空間向量及其運(yùn)算(5)課件

1、8.6 8.6 空間向量及其運(yùn)算空間向量及其運(yùn)算要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理1.1.空間向量的有關(guān)概念空間向量的有關(guān)概念 (1)(1)空間向量：在空間中，具有空間向量：在空間中，具有 和和 的量的量 叫做空間向量叫做空間向量. . (2) (2)相等向量：方向相等向量：方向 且模且模 的向量的向量. . (3) (3)共線向量：表示空間向量的有向線段所在直共線向量：表示空間向量的有向線段所在直 線互相線互相 于同一平面的向量于同一平面的向量. . (4) (4)共面向量：共面向量： 的向量的向量. .大小大小平行或重合平行或重合基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)2.2.共線向量、共面向量定理和空間向量基本

2、定理共線向量、共面向量定理和空間向量基本定理 （1 1）共線向量定理）共線向量定理 對空間任意兩個向量對空間任意兩個向量a a, ,b b( (b b0 0),),a ab b的充要條的充要條 件是件是 . . 推論推論 如圖所示，點(diǎn)如圖所示，點(diǎn)P P在在l l上的充要條上的充要條 件是：件是： 其中其中a a叫直線叫直線l l的方向向量，的方向向量，t tR R, , 在在l l上取上取 , ,則則可化為可化為存在實(shí)數(shù)存在實(shí)數(shù)，使得，使得a a= =b btaOAOPaABOP.)1 (OBtOAtOP或ABtOA（2 2）共面向量定理的向量表達(dá)式：）共面向量定理的向量表達(dá)式：p p= =

3、，其中，其中x x, ,y yR R, ,a a, ,b b為不共線向量，推論的為不共線向量，推論的表達(dá)式為表達(dá)式為 或?qū)臻g任意一點(diǎn)或?qū)臻g任意一點(diǎn)O O有有, ,其中其中x x+ +y y+ +z z=1.=1.(3)(3)空間向量基本定理空間向量基本定理如果三個向量如果三個向量a a, ,b b, ,c c不共面，那么對空間任一向不共面，那么對空間任一向量量p p, ,存在有序?qū)崝?shù)組存在有序?qū)崝?shù)組 x x, ,y y, ,z z ，使得，使得p p= = ，把把 a a, ,b b, ,c c 叫做空間的一個基底叫做空間的一個基底. .xaxa+ +ybybMByMAxMPOPMByMA

4、xOM,OBzOAyOMxOP或xaxa+ +ybyb+ +zczc3.3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律 （1 1）數(shù)量積及相關(guān)概念）數(shù)量積及相關(guān)概念 兩向量的夾角兩向量的夾角 已知兩個非零向量已知兩個非零向量a a, ,b b, ,在空間任取一點(diǎn)在空間任取一點(diǎn)O O, , 作作 = =a a， = =b b，則，則 叫做向量叫做向量a a與與b b的的 夾角，記作夾角，記作 , ,其范圍是其范圍是 , , 若若a a, ,b b= ,= ,則稱則稱a a與與b b , ,記作記作a ab b. . 兩向量的數(shù)量積兩向量的數(shù)量積 已知空間兩個非零向量已知空間兩個非零向量a

5、a, ,b b, ,則則 叫做向量叫做向量a a, ,b b的數(shù)量積的數(shù)量積, ,記作記作 , ,即即 . .OAOBAOBAOBa a, ,b b00a a, ,b b2互相垂直互相垂直| |a a|b b|cos|cosa a, ,b ba ab ba ab b=|=|a a|b b| |coscosa a, ,b b (2) (2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律 結(jié)合律結(jié)合律:(:(a a)b b= = ； 交換律：交換律：a ab b= = ; ; 分配律：分配律：a a（b b+ +c c）= = . .4.4.空間向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用 （1 1

6、）數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算）數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 若若a a=(=(a a1 1, ,a a2 2, ,a a3 3),),b b=(=(b b1 1, ,b b2 2, ,b b3 3),), 則則a ab b= = . . （2 2）共線與垂直的坐標(biāo)表示）共線與垂直的坐標(biāo)表示 設(shè)設(shè)a a=(=(a a1 1, ,a a2 2, ,a a3 3),),b b=(=(b b1 1, ,b b2 2, ,b b3 3),), 則則a ab b , , , , , ,（a ab b）b ba aa ab b+ +a ac ca a1 1b b1 1+ +a a2 2b b2 2+ +a a3 3b b3 3a

7、 a= =b ba a1 1= =b b1 1a a2 2= =b b2 2a a3 3= =b b3 3( (R R) )a ab b ( (a a, ,b b均為非零均為非零向量）向量）. .（3 3）模、夾角和距離公式）模、夾角和距離公式設(shè)設(shè)a a=(=(a a1 1, ,a a2 2, ,a a3 3),),b b=(=(b b1 1, ,b b2 2, ,b b3 3),),則則| |a a|= |= ，coscosa a, ,b b= = . .若若A A（a a1 1，b b1 1，c c1 1），），B B（a a2 2，b b2 2，c c2 2），），則則d dABAB=

8、= = . .a ab b=0=0a a1 1b b1 1+ +a a2 2b b2 2+ +a a3 3b b3 3=0=0aa332221aaa|baba232221232221332211bbbaaabababa| AB212212212)()()(ccbbaa基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測1.1.下列命題中是真命題的是下列命題中是真命題的是( )( ) A. A.分別表示空間向量的有向線段所在的直線是分別表示空間向量的有向線段所在的直線是 異面直線，則這兩個向量不是共面向量異面直線，則這兩個向量不是共面向量 B.B.若若| |a a|=|=|b b| |，則，則a a，b b的長度相等且方向相同或的

9、長度相等且方向相同或 相反相反 C.C.若向量若向量 ， 滿足滿足 且且 與與 同向，則同向，則 D. D.若兩個非零向量若兩個非零向量 與與 滿足滿足 + =0+ =0， 則則 ABCD|,|CDAB ABCDABCDABCDABCDABCD解析解析 A A錯錯. .因?yàn)榭臻g任兩向量平移之后可共面，因?yàn)榭臻g任兩向量平移之后可共面，所以空間任意兩向量均共面所以空間任意兩向量均共面. .B B錯錯. .因?yàn)橐驗(yàn)閨 |a a|=|=|b b| |僅表示僅表示a a與與b b的模相等，與方向的模相等，與方向無關(guān)無關(guān). .C C錯錯. .因?yàn)榭臻g向量不研究大小關(guān)系，只能對向量因?yàn)榭臻g向量不研究大小關(guān)系

10、，只能對向量的長度進(jìn)行比較的長度進(jìn)行比較, ,因此也就沒有因此也就沒有 這種寫法這種寫法. .D D對對. + =. + =0 0, =- , =- ， 與與 共線，故共線，故 正確正確. .答案答案 D DABCDABCDABCDABCDABCD2.2.已知空間四邊形已知空間四邊形OABCOABC中，點(diǎn)中，點(diǎn)MM在線段在線段OAOA上，上， 且且OMOM=2=2MAMA, ,點(diǎn)點(diǎn)N N為為BCBC的中點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)，設(shè) = =a a, =, =b b, , = =c c，則，則 等于等于( )( ) 解析解析OAOBOCMNcbacbacbacba213232.D213221.C212132.

11、B322121.AOAOCOBOMONMN32)(21.322121acbB3.3.下列命題：下列命題： 若若A A、B B、C C、D D是空間任意四點(diǎn)，則有是空間任意四點(diǎn)，則有 | |a a|-|-|b b|=|=|a a+ +b b| |是是a a、b b共線的充要條件；共線的充要條件； 若若a a、b b共線，則共線，則a a與與b b所在直線平行；所在直線平行； 對空間任意一點(diǎn)對空間任意一點(diǎn)O O與不共線的三點(diǎn)與不共線的三點(diǎn)A A、B B、C C， 若若 （其中（其中x x、y y、z zR R）, ,則則P P、 A A、B B、C C四點(diǎn)共面四點(diǎn)共面. .其中不正確命題的個數(shù)是其

12、中不正確命題的個數(shù)是 ( )( ) A.1 B.2 C.3 D.4 A.1 B.2 C.3 D.4 BCAB; 0 DACDOCzOByOAxOP解析解析 中四點(diǎn)恰好圍成一封閉圖形，正確；中四點(diǎn)恰好圍成一封閉圖形，正確；中當(dāng)中當(dāng)a a、b b同向時，應(yīng)有同向時，應(yīng)有| |a a|+|+|b b|=|=|a a+ +b b| |；中中a a、b b所在直線可能重合；所在直線可能重合；中需滿足中需滿足x x+ +y y+ +z z=1=1，才有，才有P P、A A、B B、C C四點(diǎn)共面四點(diǎn)共面. .答案答案 C C4.4.A A(1,0,1),(1,0,1),B B(4,4,6),(4,4,6)

13、,C C(2,2,3),(2,2,3),D D(10,14,17)(10,14,17) 這四個點(diǎn)這四個點(diǎn) ( (填共面或不共面填共面或不共面).). 解析解析 = =（3 3，4 4，5 5），）， = =（1 1，2 2，2 2），）， = =（9 9，1414，1616），）， 即（即（9 9，1414，1616）= =（3 3x x+ +y y，4 4x x+2+2y y，5 5x x+2+2y y），），ABACAD.ACyABxAD設(shè)., 3, 2四點(diǎn)共面所以、C、DA、yx共面共面B題型一題型一 空間向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算 如圖所示，在平行六面體如圖所示，在平行六面體AB

14、CDABCD- - A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，設(shè)中，設(shè) = =a a， = =b b， = =c c， MM，N N，P P分別是分別是AAAA1 1，BCBC，C C1 1D D1 1的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， 試用試用a a，b b，c c表示以下各向量：表示以下各向量： （1 1） ；（；（2 2） ；（；（3 3） . . 根據(jù)空間向量加減法及數(shù)乘運(yùn)算的法根據(jù)空間向量加減法及數(shù)乘運(yùn)算的法則和運(yùn)算律即可則和運(yùn)算律即可. .1AAABADAPNA11NCAP題型分類題型分類 深度剖析深度剖析解解 （1 1）P P是是C C1 1D D1 1的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，.21212111

15、1111bcacaABCDADaPDDAAAAP.212121,)2(11cbababaADBCBNABAANABCN的中點(diǎn)是.232123)21()2121(,212121,2121)21(2121,) 3(1111111cbacacbaaccbabcaaNCMPAAADAABCCCNCNCAPAAAPMAMPAAM又的中點(diǎn)是 用已知向量來表示未知向量，一定要結(jié)用已知向量來表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵. .要正確理解要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義. .首尾相接首尾相接的若干向量之和，等于

16、由起始向量的始點(diǎn)指向末的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，我們可把這個法則稱為向尾向量的終點(diǎn)的向量，我們可把這個法則稱為向量加法的多邊形法則量加法的多邊形法則. .在立體幾何中要靈活應(yīng)用三在立體幾何中要靈活應(yīng)用三角形法則，向量加法的平行四邊形法則在空間仍角形法則，向量加法的平行四邊形法則在空間仍然成立然成立. .知能遷移知能遷移1 1 如圖，在長方體如圖，在長方體ABCDABCDA A1 1B B1 1 C C1 1D D1 1中，中，O O為為ACAC的中點(diǎn)的中點(diǎn). . (1) (1)化簡：化簡：;21211ADABOA,32,)2(11DDDEDDE且上的點(diǎn)是棱設(shè)

17、.,1的值試求若z、x、AAzADyABxEO解解,) 1 (ACADAB.21)(21212111111AAAOOAACOAADABOAADABOAy.32,21,21,322121212132)(21322132)2(1111zyxAAADABABDAAAABDADDDBDDDOEDEO題型二題型二 共線、共面向量定理的應(yīng)用共線、共面向量定理的應(yīng)用 已知已知E E、F F、G G、H H分別是空間分別是空間 四邊形四邊形ABCDABCD的邊的邊ABAB、BCBC、CDCD、DADA 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， （1 1）求證：）求證：E E、F F、G G、H H四點(diǎn)共面；四點(diǎn)共面； （2 2）求證

18、：）求證：BDBD平面平面EFGHEFGH； （3 3）設(shè)）設(shè)MM是是EGEG和和FHFH的交點(diǎn)，求證：對空間任一的交點(diǎn)，求證：對空間任一 點(diǎn)點(diǎn)O O，有，有 (1(1）要證）要證E E、F F、G G、H H四點(diǎn)共面，可四點(diǎn)共面，可 尋求尋求x x, ,y y使使 （2 2）由向量共線得到線線平行，進(jìn)而得到線面）由向量共線得到線線平行，進(jìn)而得到線面 平行平行. .).(41ODOCOBOAOM.EHyEFxEG證明證明 （1 1）連接）連接BGBG，則，則由共面向量定理的推論知：由共面向量定理的推論知：E E、F F、G G、H H四點(diǎn)共面四點(diǎn)共面. .（2 2）因?yàn)椋┮驗(yàn)樗运訣HEHB

19、DBD. .又又EHEH平面平面EFGHEFGH，BDBD平面平面EFGHEFGH，所以所以BDBD平面平面EFGHEFGH. .,)(21EHEFEHBFEBBDBCEBBGEBEGAEAHEH,21)(212121BDABADABAD（3 3）連接）連接OMOM，OAOA，OBOB，OCOC，ODOD，OEOE，OGOG. .所以所以 ，即，即EH FGEH FG，所以四邊形所以四邊形EFGHEFGH是平行四邊形是平行四邊形. .所以所以EGEG，F(xiàn)HFH交于一點(diǎn)交于一點(diǎn)MM且被且被MM平分平分. .,21,21)2(BDFGBDEH同理知由FGEH ).(41)(2121)(212121

20、21)(21ODOCOBOAODOCOBOAOGOEOGOEOM故 在求一個向量由其他向量來表示的在求一個向量由其他向量來表示的時候，通常是利用向量的三角形法則、平行四邊時候，通常是利用向量的三角形法則、平行四邊形法則和共線向量的特點(diǎn)形法則和共線向量的特點(diǎn), ,把要求的向量逐步分把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，進(jìn)行求解解，向已知向量靠近，進(jìn)行求解. .若要證明兩直線若要證明兩直線平行，只需判定兩直線所在的向量滿足線性平行，只需判定兩直線所在的向量滿足線性a a= =b b關(guān)系，即可判定兩直線平行，如第（關(guān)系，即可判定兩直線平行，如第（1 1）（）（2 2）問即）問即是如此是如此. .知能

21、遷移知能遷移2 2 設(shè)設(shè)A A，B B，C C及及A A1 1，B B1 1，C C1 1分別是異面分別是異面 直線直線l l1 1，l l2 2上的三點(diǎn)，而上的三點(diǎn)，而MM，N N，P P，Q Q分別是線分別是線 段段AAAA1 1，BABA1 1，BBBB1 1，CCCC1 1的中點(diǎn)的中點(diǎn). .求證：求證：MM、N N、 P P、Q Q四點(diǎn)共面四點(diǎn)共面. . 證明證明 依題意有依題意有.2,211NPBANMBACCCBBCCCBCCCCBBBQCCBPBPQ1111111111111121)(212121又.,)22(21(*).2,2,),(21111111111共面式得代入分別共線及

22、NPNMPQNPNMNPNMPQNPBACBNMBABCCBACBACBBCMM、N N、P P、Q Q四點(diǎn)共面四點(diǎn)共面. .( (* *) )題型三題型三 空間向量的模、夾角及數(shù)量積空間向量的模、夾角及數(shù)量積 （1212分）如圖所示，已知空間分）如圖所示，已知空間 四邊形四邊形ABCDABCD的各邊和對角線的長都的各邊和對角線的長都 等于等于a a，點(diǎn)，點(diǎn)MM、N N分別是分別是ABAB、CDCD的中點(diǎn)的中點(diǎn). . （1 1）求證：）求證：MNMNABAB，MNMNCDCD； （2 2）求）求MNMN的長；的長； （3 3）求異面直線）求異面直線ANAN與與CMCM所成角的余弦值所成角的余弦

23、值. . 把把 用用 ， ， 表示出來，然后表示出來，然后 計算數(shù)量積，求模和夾角計算數(shù)量積，求模和夾角. .MNABACAD（1 1）證明證明 由題意可知：由題意可知：| |p p|=|=|q q|=|=|r r|=|=a a，且，且p p、q q、r r三向量兩三向量兩兩夾角均為兩夾角均為6060. .,rqpADACAB2121)(21ABADACAMANMN( (q q+ +r r- -p p) )21ABMN( (q q+ +r r- -p p)p p21( (q qp+rp+rp-pp-p2 2）., 0)60cos60cos(21222CDMNABMNaaa同理可證2 2分分4

24、4分分（2 2）解解21) 1 (MN可知由( (q q+ +r r- -p p) ).22,22|.2241414141|2222aMNaMNaaMNMN的長為( (q q+ +r r- -p p) )2 2q q2 2+ +r r2 2+ +p p2 2+2+2（q qr r- -p pq q- -r rp p） )222(2222222aaaaaa8 8分分(3)(3)解解.的夾角為與設(shè)向量MCAN.2)424(21)60cos2160cos60cos21(21)2121(21)21()(21,2121)(212222222222aaaaaaaaaMCANAMACMCADACANprqr

25、pqqpqrqpq( (q q+ +r r) ),23|aMCAN又1010分分 （1 1）用基向量解決問題，首先要選）用基向量解決問題，首先要選取一組基底，該基底的模與夾角應(yīng)已知或可求取一組基底，該基底的模與夾角應(yīng)已知或可求. .（2 2）注意兩向量夾角與異面直線所成的角的區(qū)別）注意兩向量夾角與異面直線所成的角的區(qū)別與聯(lián)系與聯(lián)系. .32,32,32cos.2cos2323cos|2所成角的余弦值為與面直線從而異的夾角的余弦值為與向量CMANMCANaaaMCANMCAN1111分分1212分分知能遷移知能遷移3 3 已知平行六面體已知平行六面體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C

26、1 1D D1 1 中，底面中，底面ABCDABCD是邊長為是邊長為1 1的正方形，的正方形，AAAA1 1=2=2， A A1 1ABAB=A A1 1ADAD=120=120. . （1 1）求線段）求線段ACAC1 1的長；的長； （2 2）求異面直線）求異面直線ACAC1 1與與A A1 1D D所成角的余弦值；所成角的余弦值； （3 3）證明：）證明：AAAA1 1BDBD. . （1 1）解解 如圖所示，設(shè)如圖所示，設(shè) = =a a， 則則| |a a|=|=|b b|=1|=1，| |c c|=2.|=2. a ab b=0=0，a ac c= =b bc c =2 =21 1c

27、os 120cos 120=-1.=-1.AB,1cAAbAD= =a a+ +b b+ +c c. . = =（a a+ +b b+ +c c）2 2= =a a2 2+ +b b2 2+ +c c2 2+2+2a ab b+2+2a ac c+2+2b bc c=1+1+2=1+1+22 2-2-2=2.-2-2=2.（2 2）解解 = =a a+ +b b+ +c c， = =b b- -c c， = =（a a+ +b b+ +c c）（b b- -c c）= =a ab b- -a ac c+ +b b2 2- -b bc c+ +b bc c- -c c2 2=1+1=1+12 2

28、-2-22 2=-2.=-2.11CCBCABAC21| AC. 2. 2|11的長為即ACAC 1ACDA1DAAC11又又 = =（b b- -c c）2 2= =b b2 2+ +c c2 2-2-2b bc c=1+4+2=7.=1+4+2=7.異面直線異面直線ACAC1 1與與A A1 1D D所成角的余弦值為所成角的余弦值為（3 3）證明證明 b b- -a a， = =c c（b b- -a a）= =c cb b- -c ca a=-1-=-1-（-1-1）=0.=0.21|DA,714722|,cos.7|1111111DAACDAACDAACDA.714BDcAA,1BDA

29、A 1.,11BDAABDAA即題型四題型四 空間向量坐標(biāo)及坐標(biāo)運(yùn)算空間向量坐標(biāo)及坐標(biāo)運(yùn)算 設(shè)向量設(shè)向量a a=(3,5,-4),=(3,5,-4),b b=(2,1,8),=(2,1,8),計算計算2 2a a+3+3b b, , 3 3a a-2-2b b, ,a ab b以及以及a a與與b b所成角的余弦值所成角的余弦值, ,并確定并確定, , 應(yīng)滿足的條件，使應(yīng)滿足的條件，使a a+ +b b與與z z軸垂直軸垂直. . 代入向量坐標(biāo)運(yùn)算的公式求代入向量坐標(biāo)運(yùn)算的公式求2 2a a+3+3b b,3,3a a- - 2 2b b，a ab b，利用數(shù)量積求，利用數(shù)量積求a a與與b

30、b的夾角余弦值的夾角余弦值, ,利利 用（用（a a+ +b b）（0 0，0 0，1 1）=0=0，確定，確定, ,的的 關(guān)系關(guān)系. . 解解 2 2a a+3+3b b=2=2（3 3，5 5，-4-4）+3+3（2 2，1 1，8 8） = =（6 6，1010，-8-8）+ +（6 6，3 3，2424）= =（1212，1313，1616）. . 3 3a a-2-2b b=3=3（3 3，5 5，-4-4）-2-2（2 2，1 1，8 8） = =（9 9，1515，-12-12）- -（4 4，2 2，1616）= =（5 5，1313，-28-28）. . a ab b= =（

31、3 3，5 5，-4-4）（2 2，1 1，8 8）=6+5-32=-21.=6+5-32=-21.（a a+ +b b）（0 0，0 0，1 1）= =（3 3+2+2，5 5+ +，-4-4+8+8）（0 0，0 0，1 1）=-4=-4+8+8=0=0，即，即=2=2，當(dāng)當(dāng)，滿足滿足=2=2時，可使時，可使a a+ +b b與與z z軸垂直軸垂直. . 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，關(guān)鍵是要注意空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，關(guān)鍵是要注意向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系，并熟練掌握運(yùn)算向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系，并熟練掌握運(yùn)算公式公式. .2301387695021|,cos,69812|,50)4(5322222

32、2babababa知能遷移知能遷移4 4 已知已知ABCABC的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)A A（1 1，1 1，1 1），）， B B（2 2，2 2，2 2），），C C（3 3，2 2，4 4），試求），試求 （1 1）ABCABC的重心坐標(biāo)；（的重心坐標(biāo)；（2 2）ABCABC的面積；的面積； （3 3）ABCABC的的ABAB邊上的高邊上的高. . 解解 （1 1）設(shè)重心坐標(biāo)為（）設(shè)重心坐標(biāo)為（x x0 0, ,y y0 0, ,z z0 0）, ,).37,35, 2(,373421,353221, 23321000重心坐標(biāo)為則zyx, 6312,14|, 3|),3 , 1 , 2(),1 ,

33、1 , 1 ()2(ACABACABACAB.267114321sin|21.7142361sin,4261436,coscosAACABSAACABAABC. 2. 232126|,|21,)3(邊上的高是的故則邊上的高為設(shè)ABABCCDCDABSCDABABC方法與技巧方法與技巧1.1.熟練掌握空間向量的運(yùn)算、性質(zhì)及基本定理是熟練掌握空間向量的運(yùn)算、性質(zhì)及基本定理是 解決空間向量問題的基礎(chǔ)，特別是共線向量定解決空間向量問題的基礎(chǔ)，特別是共線向量定 理、共面向量定理、空間向量基本定理、數(shù)量理、共面向量定理、空間向量基本定理、數(shù)量 積的性質(zhì)等積的性質(zhì)等. .2.2.利用向量解立體幾何題的一般方

34、法：把線段或利用向量解立體幾何題的一般方法：把線段或 角度轉(zhuǎn)化為向量表示角度轉(zhuǎn)化為向量表示, ,用已知向量表示未知向量用已知向量表示未知向量, , 然后通過向量的運(yùn)算或證明去解決問題然后通過向量的運(yùn)算或證明去解決問題, ,在這里在這里, , 恰當(dāng)?shù)剡x取基底可使向量運(yùn)算簡捷恰當(dāng)?shù)剡x取基底可使向量運(yùn)算簡捷, ,或者是建立或者是建立 空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系, ,使立體幾何問題成為代數(shù)問使立體幾何問題成為代數(shù)問 題，在這里題，在這里, ,熟練準(zhǔn)確地寫出空間中任一點(diǎn)的坐熟練準(zhǔn)確地寫出空間中任一點(diǎn)的坐 標(biāo)是解決問題的基礎(chǔ)標(biāo)是解決問題的基礎(chǔ). . 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高失誤與防范失誤與防范

35、1.1.利用坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問題利用坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問題, ,降低了推理難降低了推理難 度度, ,可以避開一些較復(fù)雜的線面關(guān)系，但較復(fù)雜的可以避開一些較復(fù)雜的線面關(guān)系，但較復(fù)雜的 代數(shù)運(yùn)算也容易導(dǎo)致出錯代數(shù)運(yùn)算也容易導(dǎo)致出錯. .因此，在解決問題時，因此，在解決問題時， 可以靈活的選用解題方法，不要生搬硬套可以靈活的選用解題方法，不要生搬硬套. .2.2.用空間向量解決立體幾何中的平行或共線問題一用空間向量解決立體幾何中的平行或共線問題一 般用向量共線定理；求兩點(diǎn)間距離或某一線段的般用向量共線定理；求兩點(diǎn)間距離或某一線段的 長度，一般用向量的模來解決；求異面直線所成長度，一般用向量的模

36、來解決；求異面直線所成 的角，一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要注意的角，一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要注意 兩種角的范圍不同，最后應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化；解決垂直兩種角的范圍不同，最后應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化；解決垂直 問題一般可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零問題一般可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零. .3.3.空間向量的加法、減法經(jīng)常逆用空間向量的加法、減法經(jīng)常逆用, ,來進(jìn)行向量的分解來進(jìn)行向量的分解. .4.4.幾何體中向量問題的解決，選好基底是關(guān)鍵幾何體中向量問題的解決，選好基底是關(guān)鍵. .一、選擇題一、選擇題1.1.若若 a a, ,b b, ,c c 為空間的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能為空間的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能

37、構(gòu)成基底的一組向量是構(gòu)成基底的一組向量是（ ） A. A.a a, ,a a+ +b b, ,a a- -b b B. B.b b, ,a a+ +b b, ,a a- -b b C. C.c c, ,a a+ +b b, ,a a- -b b D.D.a a+ +b b, ,a a- -b b, ,a a+2+2b b 解析解析 若若c c、a a+ +b b、a a- -b b共面，共面， 則則c c= =( (a a+ +b b)+)+m m( (a a- -b b)=()=(+ +m m) )a a+(+(- -m m) )b b, , 則則a a、b b、c c為共面向量，此與為共面

38、向量，此與 a a、b b、c c 為空間向?yàn)榭臻g向 量的一組基底矛盾，故量的一組基底矛盾，故c c，a a+ +b b，a a- -b b可構(gòu)成空間可構(gòu)成空間 向量的一組基底向量的一組基底. .C定時檢測定時檢測2.2.在正方體在正方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，給出以下向量表達(dá)式：中，給出以下向量表達(dá)式： A. A. B. B. C. C. D. D.的是其中能夠化簡為向量111111111111.)(;2)(;)(;)(BDDDAADBDDABADCDBBBCABAADA( )( )解析解析 答案答案 A A.A,)(;22)(;)(;）-（111

39、111111111111111111111所以選BDDBDDDBDDAADBBDDDBDDDABADBDCDBCCDBBBCBDABADABAADA3.3.若向量若向量a a=(1,=(1,2),2)，b b=(2,-1,2)=(2,-1,2)且且a a與與b b的夾角的余的夾角的余 弦值為弦值為 ，則，則等于等于 ( )( ) A.2 B.-2 A.2 B.-2 C. D. C. D. 解析解析985522或5522或,9542|982baba由已知得.5522),6(3582或解得C4.4.已知已知a a=(2,-1,3),=(2,-1,3),b b=(-1,4,-2),=(-1,4,-2

40、),c c=(7,5,=(7,5,),),若若 a a, ,b b, ,c c三向量共面，則實(shí)數(shù)三向量共面，則實(shí)數(shù)等于等于 ( )( ) 解析解析 由題意得由題意得c c= =ta ta+ +b b =(2 =(2t t- -,-,-t t+4+4,3,3t t-2-2),),765.D760.C763.B762.A765.71773323,4527ttttD5.5.已知直線已知直線ABAB、CDCD是異面直線是異面直線, ,ACACCDCD, ,BDBDCDCD, , 且且ABAB=2=2，CDCD=1=1，則異面直線，則異面直線ABAB與與CDCD所成角的大小所成角的大小 為為 ( )(

41、) A.30 A.30 B.45 B.45 C.60 C.60 D.75 D.75 解析解析|,cosCDABCDABCDAB.60,21212)(2所成角為與CDABCDCDDBCDACC6.6.正方體正方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長為的棱長為a a，點(diǎn)，點(diǎn)MM在在 上上 且且 N N為為B B1 1B B的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,則則 為為 ( )( ) 解析解析 以以D D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo) 系系D Dxyzxyz， 則則A A（a a，0 0，0 0），），C C1 1（0 0，a a，a a），）， 設(shè)

42、設(shè)MM（x x，y y，z z）1AC,211MCAM | MNaaaa315.D615.C66.B621.A).2,(aaaN.621)32()3()32(|),3,3,32(.3,3,32),(21),(,2122211aaaaaaaMNaaaMazayaxzayaxzyaxMCAMACM得上且在點(diǎn)答案答案 A二、填空題二、填空題7.7.如圖所示，已知空間四邊形如圖所示，已知空間四邊形ABCDABCD， F F為為BCBC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，E E為為ADAD的中點(diǎn)，若的中點(diǎn)，若 則則= = . . 解析解析 如圖所示如圖所示, ,取取ACAC的中點(diǎn)的中點(diǎn)G G, ,連接連接EGEG、GFGF

43、, ,),(DCABEF.21)(21DCABGFEGEF則218.8.已知已知a a= =（1-1-t t，1-1-t t，t t），），b b= =（2 2，t t，t t），則），則| |b b- -a a| | 的最小值為的最小值為 . . 解析解析 b b- -a a= =（1+1+t t，2 2t t-1-1，0 0），）， |b b- -a a|=|=,59)51(5) 12()1 (222ttt.553| ,51取得最小值為時當(dāng)abt5539.9.在正方體在正方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,下面給出四個命題下面給出四個命題: : 則正確命題的序號是則正確命題的序號是 （填寫所有正確命題（填寫所有正確命題 的序號）的序號）. . |;60; 0)(;)(3)(1111111211211111ADAAABBAADAABACABABADAAA此正方體體積為的夾角為與解析解析 由三垂線定理知由三垂線定理知A A1 1C CABAB1 1，正確；正確；ADAD1 1與與A A1 1B B兩異面直線的夾角為兩異面直線的夾角為6060，但，但 的夾角為的夾角為120120, ,