方向?qū)?shù)、偏導(dǎo)數(shù)與全微分課件

1、 7.3 方向?qū)?shù)、偏導(dǎo)數(shù)與全微分一、方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)二、三、梯 度一、方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù), )1(,222121 vvxOyvvv平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)單單位位向向量量是是設(shè)設(shè), ),(),(000yxPlvyxP上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)的的直直線線平平行行且且與與方方向向在在經(jīng)經(jīng)過過點(diǎn)點(diǎn), ,000yyxxPP 則則有有向向量量,0vPP平行于平行于且且,R0tvPPt 使使得得從從而而必必存存在在,20102010 tvyytvxxtvyytvxx或或?qū)憣懗沙杉醇?的參數(shù)方程的參數(shù)方程直線直線 l.),(),(,),(2010的的一一元元函函數(shù)數(shù)就就變變成成了了變變量量二二元元函函數(shù)數(shù)變變動(dòng)

2、動(dòng)時(shí)時(shí)沿沿著著直直線線當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)ttvytvxfyxflyxP , ),()(2010tvytvxftg 令令. ),()0(00yxfg 則則tgtgtgtt)0()(limdd00 如如果果導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),),(),(lim0020100存存在在tyxftvytvxft ,),(),(000的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)向向處處沿沿方方在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱此此導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)值值為為函函數(shù)數(shù)vyxPyxf.),(000yxPvfvf 或或記記為為例例1解解.014, 3)21(,),(22的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)，與與方方向向沿沿方方向向，函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)分分別別計(jì)計(jì)算算此此設(shè)設(shè)二二元元函函數(shù)數(shù) uwyxyxftttvft

3、2lim202,1 ）（從從而而,54,53, wwvw得得單單位位向向量量單單位位化化將將向向量量),(),(002010yxftvytvxf 則則)2, 1(542,531fttf ,22tt .2 tttt2lim20 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)為為沿沿方方向向可可求求得得在在點(diǎn)點(diǎn)類類似似地地u)2, 1(,tftfuft)2, 1()2,1(lim0)2, 1( .2 定義定義7.4,),(,),(),(),(),(0000000的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)和關(guān)于關(guān)于關(guān)于分別稱為分別稱為則他們則他們存在存在和和若方向?qū)?shù)若方向?qū)?shù)內(nèi)有定義內(nèi)有定義的某鄰域的某鄰域在在設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元

4、函數(shù)yxyxfjfifyxPyxfzyxyx . ),(),(),(),(,00000000),(),(),(),(00000000yxzyxzyxfyxfyzxzyfxfyxyxyxyxyxyx 及及或或及及或或及及或或及及分別記為分別記為例例21)1, 1(e )1sin(dd yyyyyz解解1)1sin()1cos(e xxxx1)1, 1(e )1sin(dd xxxxxz1)1cos()1sin(e yyyy.)1,1(e)sin()1, 1()1, 1( yzxzyxzxy及及處偏導(dǎo)數(shù)處偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)求求,e1 .e1 例例3 解解.)0, 0()ln()2, 1()2, 1(y

5、xyxyzzzzyxxyxz 與與以及以及與與數(shù)數(shù)的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)求函數(shù)求函數(shù)xyyyxzyx 1可可得得看看作作常常數(shù)數(shù)將將時(shí)時(shí)求求,yzx xyxy11 ;3)2,1( xz從從而而可可得得看看作作常常數(shù)數(shù)將將時(shí)時(shí)求求類類似似地地,xzy yxxzyy1ln .21)2, 1( yz從從而而解解例例4 .)ecos(22的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求三三元元函函數(shù)數(shù)zyxu xyxxuz2)esin(22 得得看作常數(shù)看作常數(shù)和和把把,zy),esin(222zyxx )2()esin(22yyxyuz 得得看作常數(shù)看作常數(shù)和和把把,zx),esin(222zyxy )e()esin(22zzyxzu

6、得得看看作作常常數(shù)數(shù)和和把把,yx. )esin(e22zzyx . ),(:),(0000軸軸的的斜斜率率對(duì)對(duì)處處的的切切線線在在點(diǎn)點(diǎn)曲曲線線xMyyyxfzyxfx . ),(:),(0000軸的斜率軸的斜率處的切線對(duì)處的切線對(duì)在點(diǎn)在點(diǎn)曲線曲線yMxxyxfzyxfy 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義0 x0yO例例5 5 解解.)0, 0(0, 00,),(222222關(guān)關(guān)系系點(diǎn)點(diǎn)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)與與連連續(xù)續(xù)性性的的在在討討論論函函數(shù)數(shù) yxyxyxxyyxf由偏導(dǎo)數(shù)的定義知道由偏導(dǎo)數(shù)的定義知道0)0, 0(), 0(lim)0, 0(0 yfyffyy0)0 , 0()0 ,(lim)

7、0, 0(0 xfxffxx.)0, 0(),(,72 . 7不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)知知道道例例但但由由yxf,)0, 0(),(的偏導(dǎo)數(shù)都存在的偏導(dǎo)數(shù)都存在在點(diǎn)在點(diǎn)從而從而yxf性質(zhì)性質(zhì)7.3.)() ),(),(,)(),(),(000000連續(xù)連續(xù)點(diǎn)點(diǎn)或或點(diǎn)點(diǎn)在在或或則則偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在的的或或處關(guān)于處關(guān)于在在設(shè)設(shè)yyxxyxfyxfyxyxyxfz 二、全微分定義定義7.5(*)( oyBxA 改改變變量量可可以以表表示示成成的的如如果果和和一一個(gè)個(gè)改改變變量量給給有有定定義義的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)在在設(shè)設(shè)zyxyxyxPyxfz,),(),(00000 ),(),(000

8、0yxfyyxxfz ,)0, 0(),()(,),(, ),(,22000的高階無窮小量的高階無窮小量時(shí)時(shí)表示表示無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)有關(guān)、與有關(guān)、與是只與是只與其中其中 yxoyxyxyxfyxPBA)57(d),(00 yBxAzyx即即或或,dd),(),(0000yxyxfz記記為為處處的的全全微微分分在在為為且且稱稱處處可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱,),(),(,),(),(000000yxPyxfyBxAyxPyxf )47(d),(00 yBxAzyx從從而而得得到到近近似似公公式式的的主主部部是是很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),d,),(00zyBxAzyxyx ),(),(0000yxfyy

9、xxfz .),(,),(內(nèi)內(nèi)的的可可微微函函數(shù)數(shù)是是稱稱內(nèi)內(nèi)處處處處可可微微時(shí)時(shí)在在區(qū)區(qū)域域當(dāng)當(dāng)DyxfDyxf定理定理7.1則則處處可可微微在在若若,),(),(000yxPyxfz ),(, ),(,(*),),()1(00000yxfByxfABAPyxfyx 分分別別為為中中的的式式且且處處的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在在在點(diǎn)點(diǎn))67(),(),(,)1(,),(),()2(200100),(2221210000 vyxfvyxfvfvvvvvyxyxfyxyx且且的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)存存在在處處沿沿任任意意方方向向在在點(diǎn)點(diǎn))(),(),(0000 xoxAyxfyxxfz 由此即得由

10、此即得Axzx 0lim. ),(00yxfAx 因因此此. ),(00yxfBy 同理可證同理可證),(),()1()2(0000yxfyyxxfz 可得可得由由)(),(),(0000 oyyxfxyxfyx 證明證明 ,(*),),(),()1(00式式成成立立有有可可微微時(shí)時(shí)在在點(diǎn)點(diǎn)當(dāng)當(dāng)yxyxf,0 xy 得得在在其其中中令令tyxftvytvxfvftyx),(),(lim0020100),(00 ttotvyxftvyxfyxt)(),(),(lim2001000 .1 . 7證證畢畢定定理理200100),(),(vyxfvyxfyx ,21ttvytvx 則則令令上的變化率為

11、上的變化率為在方向在方向,),(21vvvyxfz ,),(內(nèi)處處可微時(shí)內(nèi)處處可微時(shí)在區(qū)域在區(qū)域當(dāng)當(dāng)Dyxfz 內(nèi)內(nèi)的的全全微微分分函函數(shù)數(shù)為為在在則則Dyxfz),( )77(d),(d),(d yyxfxyxfzyx它它的的全全微微分分公公式式為為元元函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì), ),(21nxxxfun )87(dddd2121 nxxxxfxfxfun可寫成可寫成則全微分則全微分處可微處可微在點(diǎn)在點(diǎn)若若,),(),(000yxPyxfz yyxfxyxfzyxyxd),(d),(d0000),(00 二元函數(shù)的可微性、偏導(dǎo)數(shù)存在及連續(xù)性之間二元函數(shù)的可微性、偏導(dǎo)數(shù)存在及連續(xù)性之間的關(guān)系為的關(guān)系為偏導(dǎo)

12、數(shù)存在且連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)可微可微連續(xù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在定理定理7.2.),(),(,),(),(, ),(),(000000處可微處可微在點(diǎn)在點(diǎn)則則連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)若若yxPyxfzyxPyxfyxfyxfzyx 例例6求下列函數(shù)的全微分：求下列函數(shù)的全微分：;)1(33yxxyz .)2()2(zyxu 解解因此因此yzxzzyxddd ,323yxyzx .,)1(yxzz 先求先求.332xxyzy .d)3(d)3(3223yxxyxyxy 因此因此.,)2(zyxuuu 先先求求,)2(1 zxyxzu,)2(21 zyyxzu),2ln()2(yxyxuz

13、z zuyuxuuzyxdddd .d)2lnd22d2)2( zyxyyxzxyxzyxz（定義定義7.6),(, ),(grad000000yxfyxfffyxpp 三、梯度即即或或或或記為記為處的梯度處的梯度在點(diǎn)在點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱向量則稱向量和和數(shù)數(shù)導(dǎo)導(dǎo)處存在偏處存在偏在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)設(shè), )grad,(grad,),(),(, ),(, ),(),(),(),(00000000ppppyxyxzzffPyxfyxfyxfyxfyxfyxPyxfz . )(),(),(, ),(,),(函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)的的梯梯度度在在為為則則稱稱內(nèi)內(nèi)處處處處存存在在偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)域域若若Dyxfyxfyx

14、ffDyxfyx 22),(),(,yxfyxfffyx 其其長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為是是一一個(gè)個(gè)向向量量梯梯度度.,0的方向?yàn)樘荻确较虻姆较驗(yàn)樘荻确较蚍Q稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ff ,),(),(000處可微處可微在在設(shè)設(shè)yxPyxfz ,)1(,21是任一給定的方向是任一給定的方向 vvvv)97(cos0 pf200100),(),(0vyxfvyxfvfyxp 的的標(biāo)標(biāo)量量積積形形式式與與寫寫成成梯梯度度可可將將方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)vfvfPP00 vfp 0.之間的夾角之間的夾角表示梯度與表示梯度與其中其中v 性質(zhì)性質(zhì)7.4梯度的幾何意義：梯度的幾何意義：梯度方向是函數(shù)變化率最大的方向梯度方向是函數(shù)變化率最大的方

15、向.,),(),(,),(),(0000000pfyxPyxfyxPyxfz 并且等于梯度的長(zhǎng)并且等于梯度的長(zhǎng)方向的方向?qū)?shù)最大方向的方向?qū)?shù)最大沿梯度沿梯度點(diǎn)的所有方向?qū)?shù)中點(diǎn)的所有方向?qū)?shù)中在在則則處可微處可微在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)設(shè)例例7解解由于沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大，由于沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大，., )ln()2(;,)1(,)1, 1(),(,),()1(222212uuzyxuvvvvyxfxyyxf 及及求求設(shè)設(shè)大大值值方方向向的的單單位位向向量量導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的最最大大值值和和取取得得最最并并指指出出方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)任任意意方方向向處處沿沿在在點(diǎn)點(diǎn)求求設(shè)設(shè),2),(,),()1(2xyyxfyyxfyx 由由于于21)1, 1()1,1()1,1(vfvfvfyx 212vv 且最大方向?qū)?shù)為梯度