平穩(wěn)時間序列模型及其特征課件

1、應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材1第二章 平穩(wěn)時間序列模型及其特征v在本章，我們介紹平穩(wěn)時間序列的三種主要類型的模型，AR模型、MA模型、ARMA模型，這三種模型都是線性模型，它們能用有限的參數(shù)刻畫時間序列的動態(tài)性。盡管線性關(guān)系的假定在解決實際問題時是一個比較苛刻的條件，但無疑它是理論研究的基礎(chǔ)。這三種模型是最基本的時間序列模型之一，對這三種模型性質(zhì)的研究有助于研究更為復(fù)雜的時間序列模型。應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材2第一節(jié) 模型類型及其表示一、預(yù)備知識一、預(yù)備知識應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材3v一階差分(相距一期的兩個序列值之間的減法運(yùn)算稱為1階差分運(yùn)算)v

2、階差p分 v 步差k分1tttxxx111tptptpxxxkttkxx對1階差分后序列再進(jìn)行一次1階差分運(yùn)算稱為2階差分2xt=xt-xt-1依此類推，對p-1階差分后序列再進(jìn)行一次1階差分運(yùn)算稱為p階差分應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材42.滯后算子滯后算子v滯后算子類似于一個時間指針，當(dāng)前序列值乘以一個滯后算子，就相當(dāng)于把當(dāng)前序列值的時間向過去撥了一個時刻 v記B為滯后算子，有 1,pxBxtppt應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材5v v v v v ，其中 10B為任意常數(shù)cxcxBcxcBttt,)()(111)(ttttyxyxBnttnxxBiniinnnBCB0

3、) 1()1 ()!( !ininCin應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材6v線性差分方程v齊次線性差分方程0.11ptpttwww tawwwptptt.11應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材7 v 特征方程v 特征方程的根稱為特征根，記作v 齊次線性差分方程的通解 不相等實數(shù)根場合 有相等實根場合 復(fù)根場合p,21tpptttcccz2211tpptddtddtcctctccz111121)(tpptititttccececrz3321)(0.11ppp應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材8應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材9vAR（p）模型 ：vMA（q）模型：vA

4、RMA（p，q）模型：tptptttyyyy.2211qtqtttty.2211qtqtttptptttyyyy.22112211應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材10二、自回歸模型v一階自回歸模型一階自回歸模型AR（1） 0102030405060708090100-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52tttyy12 . 0應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材11應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材12v AR（1）模型的特例）模型的特例隨機(jī)游動隨機(jī)游動 tttyy12, 0WNt0102030405060708090100-12-10-8-6-4-2024應(yīng)用時間

5、序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材13隨機(jī)游動模型有以下特征：v1）模型有非常強(qiáng)的一期記憶性。v2）系統(tǒng)的一步超前預(yù)測 。v3）與AR（1）模型類似，隨機(jī)游動模型可以寫成 ，可以看出噪聲對yt的影響并不隨著時間的推移而減弱。0iitty1)1(1ttyy應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材14v 一般自回歸模型一般自回歸模型tptptttyyyy.2211模型的特點(diǎn)有：應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材15三、 移動平均模型v一階滑動平均模型一階滑動平均模型MA（1）v用用MA（1）模型作預(yù)測，那么得到的預(yù)測值僅僅）模型作預(yù)測，那么得到的預(yù)測值僅僅取決于上期系統(tǒng)的隨機(jī)擾動項。取決于上期

6、系統(tǒng)的隨機(jī)擾動項。 11ttty應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材16q階滑動平均模型MA（q） v有限個白噪聲的和總是平穩(wěn)的，因此通常MA（q）模型是平穩(wěn)的。v如果對該模型作向前一步預(yù)測，則有 qtqtttty.2211qiitity1)1(1應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材17四、自回歸移動平均模型qtqtttptptttyyyy.22112211 ttByB qqppBBBBBB.1,.111應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材18應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材19v當(dāng)q=0時，ARMA（p，0）模型就是AR（p）模型，當(dāng)p=0時，ARMA（0，q）模型就是M

7、A（q）模型，因此自回歸模型和移動平均模型都是ARMA（p，q）模型的特例 。應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材20第二節(jié) 格林函數(shù)和平穩(wěn)性v一、一、ARMA（p，q）的格林函數(shù)）的格林函數(shù)v（一）（一）ARMA（p，0）系統(tǒng)的格林函數(shù)）系統(tǒng)的格林函數(shù)v 若一個系統(tǒng)被表示為若一個系統(tǒng)被表示為yt= ，則系數(shù)，則系數(shù)函數(shù)稱為格林函數(shù)或記憶函數(shù)。函數(shù)稱為格林函數(shù)或記憶函數(shù)。 0jjtjG應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材21 MA（q）過程格林函數(shù)為 .1*ijjiijGG10GqjqjjGjj0101pipiiii0101*AR(P)AR（P）過程格林函數(shù)為應(yīng)用時間序列分析”十一五“

8、國家級規(guī)劃教材22ARMA（p，q）的格林函數(shù)qjGqjGGijjijijjijjj,1,1*1*pipiiji0101*qjqjjj01*應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材23例例2 求模型求模型 的格林函數(shù)的格林函數(shù)v 對比等式左右兩邊有v 因此模型的格林函數(shù) 113 . 02 . 0ttttyyBBGBjjj3 . 012 . 010.2 . 002 . 0.04. 002 . 02 . 002 . 01 . 03 . 02 . 01113232121010iiiiGGGGGGGGGGGGGG12 . 0001jjGjj應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材24應(yīng)用時間序列分析”

9、十一五“國家級規(guī)劃教材25二、系統(tǒng)的平穩(wěn)性v （一）（一）AR(p)系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件外的根全在單位圓 0)(:,.,21)(Bpp平穩(wěn)域：應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材26例例3 求一階自回歸模型求一階自回歸模型 的平穩(wěn)域的平穩(wěn)域v解：tttyy1101)(1BB即平穩(wěn)域為： 11:111 應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材27例例4 求二階自回歸模型求二階自回歸模型 的平穩(wěn)域的平穩(wěn)域v解： 特征方程v需滿足：v即：ttttyyy2211021201101121211010122121應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材28 (二) ARMA(p,q)系統(tǒng)的

10、平穩(wěn)性條件vARMA模型平穩(wěn)性完全取決于模型中的AR部分，如果模型中的AR部分是平穩(wěn)的，則ARMA模型是平穩(wěn)的。應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材29 第三節(jié)第三節(jié) 逆函數(shù)和可逆性v一、一、MA（q）模型的可逆域）模型的可逆域v逆函數(shù)形式逆函數(shù)形式:vI（B）稱為逆函數(shù)）稱為逆函數(shù)01jjtjjjtjttyIyIy應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材30應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材31例例5 判斷判斷MA（2） 模型模型 是否可逆是否可逆v 解：特征方程，v 可逆域為：v 滿足可逆條件，因此可逆。214 . 02 . 0tttty04 . 02 . 02vv112124

11、. 0, 2 . 021應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材32二、MA（q）模型的逆函數(shù)1,.,2 , 1,01*IjIIijjiijqiqiiii0101*應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材33例例6 求模型求模型 的逆函數(shù)的逆函數(shù)v解：214 . 02 . 0ttttytjjtjyyIBB024 . 02 . 0108. 04 . 02 . 04 . 02 . 02 . 004 . 02 . 036. 04 . 02 . 004 . 02 . 02 . 002 . 0123123220121010IIIIIIIIIIII10I,.2 , 1,4 . 02 . 021jIIIjj

12、j應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材34三、ARMA（p，q）的可逆域與逆函數(shù)pjIpjIIijjijijjijjj,1,1*1*qjqjjj01*應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材35第四節(jié) 平穩(wěn)時間序列的統(tǒng)計特征v一、自相關(guān)函數(shù)一、自相關(guān)函數(shù)),cov(kttkyy kttkttkyDyDyy),cov(0kk應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材36pkpkk11kppkkkfcfcfc2211應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材37tttyy18 . 0應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材38tttyy應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材39v（二）（二） M

13、A（q）的自相關(guān)函數(shù)）的自相關(guān)函數(shù)qkqkqqkqkkk00.1.221110應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材40212 . 06 . 0tttty應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材41二、偏相關(guān)函數(shù) 2ttt kt kkkt kt kE yyyyE yy應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材42應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材43Yule-Wolker方程：方程：pppppppppppp3213213213122111211111應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材44偏相關(guān)函數(shù)：偏相關(guān)函數(shù)：pppppppkkkkk32113213122111213211111應(yīng)用時間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教材45本章小結(jié)v1AR模型、MA模型和ARMA模型是三種基本的線性時間序列模型，能夠用有限的參數(shù)刻畫系統(tǒng)的動態(tài)性。這三種模型屬于隨機(jī)差分方程，因此特征方程對研究三類模型的統(tǒng)計特性具有重要意義。v2AR模型的逆函數(shù)表示是指用無限階的MA模型來表示有限階的AR模型，格林函數(shù)就是無限階MA模型的系數(shù)。AR模型平穩(wěn)性條件是 的根在單位圓外或者特征方程的根在單位內(nèi)，滿足這個范圍的自回歸系數(shù)區(qū)域構(gòu)成平穩(wěn)域。v3將有限階MA模型表示為無限