下冊第五章第5-7節(jié)角平分線的性質(zhì);等腰三角形;等邊三角形

1、年 級初一學(xué) 科數(shù)學(xué)版 本湘教版內(nèi)容標(biāo)題角平分線的性質(zhì)、等腰三角形、等邊三角形編稿老師【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容： 角平分線的性質(zhì)、等腰三角形、等邊三角形 教學(xué)目標(biāo)： 1. 掌握角平分線定義，角是軸對稱圖形，對稱軸是它的角平分線所在直線，掌握角平分線的性質(zhì)，并能運用它解決有關(guān)問題，掌握三角形內(nèi)心的性質(zhì)。 2. 了解等腰三角形的有關(guān)概念，掌握等腰三角形的性質(zhì)。 3. 能熟練運用等腰三角形的性質(zhì)求角。 4. 能利用一個三角形是等腰三角形的條件，正確判斷某個三角形是否是等腰三角形。 5. 了解等邊三角形的有關(guān)概念，掌握等邊三角形的性質(zhì)。 6. 熟練運用等邊三角形的性質(zhì)。 7. 能利用一個三角形是

2、等邊三角形的條件，判斷某三角形是否是等邊三角形。 8. 探索圖形的特征，體驗數(shù)學(xué)研究與發(fā)現(xiàn)的過程，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)說理的習(xí)慣。二. 重點、難點： 重點：角平分線的性質(zhì)與應(yīng)用，利用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算與推理，等腰三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定的運用。 難點：角平分線的性質(zhì)運用，等腰三角形的邊與角沒有指明具體情況時往往要分底邊、腰與底角、頂角的兩種情況討論解題，等腰三角形與等邊三角形的判定。 知識要點： 1. 角平分線定義 把一個角分成兩個相等的角的射線叫作角的平分線。 2. 角平分線的性質(zhì) 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。 3. 角平分線性質(zhì)的應(yīng)用 三角形兩內(nèi)角

3、的平分線的交點到三角形三邊的距離相等。 說明：三角形三個角的平分線交于一點，這點叫三角形的內(nèi)心，三角形內(nèi)心到三角形三邊距離相等。 4. 等腰三角形的有關(guān)概念 有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形。等腰三角形中，相等的兩邊都叫作腰，另一邊叫作底。兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊的夾角叫底角。 5. 等腰三角形的性質(zhì) （1）等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線與底邊上的高互相重合，簡稱“三線合一”。 （2）等腰三角形是軸對稱圖形，頂角的平分線（或底邊上的中線或底邊上的高線）所在的直線或底邊上的垂直平分線都是它的對稱軸。 （3）等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”） 6. 等腰三角形的判定 （1）

4、有兩條邊相等的三角形是等腰三角形 （2）有兩個角相等的三角形是等腰三角形（簡寫成“等角對等邊”） 7. 等邊三角形的概念 三邊相等的三角形叫等邊三角形，又叫正三角形。 8. 等邊三角形的性質(zhì) （1）等邊三角形各個內(nèi)角都相等，并且每一個內(nèi)角為60°。 （2）等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸，是每一邊上的垂直平分線。 9. 等邊三角形的判定 （1）有三條邊相等的三角形是等邊三角形 （2）三個角都是60°的三角形是等邊三角形 （3）有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形【典型例題】 例1. 如圖1，ABC中，BE是ABC的角平分線，且DE/BC，試證明DBE為等

5、腰三角形。 分析：證明DBE為等腰三角形，則要證DBE中有角相等，邊相等，而由已知BE為ABC的平分線則產(chǎn)生角相等，由平行也可產(chǎn)生角相等，因此可由已知推出角相等，得到邊相等。 證明：BE為ABC的角平分線 DBEEBC 又DE/BC DEBEBC DEBDBE DBDE DBE為等腰三角形 例2. 直線AB、CD、EF表示三條相互交叉的公路，如圖2所示，現(xiàn)要建一個中轉(zhuǎn)站，使它到三條公路的距離相等，在圖中畫出符合條件的中轉(zhuǎn)站的位置。 分析：設(shè)它們的交點為L、M、N，如圖所示： 中轉(zhuǎn)站的位置可在LMN內(nèi)，也可在LMN外，根據(jù)已知要求中轉(zhuǎn)站在每兩條公路交角的平分線上。 作法： 1. 作MLN與MNL

6、的平分線LH與NG，它們交于點O1 2. 作ALM與LMF的平分線交于O2 3. 作CLN與ENL的平分線交于O3 4. 作BNM與NMD的平分線交于O4 5. 圖中O1，O2，O3，O4都可設(shè)為中轉(zhuǎn)站 例3. （1）已知等腰三角形有一個內(nèi)角為80°，求其他兩個內(nèi)角的度數(shù)。 （2）已知等腰三角形有一個內(nèi)角等于100°，求其他兩個內(nèi)角的度數(shù)。 分析：求等腰三角形的角，沒指出是底角還是頂角，先判定它可能是什么角，該討論的要討論。 解：（1）當(dāng)80°的角為頂角時，其余二個角的大小相等，都為底角，都為： 當(dāng)80°的角為底角時，其余二個角中有一個角為底角是80&#

7、176;，另一個角為頂角是： 180°80°×220° 答：其他二個內(nèi)角的度數(shù)為50°，50°或80°，20°。 （2）100°的角只可能為頂角，則其余兩角為底角，為： 答：其他兩個內(nèi)角的度數(shù)為40°，40°。 例4. 如圖3所示，已知ABAC，DBDC，P是AD上一點，求證：ABPACP。 分析：此題考查等邊對等角和線段垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等，可證得角相等。 證明：連結(jié)BC ABAC，ABCACB ABAC，DBDC 點A、D都在線段BC的垂直平分線上，而兩點確定一條直

8、線 AD是線段BC的垂直平分線 PBPC PBCPCB ABCPBCACBPCB ABPACP 例5. 如圖4所示，已知ABC中，ABAC，D是ABC內(nèi)一點，ADB>ADC，試說明DB<DC。 分析：由ABAC，我們不妨將ABD繞A點旋轉(zhuǎn)到ACE的位置，要證DB<DC，可利用邊角不等關(guān)系，證明邊角不等關(guān)系有大邊對大角，小邊對小角，反過來大角對大邊，小角對小邊。 解：把ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)BAC的度數(shù)得到ACE 連結(jié)DE，可得BDCE ADBAEC，又ADAE，則ADEAED 又因為ADB>ADC 即AEC>ADC 則AECAED>ADCADE 即CED&g

9、t;CDE 在DCE中，DC>CE，則DC>BD 因此DB<DC 例6. 如圖5，把一張長方形紙片對折，使頂點B和D重合，折痕為EF，試說明DEF的形狀。 分析：對于折疊后的邊角進(jìn)行分析，看哪些量相等，要注意觀察分析，由于折痕為EF，B點與D點重合，則12，BFDF，AEAE，ABAD，這里只用到12判斷角的關(guān)系，折疊前AD/BC，則13，因此得23，可判定的形狀。 證明：根據(jù)折疊性質(zhì)知12 四邊形ABCD為長方形，AD/BC 13 23，DEDF DEF為等腰三角形 例7. 如圖6，ABC為等腰三角形，分別以兩腰為邊向外作等邊ABD與等邊ACE，已知DAEDBC，求ABC的

10、三個內(nèi)角的度數(shù)。 分析：在已知邊的相等關(guān)系求角的題目中，要靈活運用等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和為180°是隱含條件，要善于利用。 解：ABD與ACE為等邊 DABDBA60°，EACACE60° DAEDBC DAEDABBACEAC DBCDBAABC DABBACEACDBAABC 即60°BAC60°60°ABC 則BAC60°ABC 在ABC中，ABAC，ABCACB ABCACB60°BAC 而ABCACBBAC180° BAC20° ABCACB80° 例8.

11、 已知ABC中，ABAC，A36°，請你設(shè)計三種不同的分法，將ABC分割成3個三角形，使每個三角形都是等腰三角形（要求標(biāo)出所分得的每個等腰三角形三個內(nèi)角的度數(shù)） 分析：這類題與傳統(tǒng)的作圖題比較，符合題意的答案多種多樣，開放性強，轉(zhuǎn)換不同的角度，依據(jù)不同的知識點可設(shè)計幾種方案。 解：如圖所示幾種分割方法： 說明：再想一想，還有其他分割方案嗎？【模擬試題】（答題時間：30分鐘）一. 填空 1. 角的對稱軸有_條，是它的_。 2. 如圖，射線OC平分AOB，E為射線OC上一點，EDOA，EFOB，則有_，因為_。 3. 等腰三角形兩邊長分別為4cm，6cm，則第三邊為_。 4. 等腰三角形

12、的一個角為66°，則另外兩角的度數(shù)為_。 5. 一個等腰三角形的頂角為鈍角，則底角的范圍應(yīng)為_。 6. 等腰三角形的角平分線，中線，高共有_條線段。 7. 在ABC中，ABAC，AB115°，則A_，B_。 8. 等腰三角形的一邊長為4cm，周長為10cm，則另外兩邊長為_。 9. 等腰三角形底邊上的一點到兩腰的距離之和等于_。 10. 有一個角為60°的_為等邊三角形。 11. 在等邊三角形中兩條中線相交所成的鈍角的度數(shù)為_。 12. 若一個三角形任何一邊上的高線都平分該邊，則它是_三角形。二. 解答證明題 1. 如圖所示，ABC的兩個外角的平分線交于P，PEA

13、B，PFAC，試證明，PEPF。 2. 等腰三角形ABC中，腰AC上的中線BD把三角形的周長分為12cm和15cm兩部分，求此三角形各邊的長。 3. 如圖所示，ABC為等邊三角形，123，求BEC的度數(shù)。【試題答案】一. 填空 1. 1角平分線 2. EDEF角平分線上的點到角的兩邊距離相等 3. 4cm或6cm 4. 66°和48°或57°和57° 5. 6. 3條或7條 7. 50°65° 8. 4cm和2cm或3cm和3cm 9. 此等腰三角形一腰的高的長 10. 等腰三角形 11. 120° 12. 等邊二. 解答題 1. 證明：過P點作PGBC，垂足為G 12 PEA