八年級秋季班-第2講：二次根式的運算-教師版

1、八年級秋季班本節(jié)主要講解的內(nèi)容包括兩大部分，第一是最簡二次根式和同類二次根式的 區(qū)分與化簡，難點在化簡二次根式與利用同類二次根式的性質(zhì)進(jìn)行求解綜合題目 上；第二是二次根式的四則運算，難點是合并同類項及乘除運算的時候符號問 題.這節(jié)內(nèi)容是二次根式的重點與難點.模塊一：最簡二次根式與同類二次根式1最簡二次根式的概念：(1 )被開方數(shù)中各因式的指數(shù)都為1 ; ( 2)被開方數(shù)不含分母被開方數(shù)同時符合上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式2、同類二次根式的概念：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫做同類二次根式.【例1】判斷下列二次根式是不是最簡二次根式：8a2 2

2、 .a + b(1) 1.5a ； (2) 8a2 + b2 ；(3)(a- b)3b2 ；(4)【難度】【答案】(1)不是； (2)是；(3)不是；(4)不是.【解析】(1)被開方數(shù)中各因式的指數(shù)都為1 ; (2)被開方數(shù)不含分母.同時符合上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式， 所以(2)是最簡二次根式.【總結(jié)】本題考查了最簡二次根式的概念.【例2】將下列二次根式化成最簡二次根式：(1；(2) J*x3y4(x3 0);(3)廣 4x3y2(y> 0) ；(4) 4x2- 4xy+ y2(2x? y)【難度】2(3)2xy . x ；(4) 2x y .【答案】(1)；( 2) V

3、2x ；2【解析】(1)12a= 2 3a ；(2) Jx3y4 =牛亦；(3) . - 4x3y2 = - 2xy - x ；(4).4x2 - 4xy + y222x- y) = 2x- y .【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡.2 / 21【例3】化簡:(a? 0, b°)；(2)x2- x- 12 x+ 3(x 3 4)；(3)x+ 3x2 廠x-12(x< 4).x2- x- 12x+ 3(x- 4)(x+ 3)(3)x+34 xi x 4 - x 4=4 x【難度】【答案】a4 x(1)肓；(2)x 4 ； (3) VV【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的

4、性質(zhì)進(jìn)行化簡.【例4】判斷下列二次根式是否為同類二次根式.(1) 1、8和 5 1 ；3 V3(3)2a和 2a2 ；【難度】【答案】(1)不是； (2)不是；(3)不是； (4)是.【解析】(1)T -V8 - 22 -42 , 5、卩遲,333V33 1 .8和5 1不是同類二次根式；33(2)t J2；.掐和不是同類二次根式；(3)t、. 2a22a ； 2a和. 2a2不是同類二次根式;【總結(jié)】本題主要考查同類二次根式的概念，先化簡再判斷.【例5】將下列二次根式化成最簡二次根式:3X 27.( X<0，a<0)；16a (a 10 血 1 .【總結(jié)本題主要考查利用二次根式的

5、性質(zhì)進(jìn)行變形，注意移入的數(shù)必須是非負(fù)數(shù). + 32a2b2 ;a b / c、 ab ,b2+ a2(ab>0).【答案】x2 3b ；3ab2，(2)4a . a2 2b2 L L4a. a2 2b2 L L(3) ab. a b .【解析】(1)原式=3x31 X2 3bX2 3ba b . 3b = ab 3b = 3ab2(2)原式=J6a2 a2 2b24a a2 2b2 L L a4a a2 2b2 L L a(3)a2b2a遲幕【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，注意被開方數(shù)的各因式的符號.【例6將下列根號外的因式移到根號里面:(1)1 J (n <0);

6、(2)【答案(1)n <24m(x< y< 0);(x-(a-24；n ；( 2).3b x y .x y(3) a 1 ；(4) . a 1 .【解析】(J原式=./n ；(2)原式=32b x y2 2x y 1(3)ta 10 a2a 1 a2a【例7】若 4 2x +y和J7+X是冋類二一次根式，求x和 y的值【難度】【答案】x 5, y2 .x y 12x5【解析】由題意得：解得：2x y 7 x 'y2【總結(jié)】本題主要考查最簡二次根式和同類二次根式的概念，然后根據(jù)題意列出方程組并求解.【例8】已知x+ x2- 1=2，求x- x2 - 1的值.【難度】【答

7、案】-.2【解析】x2 12 x， - x 14 4x x , 即卩 4x 5,5 . x 一4、51 521原式 =- .14 V 42【總結(jié)】本題主要考查二一次根式的化簡求值.【例9】 分別求出滿足下列條件的字母a的取值：(1) 若最簡二次根式.3a與-.8是同類二次根式；(2) 若二次根式 3a與-.8是同類二次根式.【難度】22 2【答案】(1) a ；(2) a n .33_ _ 2【解析】(1)：82 .一 2 , 3a 2 , a -；3(2)T 82 2 , 3a 2n2 n為正整數(shù),- a ? n2 .3【總結(jié)】本題考查了二次根式的化簡以及最簡二次根式的概念.【例10】 將下

8、列式子化成最簡二次根式:八年級秋季班d) . (x-1)2+ 4+(x+ 1)2 - 4(1 < x< 4)xx(2) x= 4- 23，求，-2的值.2x+ x【答案】（1） 2x ;(2)3.33【解析】（1）原式=x21-=xx1=2x ;x(2)原式=% 1 2x 4 2 3，二 x3 1原式=1 x 2麗 31 2.32.3 3 2 3 33【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，注意被開方數(shù)的各因式的符號.【例11】 將下列式子化成最簡二次根式:若X、y為實數(shù)，且y丄，求.x+2+y-2+y 的值.2, y x . y x【難度】【答案】2.1 1【解析】由題意

9、得：x - ； y - 4 2 2 2 : 2 2x 2 y _ x 2xy y x 2xy y y x = , xy' xyx y xy【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，注意被開方數(shù)的各因式的符號.【例12】已知等式.x2 - 6x+ 9+x- 3(x- 3)2 = 0成立，求x的值.6 / 21【難度】【答案】x 2 .【解析】由題意得：x 3 0,當(dāng)2【x 3 0 時，1 x 30，不存在，應(yīng)舍去當(dāng)x 3 0時，21 x 30 , x 3 1 或 x 31 , x 4 或 x 2又 x 3 ,x 2 .綜上得x 2 .【總結(jié)】本題綜合性較強，主要考查利用二次根式的性

10、質(zhì)進(jìn)行化簡，注意被開方數(shù)的各因式的符號.【例13】 化簡：5+ 2 6 -4- .12 .【難度】【答案】2 1 .【解析】原式=32.4 2 3323 12 1 .注意相應(yīng)方法【總結(jié)】本題綜合性較強，主要考查利用二次根式的性質(zhì)化簡復(fù)合二次根式, 的歸納總結(jié).師生總結(jié)1、滿足最簡二次根式的條件是什么?2、滿足同類二次根式的條件是什么？八年級秋季班1、二次根式的加減運算：把二次根式化簡為最簡二次根式，再合并同類項（加或者減）2、二次根式的乘除運算：（1）兩個二次根式相乘，被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變;（2）兩個二次根式相除，被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.例題解析【難度】【答案】0.【解析】原式=211,

11、22 20 .【總結(jié)】本題主要考查二次根式的加減運算，注意先化簡后合并.【例15】化簡:171+a9a驏®(2)1 x . 4x + 624x2.X.【難度】【答案】(1) 3a a a 2 . ab ;( 2)x x .【解析】（1）原式=迢3.2 6a厘b涯2. aa3aba=2a a 6 . ab 2 ab a . a=3a a 4 - ab ;(2)原式=-x 2 x 6x X 4x2X2 3x=x x 2x . x 4x . x=x jx -【總結(jié)】本題主要考查二次根式的加減運算，注意先化簡后合并.【例16】化簡：(1)18bc3 ；(2)層缸325x3 6a/67 ；(3

12、)2、肩?(b3/aE).2【難度】【答案】(21) 3bc2 ； (2) 8 ;(3) 3ab(3) 原式=2b ab.2532詼】原式=1'18bCa abC = 3T 2 ；(2)原式=攀313 5x. x6x612x 6.x45x . x6b ab3ab22【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，注意被開方數(shù)的的符號.【例17】已知 x+ y= - 5 , xy= 4 求 +【例18】0 , b> 0).5 2542 .x、y兩數(shù)的符號，然后【難度】【答案】5 .2【難度】【總結(jié)】本題主要考查二次根式的化簡，綜合性較強，要注意判斷 利用整體代入的思想求值.【答案】

13、9a 1【例20已知長方形的長A= 2 32，B=3 18，(1) 求該長方形的周長； (2 )若另一個正方形，其面積與該長方形面積相等，試計算該正方形的周長.【難度b , ab .【解析】原式=2ab 3a . ab abb23 a=2/abTab -3a=2Tab=3a2b2邑亙ab=9a b.ab .【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，注意被開方數(shù)的的符號.化簡:nx+ (m-2、- 9x +'-£(x< 0)；【例19(1)(2)【難度【答案(1) 7. x ；( 2)2n31x(y2n31 -x(y0)0)【解析(1)原式=2 x(2)原式=nxX

14、、xy =2n31x(y0)2n31x(y0)【總結(jié)本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，注意被開方數(shù)的的符號.八年級秋季班【答案】(1) 6 2 ;( 2) &. 2【解析】(1) C 2 A B32.18 = 4.22、2 = 6遷；3(2) S長2 224 ,正邊形的邊長為2,周長為8.【總結(jié)】本題主要考查二.次根式的運算以及求值.)?a- b【例21】計算：山+_脣_bVa + Jb Jab - b【難度】【答案】2 ab -掐b va 寸b【解析】原式=Vba、b b、a1a ba . bb a . b、aba . bbTabyaba b . b7a/bVaVbb.ab a

15、b . a . ba b 7ba bb=2 , ab .【總結(jié)】本題主要考查二次根式的混合運算，注意先化簡后合并，注意方法的選擇.【例22】解下列不等式（1）12x+ 48> 27x+ 3 ； 【難度】【答案】（1）x 3 ；11 / 21八年級秋季班【解析】(1) 2 3x 3.3x 34 3，二,3x 3 3，二 x 3 ；(2)解： 2 .52 5x , 2 5-x ,/ x -.5 5 6【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)求解不等式.【例23】2+ .3 , y= 2- . 3 .化簡求值：(x+2+y+一)？x- y+1，其中 x4x+ yjyy/x- yyVx【難度】【答

16、案】【解析】原式=(Xxy匸=(仮5)(x y 1)xxyX、.勺x yx y 1x yx y 1x y扌巴x= 2 +3 ,y = 2-3代入，得：原式=3 12【總結(jié)】本題主要考查了二次根式的化簡和分母有理化.【例 24】 若等式 (3x+ 1)(2 - x) =3x+ 1?2x 成立，化簡：x- 4 + J9x2 + 6x+ 1 + x- 2 .【難度】【答案】7 x .3x 1 01【解析】由題意得：c c，解得：- X 2 .2x03原式=X 4 3x 1x2=4x3x12x = 7x .【總結(jié)】本題主要考查二次根式的概念、化簡以及求值.【例25】當(dāng)x=上_1994時，求多項式(4x

17、3 - 1997x- 1994)2001的值2 '【難度】【答案】1 .【解析】 x原式=1、1994222x 11994 .2 24x 4x 1993 x 4x 4x200119951200111.另一方面考查了利用將【總結(jié)】本題綜合性較強，一方面考查了二次根式的化簡求值運算,次思想以及整體代入思想進(jìn)行求值.隨堂檢測【習(xí)題1】下列各式中，最簡二次根式的個數(shù)有（1.2 ;xy2 ; . m2 - n2 ; x ; - x2 - 10x + 25 ； 6x .3【難度】【答案】D.【解析】 12 ; . xy2 ; x2- 10x+ 25 ；不是最簡二次根式;最簡二次根式.【總結(jié)】本題考

18、查了最簡二次根式的概念.【習(xí)題2】下列二次根式中，與 .5不是同類二次根式的為（A.0.5B.C.20D .【難度】【答案】【解析】A.20.52T ;202.5 ；專，故選【總結(jié)】本題考查同類二次根式的概念.【習(xí)題3】下列化簡錯誤的是（A.3B .0.0T 0.49 =0.01 X . 0.49 =0.1 07=0.071321【難度】【答案】【解析】_ 527【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡.【習(xí)題4】若最簡根式a+7b 2a+ 5b_7和a+ 3b是同類二次根式，求a+ b的值的平方根.【難度】【答案】±2 2 .【解析】由題意得:a 7b 22a 5b 7a 3

19、b，解得: a b的平方根 .82 2 .【總結(jié)】本題主要考查最簡二次根式和同類二次根式的概念，然后根據(jù)題意列方程并求解.【習(xí)題5】合并下列各式中的同類二次根式并計算：(1)(4 5- 4 .3)- 23+12;(2)2 9- 2 , 3 +27 ;3(3)8仮-(丄71+T2X3) ;(4)4/5 - 71000+ 5/10.2【難度】【答案】(1) 4 5 4.3 ;( 2) 6+ 7 ,3 ；( 3) & x 3 x 2x ;( 4) 40 5 5、10 .3 2【解析】(1)原式=4、5 4.3 2 3 23 =45 4.3 ;(2) 原式=6 -43 3丁3 6 - 43 ；

20、3 3(3)原式=8、x 2 2xx 2x8 x3x 2x :2(4)原式=40 510.105 1040.55 10 .【習(xí)題6】比較大?。?1) - 35 與-2、石;(2).6 + & 與 5+3 .;(3) x+ y 與石；(4).15-14 與 14- .132八年級秋季班【難度】【答案】（1） 3 5 2.11 ；（2） . 6 , 2 .5 .3 ；（3） Xyy . xy ;（4）.厲14 .13 -【解析】（1）平方法；（2 ）平方法；（3 ）作差法；（4 ）倒數(shù)法.【總結(jié)】本題主要考查了二次根式的比較大小.【習(xí)題7】將下列二次根式化成最簡二次根(1) (x2 - y

21、2)(y+ x)(x吵y 0) m- 2n(2) .(m> 2n> 0)；Ym+ 2 nx- y x4y3 + x3y4(3) 22(0<X<【答案】（1)x yxy ；(2)【解析】（1).x22yy xx(2)m2nm24n2 .m2nm；2n（3）原式:x yx33y xyyJx y2【難度】【總結(jié)】y x - 2xy + ym 4n ；(3) x.x2y xy2m 2n一 xy .x2y xy2 浜 苻. y y x進(jìn)行化簡，注意被開方數(shù)的的符號.【習(xí)題8】計算:(3. 2- 2 3)(3 2+ 2 一3)；【難度】八年級秋季班【答案】(1)43 ；(2) ab

22、ab【解析】（1）原式=423“18122.3624a(2)原式=.a ,a bba a . b23 / 21a . ab . ab b a baba b【總結(jié)】本題主要考查了二次根式的加減運算和分母有理化.【習(xí)題9】已知"卑 茫，y= £+茫，求代數(shù)式3x2 - 5xy+ 3y2的值3 + i ： 2- 3 - . 2【難度】【答案】289.【解析】由已知得：x 5 2、. 6 , y 5 2.6，二x y 10, xy 1 .289 .2 2 2 2 23x 5xy 3y 3 x y 5xy 3 x y 2xy 5xy 3 98 5【總結(jié)】本題主要考查了分母有理化和完全

23、平方公式的變形.【習(xí)題10】解下列不等式：:>4x- 9 ；(1) 2x +(2) 2x+32 < 5x+2 .【答案】（1）x ；（2）【解析】（1）原不等式可化為:4x -，即 2x35 5 x12（2）原不等式可化為：3x【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)求解不等式.【習(xí)題11】 把（a- b）. - 1 化成最簡二次根式. a- b【難度】【答案】ba .八年級秋季班#21【解析】T 0 , a b 0 . 原式=a b f_小_a逅a .a bJba '【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，注意被開方數(shù)的的符號.【習(xí)題12】 已知8x+ . 8x-

24、1 +2，求代數(shù)式：x+x+2-x+y-2的值. y x【答案】1.【解析】由題意,1 8x8x 12(x y)xy2(x y) 2x xy xy '得:2xxy12 -_814【總結(jié)】本題主要考查二次根式的概念、化簡以及求值.【習(xí)題13】已知a是4- .3的小數(shù)部分，求代數(shù)式2 + a- 2桫2 +4a + 4a +驏+ a2+ 2a 桫【答案】3.【解析】134 ,a24 a 1a 2a24【總結(jié)】本題主要考查無理數(shù)的小數(shù)部分的表示以及整體思想的運用.課后作業(yè)【作業(yè)1】下列二次根式中是最簡二次根式的是（八年級秋季班27 / 21A.0.6B. 8a【難度】【答案】D.【解析】殛.

25、- a ? b . - ab 護(hù)5; 濟(jì)2辰；上，故選D.5V x x【總結(jié)】本題考查最簡二次根式的概念.【作業(yè)2】 把代數(shù)式（x- 1）J- 丄 根號外的因式移入根號內(nèi)，結(jié)果為 V x- 1【難度】【答案】1X .【解析】X 1 .1.1 X 1 (3) 、- 2a? . 4b - 2.2ab ;A . 1個B.2個 1_x .Y x i Y x 1【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行變形，注意移入的數(shù)必須是非負(fù)數(shù).【作業(yè)3】 若a< 0, b> 0 ,計算正確的個數(shù)是（）C.3個D . 4個【難度】【答案】B.【解析】（1）正確；（2）正確；（3）錯誤；（4）錯誤.【總結(jié)

26、】本題考查二次根式的性質(zhì)和有意義的條件.【作業(yè)4】二次根式-3（a< 0）化簡后的結(jié)果為（）aA .- aB . - JaC .-aD . a【難度】【答案】C.【解析】二£=芒1Z=- ,7 aa【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，注意被開方數(shù)的的符號.【作業(yè)5】若a-25與.a-【難度】b+ 1是冋類二次根式，求 ab的值.【答案】1 2a2 2a 41【解析】由題意得：1，解得:b虧111 , a 42-a b25b24【總結(jié)】本題主要考查最簡二次根式和同類二次根式的概念，然后根據(jù)題意列方程并求解.【作業(yè)6】計算：(1) 2 .6( 63 322 8)；(2)

27、 (廠無)2 ( 2(x y) X)2 【難度】【答案】(1) 12 18 2 2.3 ;(2) 6x 3y 【解析】(1)原式=12 18 24-3 2 6 2212 18,22.3 ;4(2)原式=x y 2x 2 2x x y 2x 2y x 2 2x x y = 6x 3y 【總結(jié)】本題主要考查了二次根式的混合運算.【作業(yè)7】化簡并計算:(1)12)(y- x)(x< 0, y> 0);y? 3匸【答案】(1)x . y xxy(2)【解析】原式=y x y x ；;xyJxJxL(2)原式=62x3 x2x【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，注意被開方數(shù)的的符號.【作