第3章制系統(tǒng)建模

1、第3章 控制系統(tǒng)建模第第3章章 控制系統(tǒng)建?？刂葡到y(tǒng)建模 3.1 簡單機(jī)械系統(tǒng)的建模簡單機(jī)械系統(tǒng)的建模3.2 簡單流體系統(tǒng)的建模簡單流體系統(tǒng)的建模3.3 永磁體直流電機(jī)的建模永磁體直流電機(jī)的建模3.4 光源跟蹤伺服系統(tǒng)的建模與系統(tǒng)分析光源跟蹤伺服系統(tǒng)的建模與系統(tǒng)分析第3章 控制系統(tǒng)建模3.1 簡單機(jī)械系統(tǒng)的建模簡單機(jī)械系統(tǒng)的建模 3.1.1 彈簧振動(dòng)系統(tǒng)的建模 考慮圖2.1所示的簡單機(jī)械系統(tǒng)。 選擇垂直向下的方向?yàn)檎较?根據(jù)系統(tǒng)力平衡關(guān)系可以得到 mg-ks0=0 (3.1) 如果系統(tǒng)受到正方向的外力,則力平衡方程變成 202( )( )( )dfmy tmgksky tf tdt(3.2)

2、第3章 控制系統(tǒng)建模 圖3.1 彈簧振動(dòng)系統(tǒng)的示意圖第3章 控制系統(tǒng)建模 其中,y(t)是距離平衡點(diǎn)的偏移距離。以上是非阻尼條件下的系統(tǒng)方程?，F(xiàn)在,假設(shè)系統(tǒng)浸入到一種粘性物質(zhì)中,則系統(tǒng)將受到與其瞬時(shí)速度方向相反的阻尼力的作用。當(dāng)系統(tǒng)以較慢速度運(yùn)動(dòng)時(shí),系統(tǒng)受到的阻尼力與其運(yùn)動(dòng)的速度成正比,而方向相反。 假設(shè)這時(shí)的阻尼系數(shù)為常數(shù)c,整個(gè)系統(tǒng)的平衡方程為20222( )( )( )( )( )( )( )( )ddfmy tmgksky tcy tf tdtdtddmy tcy tky tf tdtdt(3.3) 第3章 控制系統(tǒng)建模 3.1.2 摩托車緩沖系統(tǒng)的建模 考慮圖3.2所示的摩托車示意圖

3、。設(shè)計(jì)摩托車緩沖系統(tǒng)的目的是減小車輛在崎嶇道路上行駛時(shí)產(chǎn)生的震動(dòng)。道路表面的不平坦會(huì)引起摩托車沿垂直方向的移動(dòng)和沿某個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。忽略輪胎的質(zhì)量,這樣整個(gè)系統(tǒng)由車架和駕駛員組成。 第3章 控制系統(tǒng)建模 圖3.2 摩托車系統(tǒng)示意圖 第3章 控制系統(tǒng)建模 摩托車緩沖系統(tǒng)的力平衡示意圖如圖3.3所示。 我們將整個(gè)系統(tǒng)的質(zhì)量中心作為坐標(biāo)的原點(diǎn),因此系統(tǒng)在不平道路上的振動(dòng)運(yùn)動(dòng)可以看作是質(zhì)心的沿垂直方向的平移運(yùn)動(dòng)以及沿質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。摩托車架以及駕駛員可以整個(gè)視作質(zhì)量為m,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為j的剛體。輸入車輪的位置信息ya、yb表明路況信息。假設(shè)每個(gè)車軸的緩沖系統(tǒng)由具有阻尼特性的彈簧構(gòu)成。因此,每個(gè)車輪受到的外力為

4、彈簧彈力與阻尼力之和,即()( )()( )()( )()( )aaaaaaabbbbbbbdfaky tc skysdtdfaky tc sky sdt (3.4)第3章 控制系統(tǒng)建模圖3.3 摩托車緩沖系統(tǒng)的力平衡示意圖第3章 控制系統(tǒng)建模 ya和yb分別表示每個(gè)彈簧距離參考位置的瞬時(shí)距離。 用y(t)和(t)分別表示系統(tǒng)質(zhì)心的平移位移和沿質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)角度。對(duì)于單個(gè)彈簧有()()aaabbbyylyyyly(3.5) 上式中假定在很小的角度位置條件下滿足sin=,并且取逆時(shí)針的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)檎较?，如圖3.4所示。第3章 控制系統(tǒng)建模圖3.4 摩托車緩沖系統(tǒng)垂直位置與旋轉(zhuǎn)角度的幾何分析第3章 控

5、制系統(tǒng)建模將式（3.5）代入式（3.4）中,得到 fa=(cas+ka)ya-(y-la) fb=(cbs+kb)yb-(y+lb) (3.6) 或者定義za=cas+ka,zb=cbs+kb,得到 fa=zaya-(y-la) fb=zbyb-(y+lb) (3.7)第3章 控制系統(tǒng)建模 或者 ms2y=zaya-(y-la)+zbyb-(y+lb) 整理后得到 (ms2+za+zb)y-(zala-zblb)=zaya+zbyb (3.9)最后根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律,有22abdmyffdt第3章 控制系統(tǒng)建模 上式給出了摩托車緩沖系統(tǒng)的力平衡方程,同時(shí)假定車架和駕駛員在初始位置沒有垂直方向

6、上的速度（y0=0,dy/dt|0=0）。 如果對(duì)上述系統(tǒng)建立關(guān)于質(zhì)心位置的力矩平衡方程,可以得到另一個(gè)系統(tǒng)方程，即 22coscos(0,cos1)bbaabbaadjf lf lf lf ldt(3.10) 或者 js2=zblbyb-(y+lb)-zala ya-(y-la)第3章 控制系統(tǒng)建模 (js2+zal2a+zbl2b)-(zala-zblb)y =-zalaya+zblbyb (3.11) 再次假定初始條件為零(0=0，d/dt|0=0)，最后將力和力矩平衡方程寫成矩陣形式 整理得2222()()()()aababaabbaabbbaabbaabbyzzymszzz lz l

7、z lz lyz lz ljsz lz l (3.12) 第3章 控制系統(tǒng)建模 寫成簡化形式 1112111221222122abyaabbyaabby (3.13) 用aij和bij可以表示y和為111212112122212211ababyb yb yaab yb yaa(3.14) 最終系統(tǒng)模型可以用如圖3.5所示的框圖表示。第3章 控制系統(tǒng)建模圖3.5 摩托車緩沖系統(tǒng)的方框圖 第3章 控制系統(tǒng)建模 以上系統(tǒng)中假定ya和yb是系統(tǒng)兩個(gè)相互獨(dú)立的輸入變量,但實(shí)際上,后輪與前輪的位置信號(hào)相差t=l/v時(shí)間。這樣,實(shí)際系統(tǒng)滿足yb(t)=ya(t-t)。 如果定義系統(tǒng)狀態(tài)分別為y、dy/dt和

8、d/dt,還可以計(jì)算出系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述。另外一種得到整個(gè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的方法是通過模型方框圖進(jìn)行計(jì)算。然后，在此基礎(chǔ)上可以對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域和頻域的仿真,具體計(jì)算過程留給讀者練習(xí)。第3章 控制系統(tǒng)建模3.2 簡單流體系統(tǒng)的建模簡單流體系統(tǒng)的建模 3.2.1 單個(gè)蓄水槽的動(dòng)態(tài)模型 考慮圖3.6所示的單個(gè)蓄水槽模型,其槽底的液體流出速度是由槽內(nèi)的液壓決定的。 各部分的含義為： a蓄水槽的表面區(qū)域； v水槽的容積；ae水槽出口處的連通部分； p1槽底的液壓。第3章 控制系統(tǒng)建模 圖3.6 單個(gè)蓄水槽模型 第3章 控制系統(tǒng)建模 液體的輸出壓強(qiáng)為pa,輸出液體的速率作為系統(tǒng)的輸入。系統(tǒng)的狀態(tài)變量包括槽內(nèi)液

9、體的高度,其系統(tǒng)輸出為液體流出的速率we。根據(jù)系統(tǒng)的物質(zhì)平衡,可得到iedmdt(3.15) 假設(shè)蓄水槽的四周壁是垂直的,槽內(nèi)液體的質(zhì)量是液體的密度乘以液體的體積，有ddddmahahahdtdtdtdtmah(3.16) (3.17) 第3章 控制系統(tǒng)建模輸出液體的質(zhì)量可以寫成輸出速率的函數(shù)eeea(3.18) 根據(jù)出口處的能量平衡（w=w1=w2）,可以得到2212121212()()()()02uug zzpp(3.19) 假定整個(gè)系統(tǒng)不存在能量或物質(zhì)的滯留,并且忽略內(nèi)部能量的變化（u1=u2,z1=z2）,則根據(jù)能量守恒原理得到11221222()()2eaapppghpgh(3.20

10、)第3章 控制系統(tǒng)建模 顯然該系統(tǒng)的狀態(tài)方程是一階非線性的,槽內(nèi)液體質(zhì)量的瞬時(shí)變化等于輸入的液體速率減去輸出的液體速率,槽內(nèi)的液體質(zhì)量和輸出液體的速率都視作t時(shí)刻液體高度的函數(shù)。 下面來定義液體的阻力作用,它的作用與電路中的電阻作用類似：綜合上面的方程得出 2eidahaghdt (3.21)( )2eeeehhr haagh(3.22) 第3章 控制系統(tǒng)建模 與此類似,還可以定義該系統(tǒng)的電容效應(yīng),它反映了蓄水槽存儲(chǔ)液體容量的變化。ahcah(3.23) 將式（3.22）和式（3.23）代入式（3.21）,得到1( )( )( )dcx tx tu tdtr (3.24) 或者 11( )(

11、)( )dx tx tu tdtrcc (3.25) 第3章 控制系統(tǒng)建模 該非線性系統(tǒng)也可以線性化并寫成標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程形式。定義系統(tǒng)的參考位置 h(t)=h0(t)+h(t) (3.26) wi(t)=wi0(t)+wi(t) (3.27)系統(tǒng)方程（3.21）可以寫成00000( , )(, )(, )(, )iiihihdhf h tdtaddhhf h tf h thdtdthaadhf h thdtha(3.28) 第3章 控制系統(tǒng)建模參考位置處的系統(tǒng)jacobian矩陣為00120( )21( )(2)22eeehhaf hghaaagf hghhaagh (3.29) (3.30)

12、 最后將式（3.30）代入式（3.28），得到 01211( )( )( )eidaghhdtaaghdx tx tu tdtrcc (3.31) (3.32) 第3章 控制系統(tǒng)建模圖3.7 單個(gè)蓄水槽的時(shí)域特性 第3章 控制系統(tǒng)建模圖3.8 系統(tǒng)線性化模型的bode圖 第3章 控制系統(tǒng)建模圖3.9 線性化模型的其它頻域特性 (nyquist曲線和nichols圖)第3章 控制系統(tǒng)建模其相關(guān)的程序包括： tankcs1.m：仿真程序tank1l.m：系統(tǒng)線性化模型描述tank1nl.m：非線性系統(tǒng)模型描述程序代碼如下：% tank1l.m 單個(gè)蓄水槽的線性化模型 functionxdot=ta

13、nk1l(t,x) globalc1lc2l xdot=c1l*x+c2l;第3章 控制系統(tǒng)建模% tankcs1.m 單個(gè)蓄水槽動(dòng)態(tài)特性的仿真程序 clearall, closeall, nfig=0;% 定義ode求解器中使用的全局變量 globalc1nlc1lc2nlc2l% 定義相關(guān)參數(shù) too=0; tff=25; %仿真計(jì)算的啟動(dòng)和結(jié)束時(shí)間(min) rho=62.4; %水的密度(lbm/ft3) g=1.1592e5; %重力加速度常數(shù)(ft/min2) wio=1900; %參考位置的入口處液體流速(lbm/min) ho=10; %參考位置處的液位高度(ft) a=5;

14、%槽底的表面積(ft2) ae=.02; %出水管的表面積(ft2)第3章 控制系統(tǒng)建模% deltainput dw1=0.1*wio; %10%的變化 dw2=0.5*wio; %50%的變化% 非線性系數(shù) c1nl=-ae*sqrt(2*g)/a; % 線性模型系數(shù) r=sqrt(2*g*ho)/(rho*g*ae); c=rho*a; c1l=-1/(r*c); % 非線性仿真 - 脈沖&階躍響應(yīng)1 y1o=ho+dw1/c; c2nl=wio/c; 第3章 控制系統(tǒng)建模t1i,y1i=ode23(tank1nl,too,tff,y1o); y1o=ho; c2nl=(wio+

15、dw1)/c; t1s,y1s=ode23(tank1nl,too,tff,y1o);% 線性仿真 - 脈沖&階躍響應(yīng)1 y1o=dw1/c; c2l=0; t2i,y2i=ode23(tank1l,too,tff,y1o); y2i=ho+y2i; y1o=0; c2l=dw1/c; t2s,y2s=ode23(tank1l,too,tff,y1o); y2s=ho+y2s;第3章 控制系統(tǒng)建模% 繪制結(jié)果1 nfig=nfig+1; figure(nfig) subplot(2,2,1),plot(t1i,y1i,r,t2i,y2i,g:),grid title(impulsere

16、sponse(10%); xlabel(time(min),ylabel(height(ft); legend(nl,l); subplot(2,2,2),plot(t1s,y1s,r,t2s,y2s,g:),grid title(stepresponse(10%); xlabel(time(min),ylabel(height(ft); legend(nl,l); 第3章 控制系統(tǒng)建模% 非線性仿真 - 脈沖&階躍響應(yīng)2 y1o=ho+dw2/c; c2nl=wio/c; t1i,y1i=ode23(tank1nl,too,tff,y1o); y1o=ho; c2nl=(wio+dw

17、2)/c; t1s,y1s=ode23(tank1nl,too,tff,y1o);% 線性仿真 - 脈沖&階躍響應(yīng)2 y1o=dw2/c; c2l=0; t2i,y2i=ode23(tank1l,too,tff,y1o); y2i=ho+y2i; y1o=0; c2l=dw2/c; t2s,y2s=ode23(tank1l,too,tff,y1o); y2s=ho+y2s;第3章 控制系統(tǒng)建模% 繪制結(jié)果2 subplot(2,2,3),plot(t1i,y1i,r,t2i,y2i,g:),grid title(impulseresponse(50%); xlabel(time(min

18、),ylabel(height(ft); legend(nl,l); subplot(2,2,4),plot(t1s,y1s,r,t2s,y2s,g:),grid title(stepresponse(50%); xlabel(time(min),ylabel(height(ft); legend(nl,l);第3章 控制系統(tǒng)建模 % 線性化模型的頻域仿真 b=r; a=r*c1; sys1=tf(b,a); w=logspace(-2,2,200); %仿真的頻域范圍(rad/min) nfig=nfig+1; figure(nfig) bode(sys1,w),xlabel(frequen

19、cy(rads/min) nfig=nfig+1; figure(nfig) subplot(2,1,1),nichols(sys1,w) subplot(2,1,2),nyquist(sys1,w) re,im=nyquist(sys1,w); resys1(:,1)=re(1,1,:); imsys1(:,1)=im(1,1,:);第3章 控制系統(tǒng)建模 3.2.2 雙蓄水槽系統(tǒng)的模型建立 在實(shí)際系統(tǒng)中經(jīng)常存在互相連通的多個(gè)蓄水槽系統(tǒng),這使得系統(tǒng)呈現(xiàn)出更高階動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的特性。下面以雙連通的蓄水槽系統(tǒng)（如圖3.10所示）為對(duì)象,研究二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為。第3章 控制系統(tǒng)建模圖3.10 雙蓄水槽系統(tǒng)

20、結(jié)構(gòu)示意圖 第3章 控制系統(tǒng)建模 按照前一節(jié)對(duì)單個(gè)蓄水槽的分析,可以確定1號(hào)和2號(hào)蓄水槽的液體輸出流量分別為 1221222eehhhrr(3.33) 從而得到兩個(gè)蓄水槽的平衡方程為 121111222212idhhchdtrdhhhchdtrr(3.34) 第3章 控制系統(tǒng)建模 其中ci(i=1,2)的定義與單個(gè)蓄水槽系統(tǒng)相同。 將上面的結(jié)果寫成標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程形式,并且將液體的輸出流速作為系統(tǒng)輸出,則111111122121221222221111111()010iehrcrchdchhdtrcrrchhyhrr(3.35) 第3章 控制系統(tǒng)建模 上述方程中的h1、h2和wi實(shí)際上是相對(duì)于參

21、考位置的偏移量（即h1=h1等）。 為了創(chuàng)建系統(tǒng)的simulink方框圖,只要針對(duì)狀態(tài)方程中每個(gè)siso子系統(tǒng)繪制它的框圖（如圖3.11所示）,然后將它們連接起來即可。最后得到的仿真框圖如圖3.12所示。第3章 控制系統(tǒng)建模圖3.11 各個(gè)子系統(tǒng)的框圖 第3章 控制系統(tǒng)建模圖3.12 整個(gè)系統(tǒng)的框圖結(jié)構(gòu) 第3章 控制系統(tǒng)建模 整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以通過矩陣運(yùn)算或相關(guān)的模塊框圖計(jì)算得到12112222221111211111111( )( )()(111( )()()y shswyhhyrrc sr c s rh suwuhhc sc sr利用h2=r2y簡化上式,得到 12111( )1ury

22、rh src s第3章 控制系統(tǒng)建模 將上式代入式（3.36）,得22122222211( )11ryurry syyr c s r c sr c sr 整理后得到整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為22212221111( ) ( )()1y su sr c c sr cr crc s第3章 控制系統(tǒng)建模 圖3.13和3.14為該系統(tǒng)的脈沖和階躍響應(yīng)以及頻域響應(yīng)的部分仿真結(jié)果,相關(guān)程序文件為tankcs2.m。程序?qū)﹄p蓄水槽系統(tǒng)的兩種不同情況進(jìn)行了仿真。一種是對(duì)系統(tǒng)參考位置的動(dòng)態(tài)行為進(jìn)行了仿真,第二種情況則將1號(hào)槽的容積增加了4倍,這將導(dǎo)致系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)的增加,讀者可以從圖3.13中清楚地了解到這一點(diǎn)。第3章

23、 控制系統(tǒng)建模圖3.13 雙蓄水槽系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)第3章 控制系統(tǒng)建模圖3.14 雙蓄水槽系統(tǒng)的bode圖 第3章 控制系統(tǒng)建模以下是相關(guān)的程序代碼： % tankcs2.m 雙蓄水槽系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)仿真 clearall, closeall, nfig=0; too=0;tff=60;t=too:1:tff;t=t; %仿真的時(shí)間范圍(min) w=logspace(-3,2,100); %頻域仿真的頻率范圍(rad/min)第3章 控制系統(tǒng)建模% example1 wio=1500; %參考位置處液體入口的液體流量(lbm/min) dw=150; %輸入流量10%的變化(lbm/min) r1=

24、.01; %1號(hào)槽出口處的阻力常數(shù)(ft.min/lbm) r2=.01; %2號(hào)槽出口處的阻力常數(shù)(ft.min/lbm) c1=250; %1號(hào)槽出口處的電容效應(yīng)常數(shù)(lbm/ft) c2=250; %2號(hào)槽出口處的電容效應(yīng)常數(shù)(lbm/ft) h1=30; %參考位置時(shí)1號(hào)槽的液位高度(ft) h2=15; %參考位置時(shí)2號(hào)槽的液位高度(ft)第3章 控制系統(tǒng)建模% 創(chuàng)建狀態(tài)方程描述 a11=-1/(r1*c1); a12=-a11; a21=1/(r1*c2); a22=-(1/r1+1/r2)/c2; b1=1/c1; b2=0; cc1=0; cc2=1/r2; d=0; am1=

25、a11a12;a21a22; bv1=b1b2; cv1=cc1cc2; sys1=ss(am1,dw*bv1,cv1,d); % example2 c1=1000; %1號(hào)槽出口處的電容效應(yīng)常數(shù)(lbm/ft) c2=250; %2號(hào)槽出口處的電容效應(yīng)常數(shù)(lbm/ft)第3章 控制系統(tǒng)建模% 創(chuàng)建狀態(tài)方程描述 a11=-1/(r1*c1); a12=-a11; a21=1/(r1*c2); a22=-(1/r1+1/r2)/c2; b1=1/c1; b2=0; cc1=0; cc2=1/r2; d=0; am2=a11a12;a21a22; bv2=b1b2; cv2=cc1cc2; sy

26、s2=ss(am2,dw*bv2,cv2,d); 第3章 控制系統(tǒng)建模% 對(duì)上述兩個(gè)例子的脈沖和階躍響應(yīng)進(jìn)行仿真 yi1,t,xi1=impulse(sys1,t); ys1,t,xs1=step(sys1,t); yi2,t,xi2=impulse(sys2,t); ys2,t,xs2=step(sys2,t);% 時(shí)域仿真曲線 nfig=1; figure(nfig) subplot(2,2,1),plot(t,yi1,r),grid title(impulseresponse(v1=vr); xlabel(time(min),ylabel(delflow(lb/m); subplot(2

27、,2,2),plot(t,ys1,r),grid第3章 控制系統(tǒng)建模title(stepresponse(v1=vr); xlabel(time(min),ylabel(delflow(lb/m); subplot(2,2,3),plot(t,yi2,g),grid title(impulseresponse(v1=4*vr); xlabel(time(min),ylabel(delflow(lb/m); subplot(2,2,4),plot(t,ys2,g),grid title(stepresponse(v1=4*vr); xlabel(time(min),ylabel(delflow(

28、lb/m);第3章 控制系統(tǒng)建模% 上述兩個(gè)例子的bode圖 nfig=nfig+1; figure(nfig), bode(sys1,w); xlabel(frequency(rad/min) nfig=nfig+1; figure(nfig), bode(sys2,w); xlabel(frequency(rad/min)第3章 控制系統(tǒng)建模3.3 永磁體直流電機(jī)的建模永磁體直流電機(jī)的建模 3.3.1 物理描述 永磁體直流（dc）電機(jī)是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中經(jīng)常用到的設(shè)備。這一節(jié)將介紹如何對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的dc電機(jī)建模。在理解電機(jī)的工作原理之后,運(yùn)用狀態(tài)方程和laplace變換對(duì)電機(jī)進(jìn)行進(jìn)一步的分析,并將它運(yùn)用

29、到前一節(jié)的光源跟蹤伺服系統(tǒng)中。取定一組電機(jī)參數(shù)后,在matlab/simulink中分析該系統(tǒng)的基本時(shí)域特性。第3章 控制系統(tǒng)建模 永磁體直流（dc）電機(jī)是一個(gè)通過磁性耦合將電能轉(zhuǎn)化成機(jī)械能的裝置。其最基本的組成包括兩部分：轉(zhuǎn)子（或電樞）和定子。電樞將在電機(jī)的定子框架中旋轉(zhuǎn)。圖3.15是該電機(jī)的基本結(jié)構(gòu)示意圖。 電機(jī)定子是由永磁體構(gòu)成的,用來產(chǎn)生磁場(chǎng)。轉(zhuǎn)子是由繞在鐵芯上的電磁線圈構(gòu)成的。轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的電磁場(chǎng)與定子產(chǎn)生的永磁場(chǎng)相互作用,從而使轉(zhuǎn)子發(fā)生旋轉(zhuǎn)。電機(jī)的換向器是由安裝在轉(zhuǎn)子末端軸上的兩片半圓型金屬銅片構(gòu)成的,每個(gè)轉(zhuǎn)子繞組的末端都與其中的一片銅片相連。靜止的電刷緊貼換向器,為轉(zhuǎn)子繞組提供直流電

30、流。第3章 控制系統(tǒng)建模圖3.15 永磁體直流（dc）電機(jī)的基本結(jié)構(gòu)示意圖 第3章 控制系統(tǒng)建模 3.3.2 數(shù)學(xué)模型 圖3.16是dc電機(jī)的等效電路圖。其中,la和ra為轉(zhuǎn)子繞組的等效電感和等效電阻,vc是轉(zhuǎn)子繞組旋轉(zhuǎn)時(shí)切割永磁場(chǎng)的磁力線產(chǎn)生的內(nèi)部電壓（常稱為電動(dòng)勢(shì)）。 根據(jù)電路回路的電壓平衡關(guān)系,得到 0aralacraaalaaacvavvvvvi rdvlidtvk同時(shí) 第3章 控制系統(tǒng)建模圖3.16 dc電機(jī)的等效電路圖 第3章 控制系統(tǒng)建模 其中，kv是由永磁體的磁通密度、轉(zhuǎn)子繞組的數(shù)目以及鐵芯的物理性質(zhì)決定的速度常數(shù)。a是轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的角速度。 將上面的式子代入方程（3.38）中,得

31、到0aaaaavadvi rlikdt再根據(jù)電機(jī)的力矩平衡關(guān)系可以得到 0eltttt(3.39) (3.40) 第3章 控制系統(tǒng)建模 其中,te是電機(jī)的電磁力矩,t是驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子加速度運(yùn)動(dòng)的力矩,t是轉(zhuǎn)子速度產(chǎn)生的力矩,而tl則是電機(jī)的負(fù)載力矩。 我們知道,電機(jī)的電磁力矩與電流的大小成正比：et atk i 其中,kt是由永磁體的磁通密度、轉(zhuǎn)子繞組的數(shù)目以及鐵芯的物理性質(zhì)決定的力矩常數(shù)。t可以寫成adtjdt第3章 控制系統(tǒng)建模 j是轉(zhuǎn)子和電機(jī)負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。與轉(zhuǎn)動(dòng)速度相關(guān)聯(lián)的力矩為 atb b是整個(gè)機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的阻尼常數(shù)。將上面得到的關(guān)系代入式（3.40）,得0t aaaldk ijbtdt(

32、3.41) 第3章 控制系統(tǒng)建模 聯(lián)立式（3.39）和（3.41）,得到dc電機(jī)的完整描述：avaaaaaaalaaadrkviidtllldkbtidtjjj (3.42) (3.43) 第3章 控制系統(tǒng)建模 寫成狀態(tài)空間形式 1201010000100avaaaaaaataaalrkbiilllddtkbjjjivyyt(3.44) (3.45) 第3章 控制系統(tǒng)建模 下面計(jì)算該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。對(duì)式（3.42）和（3.43）進(jìn)行l(wèi)aplace變換,得到 1( )(0)( )( )( )1( )(0)( )( )( )avaaaaaaaataaaalrksisiissv slllkbssis

33、st sjjj 如果考慮穩(wěn)定狀態(tài)周圍的干擾,并且假設(shè)電機(jī)的初始條件為零，則所有的變量都是指距離參考狀態(tài)的偏移量,上述方程變成 ( )( )( )( )( )( )vaaaaatalaksv sisl srk ist ssjsb(3.48) (3.49) 第3章 控制系統(tǒng)建模 以上方程可以很容易寫成模塊框圖形式。由此得到的永磁體dc電機(jī)的框圖如圖3.17所示。 如果電機(jī)的負(fù)載為常數(shù),并且只需要輸出電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度,則圖3.17可以進(jìn)一步簡化成圖3.18所示的框圖,并由此得到整個(gè)電機(jī)的傳遞函數(shù)為2( )( )( )()taaaaatvaaaksl jg sr jl br bk kv sssl jl

34、 j(3.50)第3章 控制系統(tǒng)建模圖3.17 永磁體dc電機(jī)的模塊框圖 第3章 控制系統(tǒng)建模圖3.18 永磁體dc電機(jī)的簡化框圖 第3章 控制系統(tǒng)建模 3.3.3 仿真分析 按照?qǐng)D3.17和圖3.18可以在simulink中建立永磁體dc電機(jī)的仿真框圖（如圖3.19所示）,直接觀察系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)。 下面分別采用兩種方法來進(jìn)行dc電機(jī)的時(shí)域仿真。一種是直接使用式（3.50）所得到的整個(gè)電機(jī)的傳遞函數(shù)。另一種方法則是采用所建立的simulink仿真框圖。第3章 控制系統(tǒng)建模圖3.19 永磁體直流電機(jī)的simulink仿真框圖 (motorsl.mdl)第3章 控制系統(tǒng)建模相關(guān)的程序代碼如下：%

35、motortst.m 永磁體直流電機(jī)的時(shí)域動(dòng)態(tài)特性仿真程序 clearall, closeall% 各種參數(shù)定義 ra=1.75; la=2.83e-3; kv=0.093; kt=0.0924; jeq=30.e-6; beq=5.0e-3;% case1:利用整個(gè)電機(jī)的傳遞函數(shù) num=kt/(la*jeq); d e n = 1 ( r a * j e q + l a * b e q ) / ( l a * j e q ) (ra*beq+kt*kv)/(la*jeq); sys1=tf(num,den);第3章 控制系統(tǒng)建模% case2:利用simulink仿真框圖 a,b,c,d=

36、linmod(motorsl); sys2=ss(a,b,c,d);% 確定兩種情況下電機(jī)的階躍響應(yīng) t=linspace(0,0.025,51); y1=step(sys1,t); y2=step(sys2,t);% 繪制相關(guān)結(jié)果 plot(t,y1,ro,t,y2,b-),grid xlabel(time(sec),ylabel(angularvelocity(rad/sec) title(motorresponsetostepchangeinappliedvoltage) text(.0152,.75,case1transferfunction-points) text(.0152,.4

37、5,case2simulinkmodel-solidline)第3章 控制系統(tǒng)建模圖3.20 永磁體dc電機(jī)的階躍響應(yīng)曲線第3章 控制系統(tǒng)建模3.4 光源跟蹤伺服系統(tǒng)的建模與系統(tǒng)分析光源跟蹤伺服系統(tǒng)的建模與系統(tǒng)分析 3.4.1 物理模型 太陽跟蹤系統(tǒng)是太陽能系統(tǒng)不可缺少的組成部分,它可以有效地提高太陽光線的利用效率。 下面將研究一種光源跟蹤侍服系統(tǒng)模擬太陽電池帆板的移動(dòng)。光源跟蹤侍服系統(tǒng)是由永磁體直流電機(jī)、光線檢測(cè)電路和電機(jī)驅(qū)動(dòng)放大器等幾部分組成的。該系統(tǒng)的模型框圖如圖3.21所示。 第3章 控制系統(tǒng)建模圖3.21中各部分的含義為：k比例增益系數(shù)；e誤差信號(hào)；va電機(jī)驅(qū)動(dòng)電壓；gm電機(jī)傳遞函數(shù)

38、；w電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；a電池帆板的角度位置；l光源的角度方向；c0系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)；gc系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。第3章 控制系統(tǒng)建模圖3.21 光源跟蹤伺服系統(tǒng)的仿真框圖 第3章 控制系統(tǒng)建模 3.4.2 數(shù)學(xué)模型 下面我們來建立光源跟蹤伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是根據(jù)檢測(cè)電路、功率放大器和驅(qū)動(dòng)電機(jī)的傳遞函數(shù)綜合得來的。 1) 圖像檢測(cè)電路和功率放大器 圖像檢測(cè)電路和功率放大器可以整個(gè)視作增益環(huán)節(jié)k,這里k的單位為v/rad。 2) 驅(qū)動(dòng)電機(jī) 在該伺服系統(tǒng)中,驅(qū)動(dòng)電機(jī)采用永磁體直流電機(jī),它的傳遞函數(shù)和系統(tǒng)特性在前一節(jié)已經(jīng)詳細(xì)討論過,這里不再贅述。 第3章 控制系統(tǒng)建模 根據(jù)以上討論可以很

39、容易地創(chuàng)建該伺服系統(tǒng)的頻域方框圖（如圖3.22所示）。圖中顯示,為了實(shí)現(xiàn)太陽電池自動(dòng)跟蹤光源變化,采用了比例反饋的控制方法。圖3.22 光源跟蹤伺服系統(tǒng)的控制框圖 第3章 控制系統(tǒng)建模 根據(jù)圖3.22可以得到整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)32( )()()taaaatvtaaakkl jg sr jl br bk kkksssl jl jl j(3.51)第3章 控制系統(tǒng)建模 3.4.3 仿真分析 從式（3.52）表示的系統(tǒng)傳遞函數(shù)中可以看出,存在三個(gè)因素會(huì)影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為和控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這三個(gè)因素是： (1) 圖像檢測(cè)電路和放大器的等效增益。 (2) 電機(jī)負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量j。 (3) 機(jī)械系統(tǒng)的阻尼

40、系數(shù)b。 下面的程序ltservo.m可以讓用戶自由改變其中的參數(shù),并且對(duì)相應(yīng)的階躍響應(yīng)和頻域特性進(jìn)行仿真。第3章 控制系統(tǒng)建模% ltservo.m 比例反饋控制條件下光源跟蹤伺服系統(tǒng)的仿真和參數(shù)敏感性分析 clearall, closeall% 驅(qū)動(dòng)電機(jī)參數(shù) ra=1.75; la=2.83e-3; kv=0.093; kt=0.0924;% 機(jī)械系統(tǒng)參數(shù) jeq=30.0e-6; beq=5.0e-3;第3章 控制系統(tǒng)建模% 利用根軌跡方法尋找缺省的參考增益k num=kt/(la*jeq); d2=ra/la+beq/jeq; d3=(ra*beq+kt*kv)/(la*jeq); d

41、en=1d2d30; kk1=linspace(0,12,7); kk2=linspace(12,18,19); kk3=linspace(18,30,7); kk4=linspace(30,200,15); kk=kk1kk2kk3kk4; figure(1) sys=tf(num,den); rlocus(sys,kk),sgrid axis(-50050-500500)第3章 控制系統(tǒng)建模 cont=input(selectrootlocationforgaindetermination?. (y/n)n:,s); ifisempty(cont); cont=n; end whileco

42、nt=y k,p=rlocfind(sys); disp(gaink=); k syscl=feedback(k*sys,1); damp(syscl) cont=input(selectanotherroot?(y/n):, s); ifisempty(cont); cont=n; end end第3章 控制系統(tǒng)建模%-% 敏感度分析(根據(jù)需要重復(fù)多次)%- repeat=y; whilerepeat=y; jeq=30.0e-6; beq=5.0e-3; k=25.0; n=menu(selectvariabletoanalyze,gainparameter, . damping term

43、, . inertiaofsystem);第3章 控制系統(tǒng)建模 % 創(chuàng)建不同增益條件下的三個(gè)傳遞函數(shù) ifn=1; opt=sensitivitytogain fori=1:3; k=input(inputgaintypical=25v/radian:); d2=ra/la+beq/jeq; d3=(ra*beq+kt*kv)/(la*jeq); d4=(k*kt)/(la*jeq); num(i,:)=(k*kt)/(la*jeq); den(i,:)=1d2d3d4; end;第3章 控制系統(tǒng)建模 % 創(chuàng)建不同機(jī)械阻尼條件下的三個(gè)傳遞函數(shù) elseifn=2; opt=sensitivit

44、ytodamping fori=1:3; beq=input(inputdampingfactortypical=5.0e-3nms:); d2=ra/la+beq/jeq; d3=(ra*beq+kt*kv)/(la*jeq); d4=(k*kt)/(la*jeq); num(i,:)=(k*kt)/(la*jeq); den(i,:)=1d2d3d4; end;第3章 控制系統(tǒng)建模% 在不同轉(zhuǎn)動(dòng)慣量條件下創(chuàng)建三個(gè)傳遞函數(shù) elseifn=3; opt=sensitivitytoinertia fori=1:3; jeq=input(inputinertiatypical=30.0e-6kg

45、m2:); d2=ra/la+beq/jeq; d3=(ra*beq+kt*kv)/(la*jeq); d4=(k*kt)/(la*jeq); num(i,:)=(k*kt)/(la*jeq); den(i,:)=1d2d3d4; end;第3章 控制系統(tǒng)建模 end; sys1=tf(num(1,:),den(1,:); sys2=tf(num(2,:),den(2,:); sys3=tf(num(3,:),den(3,:);% 繪制bode圖和階躍響應(yīng)曲線 w1=input(selectbeginningfreq.exponent(rad/sec)1:); ifisempty(w1); w

46、1=1; end; w2=input(selectendfreq.exponent(rad/sec)3:); ifisempty(w2); w2=3; end; w=logspace(w1,w2,100); figure(2)第3章 控制系統(tǒng)建模 bode(sys1,sys2,sys3,w) % 閉環(huán)系統(tǒng)的bode圖 title(frequencyresponse-, opt); gtext(low),gtext(mid),gtext(high); gtext(low),gtext(mid),gtext(high);% 閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng) t2=input(specifyendtime(sec)0.08:); ifisempty(t2); t2=0.08; end; t=linspace(0,t2,101); xs(:,1)=step(sys1,t);第3章 控制系統(tǒng)建模 xs(:,2)=step(sys2,t); xs(:,3)=step(sys3,t); figure(3) plot(t,xs(:,1),r-,t,xs(:,2),b-,t,xs(:,3),g:),grid xlabel(time(sec),ylabel(position(radians); title(stepresponse-, opt); gtext