(shù)均如此3，指數(shù)函數(shù)，（是一個(gè)數(shù)）例如：，不是指數(shù)函數(shù)。4，對(duì)數(shù)函數(shù)，這里要求必須大于零，我們的考試常常拿來(lái)考“求定義域”這里我們只認(rèn)識(shí)兩個(gè)特殊的對(duì)數(shù)函數(shù)，一個(gè)是，他是的簡(jiǎn)寫(xiě)，是一個(gè)數(shù)，和我們知道的一樣，另一個(gè)是，他是的簡(jiǎn)寫(xiě)。5，三角函數(shù)

2、，特別注意的是，都不是三角函數(shù)。l 這5個(gè)基本函數(shù)是我們要學(xué)習(xí)的函數(shù)的主要構(gòu)成細(xì)胞。l 例如：，二次函數(shù)，由冪函數(shù)，常數(shù)函數(shù)構(gòu)成。知識(shí)點(diǎn)二：極限1，什么是數(shù)列？數(shù)列就是按照“一定規(guī)律排列的一組數(shù)”，我們常見(jiàn)的是無(wú)限數(shù)列。數(shù)學(xué)符號(hào)記為：例如：數(shù)列：1,2,4,8,16,32，發(fā)展規(guī)律依 變化， 1，發(fā)展規(guī)律依 變化，2，極限 學(xué)習(xí)極限，一個(gè)非常重要的認(rèn)識(shí)就是“分母越大，分?jǐn)?shù)越小” 數(shù)列的極限，就是指數(shù)列的一個(gè)趨近值，（即是指一串?dāng)?shù)的趨近值）例如：1，分母由1,2,3,4，變化，當(dāng)分母無(wú)限大時(shí)，最后，這個(gè)無(wú)限數(shù)列趨近于0，這里，我們簡(jiǎn)單描述這個(gè)變化， 分母越大，分?jǐn)?shù)越小是趨近，是無(wú)窮大的意思，無(wú)窮

3、大是指非常非常大，無(wú)法計(jì)量。是指數(shù)軸的最遠(yuǎn)端。用極限式寫(xiě)為：這個(gè)位置寫(xiě)趨近值。分母無(wú)窮大，分?jǐn)?shù)趨近值為0說(shuō)明趨向無(wú)窮大，例如：1，這個(gè)數(shù)列由，取0,1,2,3,4，得到， 分母越大，分?jǐn)?shù)越小用極限式寫(xiě)為分母無(wú)窮大，分?jǐn)?shù)趨近值為0這個(gè)位置寫(xiě)趨近值。例：求極限分析： 所以，解為 解：=1例：求極限分析：可變?yōu)?，繼續(xù) 分子是數(shù)，分母是無(wú)窮大，一個(gè)固定數(shù)與無(wú)窮大相比，固定數(shù)顯得太小太小，忽略不計(jì)， 不是所有數(shù)列都有極限，極限存在是指數(shù)列趨近于一個(gè)固定數(shù)，不趨近一個(gè)數(shù)，說(shuō)極限不存在。例如：時(shí)，所以不存在，極限存在，稱(chēng)數(shù)列收斂，不存在，稱(chēng)為發(fā)散。函數(shù)的極限，就是把前面的看成是可取任何數(shù)的就可以了。例如：求

4、極限，分析：理解為時(shí)， 分母越大，分?jǐn)?shù)越小所以函數(shù)在某一點(diǎn)的極限如圖：函數(shù)函數(shù)在這一點(diǎn)不取值，的取值可無(wú)限靠近1，于是就有函數(shù)在一點(diǎn)的極限，這個(gè)極限的意思是： 當(dāng)無(wú)限靠近1時(shí)，也說(shuō)趨近1 趨近于多少?gòu)膱D上看得出值趨近于1函數(shù)在一點(diǎn)的極值記為：，是函數(shù)在點(diǎn)處的極限值，是一個(gè)趨近值。例：求極限，這是一類(lèi)直接帶入分母為0的極限，這類(lèi)極限需要分解因式約去為0分母，然后直接帶入求值。分析：直接帶入，分母為0，于是對(duì)分子分解因式，此時(shí)帶1，式子有意義，直接算出，所以，=2考題分析：計(jì)算極限。解：計(jì)算極限。解：計(jì)算極限 解 = = = *：求函數(shù)在某一點(diǎn)的極限：1，帶入分母不為0，就直接帶入求值。 2，帶入

5、分母為0，先分解因式，約掉為0分母，然后帶入求值。關(guān)于求極限的一般方法比較分子和分母最高次項(xiàng)系數(shù)，1，分子最高次項(xiàng)指數(shù)小于分母最高次項(xiàng)指數(shù)，極限為02，分子最高次項(xiàng)指數(shù)等于分母最高次項(xiàng)指數(shù)，極限為系數(shù)比3，分子最高次項(xiàng)指數(shù)大于分母最高次項(xiàng)指數(shù)，極限不存在題目中次數(shù)最高的項(xiàng)，稱(chēng)為最高次項(xiàng)，指數(shù)稱(chēng)為次數(shù)。這個(gè)題目中最高次數(shù)是3，例：求極限分析：當(dāng)時(shí)，遠(yuǎn)比大。比指數(shù)小的，都可以視為0，因此，這個(gè)極限分母遠(yuǎn)比分子大，極限值是0。也可以對(duì)分子分母同除以，得=，當(dāng)時(shí)，。所以，此題極限是0.前面的2稱(chēng)為最高次項(xiàng)系數(shù)前面的3稱(chēng)為最高此項(xiàng)系數(shù)例：求極限，分析，比指數(shù)小的，都可以視為0，常數(shù)直接去掉。所以此題極限

6、是最高次項(xiàng)系數(shù)比，也可以分子分母同除以。解：=例：求極限分析，顯然，分子最高次數(shù)為3，當(dāng)時(shí)，分子遠(yuǎn)大于分母，次極限不存在。 最高次項(xiàng)系數(shù)比歸納為如下：此處也可說(shuō)極限不存在解此類(lèi)題只看最高次項(xiàng)，直接寫(xiě)答案。考題舉例：求極限 解：=求極限 解：兩個(gè)重要極限：（這兩個(gè)是公式，直接使用！）1，或 ，考試常現(xiàn)，希望注意，現(xiàn)以考題作講解。公式應(yīng)理解為，或，括號(hào)里面填任何變量都可以，但必須是相同的。特別要注意，這里是例：求極限，分析：通過(guò)變形，達(dá)到內(nèi)相同，=，因?yàn)?，時(shí)，所以=5=5這就是我們要的，3個(gè)位置都一樣因?yàn)槭浅朔e，常數(shù)5可以直接拿出來(lái)當(dāng)時(shí)，1-1=0 例，求極限0分析：=0也可以=加減法可以分開(kāi)求，

7、例， （形成性考核作業(yè)）這里可以寫(xiě)，也可以寫(xiě)，是一個(gè)意思，所以，考試的時(shí)候，直接寫(xiě)解：原式=總結(jié)：極限的運(yùn)算遵循加法可分，常數(shù)可透原則， 也遵循乘法可分原則2， 或 這個(gè)公式都要理解成，只要里一樣，極限值就是 次類(lèi)考得少，只舉一個(gè)簡(jiǎn)例，例求極限分析：=此處與是一樣的。知識(shí)點(diǎn)： 無(wú)窮大量與無(wú)窮小量，此考點(diǎn)經(jīng)常考，其實(shí)簡(jiǎn)單，極限值是0的就是無(wú)窮小量，極限值是0的就是無(wú)窮小量。極限值是無(wú)窮大的就是無(wú)窮大量。考題舉例例：1，已知，當(dāng) 時(shí)，為無(wú)窮小量2，已知，當(dāng) 時(shí)，為無(wú)窮小量3，設(shè)，當(dāng)（A）時(shí)，f(x)為無(wú)窮小量Ax0 Bx1 Cx- Dx+4，當(dāng)時(shí)，下列變量為無(wú)窮小量的是（ D ）A B C D 5

8、，已知，當(dāng)（A ）時(shí)，為無(wú)窮小量.A. B. C. D. 6，當(dāng)時(shí)，變量（ D ）為無(wú)窮小量。A BC D7，當(dāng)時(shí)，變量（ D ）是無(wú)窮小量。A BC D函數(shù)的連續(xù)可以再一段數(shù)上面都取得到，稱(chēng)函數(shù)在這一段數(shù)上面連續(xù)，例如，在這一段數(shù)上面連續(xù)，但在這段數(shù)上面不連續(xù)，因?yàn)槿〔坏?.以下用考題來(lái)分析，1，函數(shù) 在x = 0處連續(xù)，則k = ( B )A-2 B-1 C1 D22函數(shù) 在x = 0處連續(xù)，則k = (C)A-2 B-1 C1 D2 3. 函數(shù) 在x = 0處連續(xù)，則（ A ）A. 1 B. 0 C.2 D. 4函數(shù) 在x = 0處連續(xù)，則k = (B)5若函數(shù)，在處連續(xù)，則 ( B )

9、 A BC D 6已知，若f(x)在（，+）內(nèi)連續(xù)，則a=27已知，若在x=1處連續(xù)，則2 .此類(lèi)題目就是對(duì)上面一個(gè)式子求當(dāng)不等于那個(gè)數(shù)時(shí)的極限。1，求 2，求 3，求=下面1時(shí)的值，4，求，5，求，6，求，7，求分析：要使得函數(shù)連續(xù)，必須要上面的極限等于下面的，具體意義請(qǐng)參看教材中“函數(shù)的連續(xù)性”一節(jié)。另外補(bǔ)充，找函數(shù)不連續(xù)的點(diǎn)，一般可以理解為找函數(shù)無(wú)意義的點(diǎn)，比如間斷點(diǎn)（就是不連續(xù)點(diǎn)）是分母為0的點(diǎn)和求函數(shù)定義域：函數(shù)的定義域就是指使得式子有意義的的取值范圍。一些常見(jiàn)的式子有意義的條件：1，分母不等于0；2，開(kāi)平方：根號(hào)里面大于等于0，如果根號(hào)在分母下面，一定不要使分母是0了。3，對(duì)數(shù)里面

10、必須大于0，例如：，的位置必須大于0，中，位置必須大于0，若，作分母，位置還不能取1考題舉例：1函數(shù)的定義域是（ D ） AB CD 且2函數(shù)的定義域是 (A） A B C D 3函數(shù)的定義域是（-1,，0）（0,3 )4.函數(shù)的定義域是 5函數(shù)的定義域是-5，2.6函數(shù)的定義域是 .7函數(shù)的定義域是 8函數(shù)的定義域是 （0，3.9函數(shù)的定義域是10函數(shù)的定義域是詳細(xì)講解2,3題，解2，要使得有意義，根號(hào)里面，結(jié)合分母不能是0，有同時(shí)還要滿(mǎn)足，位置大于0，即，所以有并且，合起來(lái)就是是區(qū)間表示，=3，要使得有意義，根號(hào)里面大于等于0，得，位置要大于0，同時(shí)作分母，還必須不等于1，即且，得到，且，

11、要是整個(gè)式子有意義，還得，所以，且，所以答案：（-1,，0）（0,3，是合起來(lái)的意思，（-1,，0）（0,3意思是：且用區(qū)間表示就是用區(qū)間表示就是用區(qū)間表示就是等得到，方括號(hào)，等不到圓括號(hào)。用區(qū)間表示就是用區(qū)間表示就是用區(qū)間表示就是請(qǐng)結(jié)合上兩個(gè)例子學(xué)習(xí)。關(guān)于指數(shù)是分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)僅以實(shí)例來(lái)學(xué)習(xí)，指數(shù)是負(fù)數(shù)：只要是指數(shù)是負(fù)數(shù)，去掉負(fù)數(shù)取倒數(shù)，有時(shí)候經(jīng)常反過(guò)來(lái)用指數(shù)是分?jǐn)?shù)：，分母是開(kāi)方，分子是次方。知識(shí)點(diǎn)三，導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)：求導(dǎo)是在5個(gè)基本函數(shù)上進(jìn)行！， ， 這種形如的導(dǎo)數(shù)是把指數(shù)放下來(lái)，指數(shù)減1，5個(gè)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1，例如，,2，例如，3，這是一個(gè)非常特殊的導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù)等于他本身4，,5， 這是5個(gè)基

12、本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，以后的學(xué)習(xí)中，主要是由這5個(gè)結(jié)合構(gòu)造出復(fù)雜的函數(shù)，但是我們都能分解成這5個(gè)基本函數(shù)，來(lái)求導(dǎo)，再后面的積分學(xué)習(xí)也是如此。例如：，求解：象這種由幾個(gè)基本函數(shù)加在一起的，可以分開(kāi)求，我們稱(chēng)為加法可分例如：，求解：象這種，基本函數(shù)前的系數(shù)（常數(shù)）可以直接拿出來(lái)，我們稱(chēng)為常數(shù)可透兩個(gè)基本函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)：等于一個(gè)求導(dǎo)乘以另一個(gè)，再加上這個(gè)乘以另一個(gè)求導(dǎo)，例如：，求分式的導(dǎo)數(shù)：例如 ，求至此，我們學(xué)習(xí)了由基本函數(shù)加減乘除構(gòu)造成的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法，綜合舉例：例如，已知，求這里特別注意，求微分：由導(dǎo)數(shù)的意義，求微分就是求，所以，我們主需要先求出，然后再寫(xiě)成這種形式就可以了，例如：，求解：因?yàn)?，?/p>

13、以復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，這是求導(dǎo)最難的，也是必考的，每題10分，其實(shí)也不難復(fù)合的意思就是一層套一層，我們可以分層從外到內(nèi)求出。例如：，我們來(lái)求這3個(gè)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。1，主體是由構(gòu)成，把看成括號(hào)里面內(nèi)容，由于，所以，對(duì)主題按基本函數(shù)求導(dǎo)，再乘以括號(hào)內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這個(gè)函數(shù)可以看成是，復(fù)合而成。2，主體是，由于，所以，3，主體是，由，所以，又可以依求出，因?yàn)?，所以，所以，繼續(xù)求下去 1， 2， 做復(fù)合函數(shù)的題，一定要對(duì)基本函數(shù)導(dǎo)數(shù)熟悉，特別是那5個(gè)基本函數(shù)，第一步就要認(rèn)清這個(gè)主體是由哪個(gè)基本函數(shù)構(gòu)成，對(duì)主題按基本函數(shù)求導(dǎo)，再乘以括號(hào)內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，考題舉例，1設(shè)，求 解： 所以 2已知y =，求dy 解 因?yàn)?/p>

14、 = = 所以 3設(shè) y，求dy解 因?yàn)?y 所以 dy = ()dx 4設(shè)，求。 解： 5已知，求 解： 6已知，求 解： 7已知，求；解：8已知，求dy 解： dy=9設(shè) y，求dy解：10設(shè)，求 解：11已知，求解： 12設(shè)，求解： 13設(shè) y，求 解 因?yàn)?y所以 14設(shè)，求解：由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得 15已知，求 解：因?yàn)?所以 = 16設(shè), 求.解：因?yàn)?所以 17已知y =，求dy 解 因?yàn)?= = 所以 18設(shè)，求19設(shè)，求。20已知，求。21設(shè)，求22設(shè)，求23.設(shè)，求解：由微分四則運(yùn)算法則和微分基本公式得 24設(shè)，求 解：因?yàn)?所以 25.已知，求解：由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算

15、法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得 26.設(shè)，求解：由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得 27設(shè)，求 解：因?yàn)?所以 28設(shè)求解：= = dy=隱函數(shù)求導(dǎo)：隱函數(shù)求導(dǎo)就是對(duì)求導(dǎo)，然后再乘以。隱函數(shù)求導(dǎo)，是因?yàn)榻獠怀?，具體步驟，1，方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，把里面的當(dāng)成操作求導(dǎo)，但若把當(dāng)成求導(dǎo)后，要對(duì)這個(gè)式子乘以，有但不求導(dǎo)的地方不乘，2，解出。例如：，求，解：所以，解出得考題舉例：1由方程確定是的隱函數(shù)，求解 在方程等號(hào)兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得 故 2由方程確定是的隱函數(shù)，求 解 在方程等號(hào)兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得 故 3設(shè)函數(shù)由方程確定，求解 方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得 當(dāng)時(shí)，所以，函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)：此類(lèi)題目是函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，就是

16、先求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，然后再帶入計(jì)算，第一步，求出導(dǎo)數(shù)，第二步帶入求值。括號(hào)里面是的值。1設(shè)，求.解：因?yàn)?= 所以 = = 0 2已知，求解：，所以 3已知，求；解 = 求積分：積分是求導(dǎo)的逆運(yùn)算.例：已知，求導(dǎo)運(yùn)算，。已知，求求導(dǎo)前的函數(shù)（稱(chēng)原函數(shù)）這一運(yùn)算的數(shù)學(xué)符號(hào)，讀作積分記：，其中是任意常數(shù)求導(dǎo)前的函數(shù)，求導(dǎo)過(guò)程求導(dǎo)后，添加一個(gè)，是因?yàn)?，為了邏輯上的相等，求?dǎo)，所以，注意五個(gè)基本函數(shù)的積分：以后直接利用公式求積分！ 注：后面都加上，加的結(jié)果表示所有原函數(shù)。求積分遵循：加法可分，常數(shù)可透原則。例：求積分，解：=例：求積分，=湊微分：湊微分遵循：若，則，這里，是指的導(dǎo)數(shù)，只需滿(mǎn)足括號(hào)內(nèi)相同即可

17、。例：求積分，解：= 1，利用基本函數(shù)，公式為，要把公式中的看成。2， 中的可理解為對(duì)求導(dǎo)，。 3，湊，是反過(guò)來(lái)運(yùn)用，湊成有用的，然后用，求出積分。4，湊微分要求對(duì)5個(gè)基本公式要熟悉。例如：求積分，解：=例如：求積分，解：=不是所有的積分都可以用湊微分作出來(lái)，湊微分只是一種手段，能求的積分是很少的一部分，接下來(lái)學(xué)習(xí)分步積分，分部積分公式：，公式特點(diǎn)：是含有的兩個(gè)因式的乘積，若見(jiàn)是乘積的形式，可考慮套用公式。分部積分的重點(diǎn)在于確定哪個(gè)是，哪個(gè)是，確定原則是找出來(lái)的求導(dǎo)后與的乘積可消，使得簡(jiǎn)單，可積。（可參照例題作）考題舉例，1，求積分， = 寫(xiě)成公式的形式 = = = = =2，求積分，解：=3

18、，計(jì)算不定積分.解：=4，計(jì)算不定積分.解：由分部積分法=定積分：定積分就是在前面學(xué)的不定積分上加上限和下限，具體算法是先算出不定積分，然后上限（帶入）減下限（帶入）上限，也就是積分號(hào)上標(biāo)那個(gè)數(shù)例如：不定積分=上限帶入的值減下限帶入的值 定積分=2下限，也就是積分號(hào)下標(biāo)那個(gè)數(shù)定積分不要考題綜合舉例：1 解 = = （湊微分）2. 解：原式 3 解 = （湊微分）4 解： = = =(25-ln26) 最后算限的時(shí)候，可以分開(kāi)，也可以合攏=5 解：=- = （分部積分法）6 解法一 = =1 注意 解法二 令，則=7 解 = 分子分母同除 =1+ ln 8. 解： = 分部積分9. 計(jì)算定積分解：由分部