極限的存在性定理(2)課件

1、第五節(jié)第五節(jié) 極限的存在性定理極限的存在性定理單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限.例例1求數(shù)列求數(shù)列,333,33,3的極限的極限.解解(1)存在性存在性令令,333,33,3321 yyy)a單調(diào)性單調(diào)性1 n時(shí)時(shí)13 33 333 3 21yy 設(shè)設(shè)kn 時(shí)時(shí)1 kkyy1 kn時(shí)時(shí)1 kkyy133 kkyy21 kkyy故對一切正整數(shù)故對一切正整數(shù)n有有,1 nnyy所以數(shù)列遞增所以數(shù)列遞增.有界性有界性)b1 n時(shí)時(shí)331 ykn 時(shí)時(shí)設(shè)設(shè)3 ky1 kn時(shí)時(shí)233 ky3 ky33 ky31 ky故對一切正整數(shù)故對一切正整數(shù)n有有3 ny,所以所以 數(shù)列有界數(shù)列有界.綜上所述

2、綜上所述, 數(shù)列極限存在數(shù)列極限存在.(2)求值求值設(shè)設(shè)Aynn lim將將13 nnyy兩邊求極限兩邊求極限得得1lim3lim nnnnyy即即AA3 故故3.A 例例2 設(shè)設(shè)1,12, 211 nxxxnn,求求.limnnx 解解(1)求值求值設(shè)設(shè)Axnn limnnnnxx lim12lim1則則即即AA12 故故21 A因因2 nx.21 A(2)存在性存在性對對, 0 要使要使Axn )12()12(1Axn Axn111 11 nnAxAx41Axn 224Axn 114 nAx 1412 n只需只需112log4 n故極限存在故極限存在.取取112log4 N求數(shù)列極限求數(shù)列

3、極限:1.先按先按單調(diào)有界單調(diào)有界證極限存在性再按證極限存在性再按遞推公式遞推公式求求極限值極限值,本方法一般適用于數(shù)列詳細(xì)給出的本方法一般適用于數(shù)列詳細(xì)給出的2.先按先按遞推公式遞推公式求極限值再按求極限值再按精確性定義精確性定義驗(yàn)證驗(yàn)證給出的情況給出的情況.情況情況.極限存在性極限存在性,本方法一般適用于數(shù)列遞推公式本方法一般適用于數(shù)列遞推公式如果數(shù)列如果數(shù)列 nnnzyx,滿足下列條件滿足下列條件(1)從某項(xiàng)開始有從某項(xiàng)開始有nnnzyx (2) nnxlimAznn lim則則數(shù)列數(shù)列 ny極限存在極限存在,并且并且Aynn lim由已知由已知, 對對0 ZN,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn , Axn

4、 Aznnnnzyx 同時(shí)成立同時(shí)成立證證nnnxyz 所以所以 Ayn成立成立因此因此.limAynn 注注 (1)此定理稱為兩邊夾法則或夾逼定理此定理稱為兩邊夾法則或夾逼定理.(2)不等式兩邊極限必須存在且相等不等式兩邊極限必須存在且相等.(3)此定理對一般函數(shù)極限仍然成立此定理對一般函數(shù)極限仍然成立.此時(shí)此時(shí)A A 補(bǔ)充補(bǔ)充 (00年考研真題年考研真題3分分)設(shè)對任意的設(shè)對任意的, x總有總有),()()(xgxfx 且且, 0)()(lim xxgx 則則)(limxfx )(A)(B)(C)(D存在且等于零存在且等于零存在但不一定等于零存在但不一定等于零一定不存在一定不存在不一定存在不一定存在.答案答案 ).(D例例3 求求).12111(lim222nnnnn 解解nnnn 22212111nnn 212 nn1lim2 nnnn11lim2 nnn 因?yàn)橐驗(yàn)榍仪宜运栽皆? 1例例4求求.)54321(lim1nnnnnnn 解解因?yàn)橐驗(yàn)閚nnnnn1)54321( nn1)5(nn1)55( 5n155 且且55lim n5)55(lim1 nn 所以所以原式原式. 5常見的建立不等式的方法常見的建立不等式的方法(1)分母變大分?jǐn)?shù)值變小分母變大分?jǐn)?shù)值變小,分母變小分母變小分?jǐn)?shù)值變大分?jǐn)?shù)值變大.(2