6-1-3還原問題（一）教師版

1、6-1-2.還原問題（一）本講主要學(xué)習(xí)還原問題.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生掌握倒推法的解題思路以及方法，并會(huì)運(yùn)用 倒推法解決問題.1. 掌握用倒推法解單個(gè)變量的還原問題.2. 了解用倒推法解多個(gè)變量的還原問題.3. 培養(yǎng)學(xué)生“倒推''的思想.一、還原問題已知一個(gè)數(shù)，經(jīng)過某些運(yùn)算之后，得到了一個(gè)新數(shù)，求原來的數(shù)是多少的應(yīng)用問題，它的解法常常是以 新數(shù)為基礎(chǔ)，按運(yùn)算順序倒推回去，解出原數(shù)，這種方法叫做逆推法或還原法，這種問題就是還原問題.還原問題又叫做逆推運(yùn)算問題.解這類問題利用加減互為逆運(yùn)算和乘除互為逆運(yùn)算的道理，根據(jù)題意的 敘述順序由后向前逆推計(jì)算.在計(jì)算過程中采用相反的運(yùn)算

2、，逐步逆推.二、解還原問題的方法在解題過程中注意兩個(gè)相反：一是運(yùn)算次序與原來相反；二是運(yùn)算方法與原來相反.方法：倒推法?？谠E：加減互逆，乘除互逆，要求原數(shù)，逆推新數(shù).關(guān)鍵：從最后結(jié)果出發(fā)，逐步向前一步一步推理，每一步運(yùn)算都是原來運(yùn)算的逆運(yùn)算，即變加為減，變 減為加，變乘為除，變除為乘.列式時(shí)還要注意運(yùn)算順序，正確使用括號(hào).模塊一、計(jì)算中的還原問題【例1 一個(gè)數(shù)的四分之一減去5,結(jié)果等于5,則這個(gè)數(shù)等于。【考點(diǎn)】計(jì)算中的還原問題【難度】1星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，二試，第3題【解析】方法一：倒推計(jì)算知道，一個(gè)數(shù)的四分之一是10,所以這個(gè)數(shù)是10x4=40 o 方法二：令這個(gè)數(shù)為，則

3、丄兀一5 = 5,所以兀= 40。4【答案】40【例2某數(shù)先加上3,再乘以3,然后除以2,最后減去2,結(jié)果是10,問：原數(shù)是多少?【考點(diǎn)】計(jì)算中的還原問題【難度】1星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】分析時(shí)可以從最后的結(jié)果是10逐步倒著推。這個(gè)數(shù)沒減去2時(shí)應(yīng)該是多少？沒除以2時(shí)應(yīng)該是多 少？沒乘以3時(shí)應(yīng)該是多少？沒加上3時(shí)應(yīng)該是多少？這樣依次逆推，就可以推出某數(shù)。如果沒減 去2,此數(shù)是：10 + 2 = 12,如果沒除以2,此數(shù)是：12x2 = 24,如果沒乘以3,此數(shù)是：24 一 3 = 8, 如果沒加上3,此數(shù)是：8-3 = 5,綜合算式（10 + 2）x2 一3-3二5,原數(shù)是

4、5.【答案】5【鞏固】（2008年“陳省身杯”國(guó)際青少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）有一個(gè)數(shù)，如果用它加上6,然后乘以6,再減去6, 最后除以6,所得的商還是6,那么這個(gè)數(shù)是?！究键c(diǎn)】計(jì)算中的還原問題【難度】1星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】將最終結(jié)果進(jìn)行逆推，得：（6x6 + 626-6 = 1【答案】1 【鞏固】一個(gè)數(shù)減16加上24,再除以7得36,求這個(gè)數(shù).你知道這個(gè)數(shù)是幾嗎?【考點(diǎn)】計(jì)算中的還原問題【難度】1星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】36x7-24 + 16 = 244.【答案】244【鞏固】少先隊(duì)員采集樹種子，采得的個(gè)數(shù)是一個(gè)有趣的數(shù).把這個(gè)數(shù)除以5,再減去25,還

5、剩25,你算一 算，共釆集了多少個(gè)樹種子？【考點(diǎn)】計(jì)算中的還原問題【難度】1星【題型】解答【關(guān)犍詞】可逆思想方法【解析】（25 + 25）x5 = 250（個(gè)），即共采集了 250個(gè)樹種子.【答案】250【例3學(xué)學(xué)做了這樣一道題：某數(shù)加上10,乘以10,減去10,除以10,其結(jié)果等于10,求這個(gè)數(shù).小 朋友，你知道答案嗎？【考點(diǎn)】計(jì)算中的還原問題【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】【難度】1星【題型】解答根據(jù)題意，一個(gè)數(shù)，根據(jù)加、減法與乘、+ 10 .經(jīng)過加法、乘法、減法、除法的變化，得到結(jié)果10,應(yīng)用逆推法，由結(jié)果10, 除法的互逆運(yùn)算，倒著往前計(jì)算.| x10 .t0 .1010x10 = 10

6、0 , 100 + 10 = 110, 1104-10 = 11 , 11-10 = 1 綜合算式為：（10x10 + 10）-5-10-10 = （100 + 10）-5-10-10 = 110-5-10-10 = 11-10 = 1 所以這個(gè)數(shù)為 1.解這種還原問題的關(guān)鍵是從最后結(jié)果出發(fā)，逐步向前一步一步推理，每一步運(yùn)算都是原來運(yùn)算的逆 運(yùn)算，即變加為減，變減為加，變乘為除，變除為乘.列式時(shí)還要注意運(yùn)算順序，正確使用括號(hào)， 這種逆向思維的方法是數(shù)學(xué)中常用的思維方法.【答案】1【鞏固】學(xué)學(xué)做了這樣一道題：一個(gè)數(shù)加上3,減去5,乘以4,除以6得16,求這個(gè)數(shù).小朋友，你知道 答案嗎？【考點(diǎn)】計(jì)

7、算中的還原問題【難度】1星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】根據(jù)題意，一個(gè)數(shù)，經(jīng)過加法、減法、 根據(jù)加、減法與乘、除法的互逆運(yùn)算,乘法、除法的變化，得到結(jié)果16,應(yīng)用逆推法，由結(jié)果10, 倒著往前計(jì)算.綜合算式為：16x6*4 + 5 3 = 96 + 4 + 5 3 = 24 + 5 3 = 29 3 = 26 【答案】26【鞏固】一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽頒獎(jiǎng)會(huì)上，小剛問老師：“我得了多少分？ ”老師說：“你的得分減去6后，縮小2倍, 再加上10后，擴(kuò)大2倍，恰好是100分”.小剛這次競(jìng)賽得了多少分？【考點(diǎn)】計(jì)算中的還原問題【難度】1星【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】從最后一個(gè)條件“

8、恰好是100分,響前推算.擴(kuò)大2倍是100分，沒有擴(kuò)大2倍之前應(yīng)是100-2 = 50 （分），加上10后是50分，沒有加上10前應(yīng)是50-10 = 40（分），縮小2倍是40分，那么沒有縮小2倍 前應(yīng)是40x2 = 80（分），減去6后是80分，沒有減去6前應(yīng)是80 + 6 = 86（分）.綜合列式為： （100-2-10）x2 + 6 = 40x2 4-6 = 86（）,所以，小剛這次競(jìng)賽得了 86 分.【答案】86【例4牛老師帶著37名同學(xué)到野外春游休息時(shí)，小強(qiáng)問：“牛老師您今年多少歲啦?”牛老師有趣地回答: “我的年齡乘以2,減去16后，再除以2,加上8,結(jié)果恰好是我們今天參加活動(dòng)的總

9、人數(shù)”小朋 友們，你知道牛老師今年多少歲嗎？【考點(diǎn)】計(jì)算中的還原問題【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】采用倒推法，我們可以從最后的結(jié)果“參加活動(dòng)的總?cè)藬?shù)''即38倒著往前推.這個(gè)數(shù)沒加上8時(shí)應(yīng)是 多少？沒除以2時(shí)應(yīng)是多少？沒減去16時(shí)應(yīng)是多少？沒乘以2時(shí)應(yīng)是多少？這樣依次逆推，就可以求出牛老師今年的歲數(shù).沒加上8時(shí)應(yīng)是：38-8 = 30；沒除以2時(shí)應(yīng)是： 30x2 = 60 ;沒減去16時(shí)應(yīng)是：6 “ 1$;沒乘以2時(shí)應(yīng)是：7 “ 2：；,即（3 8- ）8x2-16=（歲）.【答案】38歲【鞏固】小智問小康：“你今年幾歲？”小康回答說：“用我的年齡數(shù)減去

10、8,乘以7,加上6,除以5,正好 等于4請(qǐng)你算一算，我今年幾歲？ ”【考點(diǎn)】計(jì)算中的還原問題【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】分析時(shí)可以從最后的結(jié)果是4逐步倒著推。這個(gè)數(shù)沒除以5時(shí)應(yīng)該是多少？沒沒加上6時(shí)應(yīng)該是多 少？沒乘以7時(shí)應(yīng)該是多少？沒減去8時(shí)應(yīng)該是多少？這樣依次逆推，就可以推出某數(shù)。如果沒除以5,此數(shù)是：4x5 = 20如果沒加上6,此數(shù)是：20-6 = 14如果沒乘以7,此數(shù)是：14一7 = 2如果沒減去8,此數(shù)是：2 + 8 = 10綜合算式：（4x5-6）一7 + 8 = 10 （歲）答：小康今年10歲?！敬鸢浮?0歲【鞏固】在小新爺爺今年的年齡數(shù)減去15后，

11、除以4,再減去6之后，乘以10,恰好是100,問:小新爺爺今年多少 歲數(shù)？【考點(diǎn)】計(jì)算中的還原問題【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】采用倒推法，（100一 10 + 6）x4 + 15 = 79 （歲）.【答案】79歲【鞏固】學(xué)學(xué)和思思在游玩時(shí)，遇到一位小神仙，他們問這位神仙：“你一定不到100歲吧！”誰知這位神仙 搖搖頭說：“你們算算吧！把我的年齡加上75,再除以5,然后減去15,再乘以10,恰好是2000 歲”小朋友，你知道這位神仙現(xiàn)在有多少歲嗎？【考點(diǎn)】計(jì)算中的還原問題【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】這就是一個(gè)還原問題，可以用倒推法解決.從結(jié)果“

12、2000"逐步倒著推，沒乘10時(shí)是多少？沒減去15 時(shí)是多少？沒除以5時(shí)是多少？沒加75時(shí)是多少？這樣依次倒推，就可以知道神仙的年齡了.“乘以10,恰好是2000",不乘10時(shí)，應(yīng)該是：2000 4-10 = 200（2）“減去15”是200,不減15時(shí),應(yīng)該是：200 + 15 = 215“除以5"是215,不除以5,應(yīng)該是：215x5 = 1075現(xiàn)在的年齡加上75是1075,如果不加75,這個(gè)數(shù)是：1075-75 = 1000 也就是神仙現(xiàn)在的年齡是1000歲.驗(yàn)算：按原題順序進(jìn)行列式計(jì)算，看最后是否等于2000,如果等于2000,則解題正確. 1000 +

13、 75 = 1075 , 10754-5 = 215 , 215-15 = 200 , 200x10 = 2000.【答案】2000歲【例5在電腦里先輸入一個(gè)數(shù)，它會(huì)按給定的指令進(jìn)行如下運(yùn)算：如果輸入的數(shù)是偶數(shù)，就把它除 以2；如果輸入的數(shù)是奇數(shù)，就把它加上3同樣的運(yùn)算這樣進(jìn)行了 3次，得出結(jié)果為27原 來輸入的數(shù)可能是【關(guān)鍵詞】可逆思想方法，第七屆，小數(shù)報(bào) 【解析】【考點(diǎn)】計(jì)算中的還原問題【難度】3星 【題型】填空本題用倒推法解.最后結(jié)果是27,上一步的結(jié)果是54,再上一步的結(jié)果是108或51,原來輸入的 數(shù)是216, 105, 102.思路如下：108216105272【答案】10248(

14、不合意)24(不合意)216或105或102,答案不唯一51【例6假設(shè)有一種計(jì)算器，它由4、“、c、d四種裝置組成，將一個(gè)數(shù)輸入一種裝置后會(huì)自動(dòng)輸出 另一個(gè)數(shù)。各裝置的運(yùn)算程序如下：裝置將輸入的數(shù)加上6之后輸出；裝置佚 將輸入 的數(shù)除以2之后輸出；裝置c：將輸入的數(shù)減去5之后輸出；裝置6將輸入的數(shù)乘以3之 后輸出。這些裝置可以連接，如在裝置a后連接裝置b,就記作：例如：輸人1后， 經(jīng)過輸出3. 5o (1)若經(jīng)過atbtctd,輸出120,則輸入的數(shù)是多少?(2)若經(jīng)過 輸出13,則輸入的數(shù)是多少？【考點(diǎn)】計(jì)算中的還原問題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，二試，第16題，可逆思

15、想方法【解析】方法一：逆向考慮。(1)輸入到d的數(shù)為120-3=40,輸入到c的數(shù)為40+5二45,輸入到b的數(shù)為 45x2=90,所以輸入到a的數(shù)是90-6=84o (2)輸入到c的數(shù)是13+5=18,輸入到a的數(shù)是18-6=12, 輸入到d的數(shù)是123=4,所以輸入到b的數(shù)是4x2=8o(a、方法二：(1)設(shè)輸入的數(shù)是兀，則(一-5 x3=120解得，尸84。(2)設(shè)輸入的數(shù)是y,則6爭(zhēng),、2 丿 2解得-8【答案】(1) 84 ；(2) 8【例71哪吒是個(gè)小馬虎，他在做一道減法題時(shí)，把被減數(shù)十位上的6錯(cuò)寫成9,減數(shù)個(gè)位上的9錯(cuò)寫成6, 最后所得的差是577,那么這道題的正確答案應(yīng)該是多少

16、呢？【考點(diǎn)】計(jì)算中的還原問題 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】被減數(shù)十位上的6變成9,使被減數(shù)增加90-60 = 30,差也增加了 30;減數(shù)個(gè)位上的9錯(cuò)寫成6, 使減數(shù)減少了 9-6 = 3,這樣又使差增加了 3,這道題可以說成：正確的差加上30后又加上3得577, 求正確的差.所以列式得：577-(9-6)-(90-60) = 544.這題的正確答案應(yīng)該是544.【答案】544【鞏固】小馬虎在做一道加法題時(shí)，把一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的9看作6,十位上的6看作9,結(jié)果和是174,那么 正確的結(jié)果應(yīng)該是多少呢？【考點(diǎn)】計(jì)算中的還原問題【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想

17、方法【解析】我們可以這樣理解這道題的意思：一個(gè)數(shù)(正確答案)，由于小馬虎兩次錯(cuò)誤的計(jì)算，變成了另一個(gè)數(shù) (錯(cuò)誤結(jié)果)，我們知道引起這種變化的原因是： 把個(gè)位上的9看作6 ,這就相當(dāng)于把正確答案減少了 9-6 = 3 把十位上的6看作9,這就相當(dāng)于把正確答案增加了： 10x(9-6) = 30這樣原題就變成了“一個(gè)數(shù)減去3,再加上30,所得結(jié)果是174,求這個(gè)數(shù).”我們只要把少加的加上， 多加的減去，就可以求出正確的結(jié)果：174 + (9 6) 10x(9 6) = 174 + 3 30 = 147【答案】147【鞏固】淘氣在做一道減法時(shí)，把減數(shù)個(gè)位上的9看成了 3,把十位上的4看成了 7,得到

18、的結(jié)果是164,請(qǐng) 你幫淘氣算算正確的答案應(yīng)該是多少呢？【考點(diǎn)】計(jì)算中的還原問題【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】164 + (73 49)= 188.164-6 + 30 = 188.【答案】188【鞏固】小新在做一道加法題，由于粗心，將個(gè)位上的5看作9,把十位上的8看作3,結(jié)果所得的和是123正 確的答案是多少？【考點(diǎn)】計(jì)算中的還原問題【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】倒推法，把個(gè)位上的5看作9,相當(dāng)于把正確的和多算了 4,求正確的和，應(yīng)把4減去；把十位上的 8看作3,相當(dāng)于把正確的和少算了 50,求正確的和，應(yīng)把50加上去.所以正確的和是： 1

19、23 + 50- 4 = 169.即：123 + (80 30) (9 5) = 169.【答案】169模塊二、單個(gè)變量的還原問題【例81 一只猴吃63只桃，第一天吃了一半加半只，以后每天吃前一天剩下的一半再加半只，則 天后桃子被吃完?！究键c(diǎn)】單個(gè)變量的還原問題【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試【解析】通過畫表格的方式，可知答案是6.【答案】6天【例9乒乓球從高空落下，到達(dá)地面后彈起的高度是落下高度的一半，如果乒乓球從8米的高度落下, 那么彈起后再落下，則彈起第次時(shí)它的彈起高度不足1米?！究键c(diǎn)】單個(gè)變量的還原問題【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，三年級(jí)，初賽，可逆

20、思想方法【解析】彈起第一次時(shí)變?yōu)?米，彈起第二次時(shí)變?yōu)?米，彈起第三次時(shí)變化為1米，第4次彈起時(shí)不足i 米，所以彈起第4次時(shí)不足1米?！敬鸢浮?次【例10李奶奶賣一筐雞蛋，第一位客人買走了一半少2個(gè)，第二位客人又買走了剩下的一半多2個(gè)，第 三位客人把剩下的5個(gè)雞蛋全部買走了.老婆婆的籃子里原來有個(gè)雞蛋.【考點(diǎn)】單個(gè)變量的還原問題【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，1年級(jí)，第12題，可逆思想方法【解析】用倒堆的方法，第二位客人沒有買走之前共有7 + 7 = 14 (個(gè))，第一位客人沒買走之前就是14-2 = 12 (個(gè))，12 + 12 = 24 (個(gè)).考點(diǎn)數(shù)學(xué)方法倒退法【答案】24個(gè)

21、【鞏固】小紅看一本故事書，第一天看了這本書的一半又10頁，第二天看了余下的一半又10頁，第三天看 了 10頁正好看完。這本故事書共有頁。【考點(diǎn)】單個(gè)變量的還原問題【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，一試，第13題，可逆思想方法【解析】第三天看的10頁等于第一天看了余下的一半少10頁，所以第一天看了余下了（10+10）x2=4o頁, 所以原來有（40+10） x2=100頁.【答案】100頁【例11學(xué)學(xué)看到太上老君正在用一根繩子拴寶葫蘆，第一次用去全長(zhǎng)的一半還多2米，第二次用去余下 的一半少10米，第三次用去15米，最后還剩9米，那么這根繩子原來有多少米呢？【考點(diǎn)】單個(gè)變量的還原問

22、題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】用去15米還剰9米第二次r 丫 1卜根據(jù)題意，畫圖倒推分析：用去剩下24米第二次 r :10米用去415 + 9 = 24（米）一半（24-10）x2 = 28（米）剰正於米2x（28 + 2）x2 = 60（米）【答案】所以，這根繩子全長(zhǎng)60米.60米【鞏固】一個(gè)人沿著公園馬路走了全長(zhǎng)的一半后，又走了剩下路程的一班，還剩下1千米，問：公園馬路全 長(zhǎng)多少千米？【考點(diǎn)】單個(gè)變量的還原問題 【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】如圖：采取倒推的方法，1千米是第一次剩下的路程的一半，所以第一次剩下路程就是1x2 = 2 （千 米

23、）。而第一次剩下的路程2千米又是全程長(zhǎng)的一半，所以全程長(zhǎng)為2x2 = 4 （千米）。答：公園馬路全長(zhǎng)為4千米?！敬鸢浮?千米【鞏固】一捆電線，第一次用去全長(zhǎng)的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最 后還剩7米。這捆電線原來有多少米？【考點(diǎn)】單個(gè)變量的還原問題【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】為了幫助同學(xué)們分析數(shù)量關(guān)系，可依照題意畫出右圖。從線段圖上可以看出：第一次用的v一半一半(1) 7 + 15-10 = 12 (米)，就是第一次用去后余下的一半。(2) 12x2 = 24 (米)，就是余下的電線長(zhǎng)度。(3) 24 + 3 = 27 (米)，就是

24、全長(zhǎng)的一半。(4) 27x2 = 54 (米)，就是原來電線的長(zhǎng)度。綜合列式計(jì)算：(7 + 15-10)x2 + 3x2 =(12x2 + 3)x2 = 27x2 =54 (米) 答：這捆電線原來有54米?！敬鸢浮?4米【鞏固】甲在加工一堆零件，第一天加工了這堆零件的一半又10個(gè)，第二天又加工了剩下的一半又10個(gè), 還剩下25個(gè)沒有加工，問：這批零件有多少個(gè)？【考點(diǎn)】單個(gè)變量的還原問題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】如右圖所示,可以有如下算式：25 + 10 = 35 (個(gè))，35x2 = 70 (個(gè))，70 + 10 = 80 (個(gè))，80x2 = 160 (個(gè)) 列綜

25、合算式：(25 + l()x2 + l()x2 = 16(),答：這批零件共有160個(gè)?！敬鸢浮?60個(gè)【鞏固】食堂買進(jìn)一批大米，第一天吃了全部的一半少28千克，第二天吃了余下的一半少8千克，最后剩下 122千克.這批大米共有多少千克？【考點(diǎn)】單個(gè)變量的還原問題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】列式為：(122 8)x2 28x2 = 200x2 = 400(千克)【答案】400千克【鞏固】山頂上有棵桃數(shù)，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了總數(shù)的一半多2個(gè)，第二天又偷吃了剩下的一 半多2個(gè)，這時(shí)還剩1個(gè)，問：樹上原來有多少個(gè)桃子？【考點(diǎn)】單個(gè)變量的還原問題【難度】3星 【題型】

26、解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】2x(l + 2)x2 + 2 = 16(個(gè)).【答案】16個(gè)【例12盒子里有若干個(gè)球。小明每次拿出盒中的一半再放回一個(gè)球。這樣共操作了 7次，袋中還有3個(gè)球。 袋中原有()個(gè)球。【考點(diǎn)】單個(gè)變量的還原問題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級(jí)，初賽【解析】倒退法：如，第7次操作前，還剩（3-l）x2 = 4個(gè)球。100【答案】4個(gè)球【例13有一個(gè)培養(yǎng)某種微生物的容器，這個(gè)容器的特點(diǎn)是：往里面放入微生物，再把容器封住，每過一 個(gè)夜晚，容器里的微生物就會(huì)增加一倍，但是，若在白天揭開蓋子，容器內(nèi)的微生物就會(huì)正好減 少16個(gè)。小麗在實(shí)驗(yàn)的當(dāng)天往容器里放入一

27、些微生物，心急的她在第二、三、四天斗開封看了看, 到第五天，當(dāng)她又啟封查看時(shí)，驚訝地發(fā)現(xiàn)微生物都沒了。請(qǐng)問：小麗開始往容器里放了_個(gè) 微生物？【考點(diǎn)】單個(gè)變量的還原問題【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第15題【解析】還原倒推：0168241228143015所以原來容器內(nèi)放了 15個(gè)微生物.【答案】15個(gè)【例14小麗用4元買了一本童話大王，又用剩下的錢的一半買了一本兒童時(shí)代，買鋼筆又用去第二 次剩下的錢的一半多1元，最后還剩4元，問：小麗原有多少錢？【考點(diǎn)】單個(gè)變量的還原問題【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法原有錢數(shù)【解析】用倒推法，第二次剩下的一半是4

28、 + 1 = 5 （元），第二次剩下5x2 = 10 （元），第一次剩下10x2 = 20 （元），原來有20 + 4 = 24 （元）。列綜合算式：（4 + l）x2x2 + 4 = 24答：小麗原有24元。【答案】24元【鞏固】有一筐蘋果，甲取出一半又1個(gè)；乙取出余下的一半又1個(gè)；丙取出再余下的一半又1個(gè)，這時(shí)筐 里只剩下1個(gè)蘋果。這筐蘋果共值6元6角，問每個(gè)蘋果平均值多少錢？【考點(diǎn)】單個(gè)變量的還原問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】再余下的一半從上面的線段圖可以看出：最后剩下的1個(gè)再加上丙取出的1個(gè)就是再余下的一半，即2個(gè)是再余下的一半，因此，再余下的 就是2x

29、2 = 4 （個(gè)）；4個(gè)再加上乙取出的1個(gè)就是余下的一半，所以，甲取出后余下的就是5x2 = 10 （個(gè)）；10個(gè)再加上甲取出的1個(gè)就是全筐的一半，所以，全筐蘋果的總數(shù)是11x2 = 22 （個(gè)）。22個(gè)蘋果共值6元6角，于是可求出每個(gè)蘋果平均值多少錢？先求有多少個(gè)蘋果： （1+1）x2+1x2 + 1x2 = 22 （個(gè)）再求每個(gè)蘋果平均值多少錢：66-22 = 3 （角），每個(gè)蘋果平均 值3角錢?！敬鸢浮?角【例15思思看到織女在織布，她把一段五彩布第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，這時(shí)還剩下8 米，你知道這段五彩布原來長(zhǎng)多少米嗎？【考點(diǎn)】單個(gè)變量的還原問題【難度】3星【題型】解答【

30、關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】根據(jù)題意，畫出線段圖，倒推分析.-一 剪去一半剰下8米第二次午 8x2 = 16«）剪走一半剩疋16米第次嚴(yán)亠十亠1 & 2= 3（米）所以這段五彩布原來長(zhǎng)32米.【答案】32米【鞏固】一群螞蟻搬家，原存一堆食物.第一天運(yùn)出總數(shù)的一半少12克.第二天運(yùn)出剩下的一半少12克， 結(jié)果窩里還剩下43克.問螞蟻家原有食物多少克？【考點(diǎn)】單個(gè)變量的還原問題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】采用倒推法，教師可畫線段圖幫助學(xué)生理解.如果第二天再多運(yùn)出12克，就是剩下的一半，所以第 一天運(yùn)出后，剩下的一半重量是43-12 = 31（克）；這樣，

31、第一天運(yùn)出后剩下的重31x2 = 62（克）.那么 同理，一半的重量是62-12 = 50（克），原有食物50x2 = 100（克）.即（43-12）x2-12 x2 = 100（克）.【答案】100克【鞏固】一捆電線，第一次用去全長(zhǎng)的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最 后還剩7米，這捆電線原有多少米？【考點(diǎn)】單個(gè)變量的還原問題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】由逆推法知，第二次用完還剩下15+7 = 22（米），第一次用完還剩下（22-10）x2 = 24（米），原來電線 長(zhǎng)（24 +3）x2 = 54（米），（15 + 7-10）x2 + 3

32、 = x2 = 54（米）.【答案】54米【例16工程隊(duì)要修一條小路，第一天修了全長(zhǎng)的一半多6米，第二天修了余下的一半少20米，第三天修 了 30米，此時(shí)還剩下14米沒有修，則這條小路長(zhǎng)米?！究键c(diǎn)】單個(gè)變量的還原問題【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】可逆思想方法，2008年，陳省身杯【解析】如圖1所示，先根據(jù)線段圖理清數(shù)量關(guān)系，可得全長(zhǎng)為：（14 + 30 20）x2 + 6x2 = 108 （米）?！眷柟獭啃藿ㄒ粭l下水道，第一周修了全長(zhǎng)的一半多12米，第二周修了剩下的一半少12米，第三周修了30米，最后還剩18米，這條下水道長(zhǎng)多少米？【考點(diǎn)】單個(gè)變量的還原問題【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵

33、詞】可逆思想方法【解析】如下圖，從圖中可知30 + 18-12 = 36是第一周修后余下的一半，36x2-12 = 84米是下水道全長(zhǎng)的一 半.列式為：(30+18-12)x2 + 12x2 = 84x2 = 168«),所以，這條下水道長(zhǎng)168米.畫圖法的關(guān)鍵: 標(biāo)好有倍數(shù)關(guān)系的位置?！敬鸢浮?68米【例17貨場(chǎng)原有煤若干噸。第一次運(yùn)出原有煤的一半，第二次運(yùn)進(jìn)450噸，第三次又運(yùn)出現(xiàn)有煤的 一半又50噸，結(jié)果剩余煤的2倍是1200噸。貨場(chǎng)原有煤多少噸？【考點(diǎn)】單個(gè)變量的還原問題【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】這道題由于原有煤的總噸數(shù)是未知的，所以要想順解是很不

34、容易的，我們先看圖4,然后再分析。1200 噸結(jié)合上面的線段圖，用倒推法進(jìn)行分析，題中的數(shù)量關(guān)系就可以躍然紙上，使學(xué)生們一目了然。 根據(jù)“剩余煤的2倍是1200噸"，就可以求剩余煤的噸數(shù)；根據(jù)“第三次運(yùn)出現(xiàn)有煤的一半又50 噸”和剩余煤的噸數(shù)，就可以求出現(xiàn)有煤的一半是多少噸，進(jìn)而可求出現(xiàn)有煤的噸數(shù)；用現(xiàn)有煤 的噸數(shù)減去第二次運(yùn)進(jìn)的450噸，就可以求出原有煤的一半是多少，最后再求出原有煤多少噸。(1) 剩余煤的噸數(shù)是：1200-2 = 600 (噸)(2) 現(xiàn)有煤的一半是：600 + 50 = 650 (噸)(3) 現(xiàn)有煤的噸數(shù)是：650x2 = 1300 (噸)(4) 原有煤的一半是

35、：1300 450 = 850 (噸)(5) 原有煤的噸數(shù)是：850x2 = 1700 (噸)答：貨場(chǎng)原來有煤1700噸?！敬鸢浮?700噸【例181從前，有一位樵夫，整天幻想著遇見神仙，求得一種不花氣力就能發(fā)財(cái)?shù)母[門.一天，有一位 老人突然來到樵夫面前，對(duì)他說：“你不是想見到神仙嗎？ ”樵夫苦苦哀求：“我在山里砍了三天 柴，累的要死要活，才賣的這么幾個(gè)錢.您老人家神通廣大，懇求您指點(diǎn)，使我可以不費(fèi)力氣 就能得到錢吧！”老人指著東邊的一座石頭橋說：“好吧！從現(xiàn)在開始，你只要從那座橋上每走 一個(gè)來回，口袋里的錢都會(huì)增長(zhǎng)一倍，但是每次回來都要付給我24個(gè)錢作為報(bào)酬”樵夫高興的 在橋上走了一個(gè)來回，

36、他數(shù)一數(shù)口袋里的錢，果然增長(zhǎng)了一倍.他拿出24個(gè)錢交給神仙，然后 又向橋上走去，等到他第三次回來，把24個(gè)錢交給神仙后，摸一摸口袋，里面竟然一個(gè)錢都沒 有了.正當(dāng)他焦急不安的時(shí)候，神仙按原數(shù)把錢留下飄然而去，并留下一句話：“年輕人，不勞 而獲可不行??！”故事讀完了，小朋友們，你能不能算出，樵夫原來有多少錢呢？【考點(diǎn)】單個(gè)變量的還原問題【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】這個(gè)故事里包含的算題是：樵夫每次在橋上走一個(gè)來回，口袋里面的錢會(huì)增長(zhǎng)1倍，樵夫第三次回 來，交付24個(gè)錢給神仙后，他的口袋里就一無所有了 .問樵夫原來有多少錢？我們可以倒著想，最 后樵夫從橋上回來后，口袋里面

37、只有24個(gè)錢，第二次交給神仙后有24-2 = 12 （個(gè)）錢，從橋上回 來后有：12 + 24=36 （個(gè)）錢，也就是第一次交給神仙后還剩：36-2 = 18 （個(gè)）錢，第一次從橋 上回來后有：18 + 24 = 42 （個(gè)）錢，所以樵夫一開始有：42+2 = 21 （個(gè)）錢.【答案】21個(gè)【鞏固】有一個(gè)財(cái)迷總想使自己的錢成倍增長(zhǎng)，一天他在一座橋上碰見一個(gè)老人，老人對(duì)他說：“你只要走 過這座橋再回來，你身上的錢就會(huì)增加一倍，但作為報(bào)酬，你每走一個(gè)來回要給我32個(gè)銅板”財(cái) 迷算了算挺合算，就同意了.他走過橋去又走回來，身上的錢果然增加了一倍，他很高興地給了老 人32個(gè)銅板.這樣走完第五個(gè)來回，身

38、上的最后32個(gè)銅板都給了老人，一個(gè)銅板也沒剩下.問： 財(cái)迷身上原有多少個(gè)銅板？【考點(diǎn)】單個(gè)變量的還原問題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】第五次回來時(shí)有32個(gè)銅板，表明第五次走時(shí)有16個(gè)銅板（因?yàn)樽叩綐驅(qū)γ驽X數(shù)要增加一倍），頭表 明第四次回來時(shí)有48個(gè)銅板（因?yàn)橐o老人32個(gè)銅板）依次類推即可.推算過程可列表如下：往返次數(shù)第五次第四次第三次第二次第一次回到老人身 辺時(shí)銅板數(shù)3248566062離開老人身 邊時(shí)銅板數(shù)1624283031所以原來有31個(gè)銅板.【答案】31個(gè)【鞏固】某人發(fā)現(xiàn)了一條魔道，下面有一個(gè)存錢的小箱子，當(dāng)他從魔道走過去的時(shí)候，箱子里的一些錢會(huì)飛 到人的身上

39、使人身上的錢增加一倍，這人很高興；當(dāng)他從魔道走回來時(shí)，身上的錢會(huì)飛到箱子里， 使箱子里的錢增加一倍；這人一連走了 3個(gè)來回后，箱子里的錢和人身上的錢都是64枚一元的硬 幣，那么原來這人身上有多少元？箱子里有多少元？【考點(diǎn)】單個(gè)變量的還原問題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】已知這個(gè)人和錢箱里最后都有64元，采用倒推法解題，列表如下：往追次數(shù)第三次第二次第一次從魔道走回來前身上錢數(shù)死:亞；86從魔道走回來前箱申錢數(shù)32<142從魔道走過去前身上錢數(shù)484443從魔道走過去前箱中錢數(shù)3u8485所以最開始這個(gè)人身上有43元，箱子里有85元.【答案】85元【例19學(xué)學(xué)和思思

40、見到一種神奇的蟲子，它每小時(shí)就長(zhǎng)一倍，1天能長(zhǎng)到20厘米，聰明的小朋友，你知 道小蟲長(zhǎng)到5厘米時(shí)需要多少小時(shí)嗎？【考點(diǎn)】單個(gè)變量的還原問題【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】小蟲每小時(shí)長(zhǎng)一倍的意思是：第二個(gè)小時(shí)的身長(zhǎng)是第一個(gè)小時(shí)的2倍，第三個(gè)小時(shí)的身長(zhǎng)是第二個(gè) 小時(shí)的2倍，第四個(gè)小時(shí)的身長(zhǎng)是第三個(gè)小時(shí)的2倍，1天是24個(gè)小時(shí)，從24小時(shí)能長(zhǎng)到20厘米開始，往前倒推，當(dāng)長(zhǎng)到20-2 = 10（厘米）時(shí)，就是第23個(gè)小時(shí)，以此倒推.（方法一）用倒推法解：20-22 = 5（厘米），24 1 1 = 22（，卜時(shí)）（方法二）用列表倒推法解：出生夭數(shù)小蟲身長(zhǎng)c4米）24202310

41、225【答案】22小時(shí)【例20桃園里來了第一群猴子，吃去桃子總數(shù)的一半又半個(gè)；第二群猴子又來吃掉剩下桃子的一半又半 個(gè)；第三群猴子又來吃掉剩下桃子數(shù)的一半又半個(gè)這時(shí)桃園里還只有100個(gè)桃了那么園中原有多 少桃？【考點(diǎn)】單個(gè)變量的還原問題【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】第三群猴沒吃,相應(yīng)有桃：（100 + 0.5）x2 = 201（個(gè)）第二群猴沒吃，相應(yīng)有桃：（201+05）x2 = 403（個(gè)）第一群猴沒吃，相應(yīng)有桃（即桃園中原有桃）：（403 + 05）x2 = 807 （個(gè)）【答案】807個(gè)【鞏固】山頂上有棵桃數(shù)，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了總數(shù)的一半多2個(gè)，第二天又偷吃了剩下的一 半多2個(gè)，這時(shí)還剩1個(gè)，問：樹上原來有多少個(gè)桃子？【考點(diǎn)】單個(gè)變量的還原問題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】2x（l + 2）x2 + 2 = 1