2021版高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何初步2.3.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案新人教B版必修2

1、2. 3.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【學(xué)習(xí)目標(biāo)丨1.掌握圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程.2.能根據(jù)圓心、半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)用待定 系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.Q問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一圓的標(biāo)準(zhǔn)方程思考i確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要知道哪些條件？思考2在平面直角坐標(biāo)系中，如下圖，以(1,2)為圓心，以2為半徑的圓能否用方程(X 2 21) + (y 2) = 4 來表示？梳理圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2 2 2 . . . . . .(1) 方程(x a) + (y b) = r稱為以點(diǎn)Ca, b)為圓心，r為半徑的圓的方程， 叫做圓的標(biāo)準(zhǔn) 方程. 以原點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2+ y2= r2.知識點(diǎn)二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系思考點(diǎn)A(1

2、,1),耳4,0) , C(,'2)同圓X2 + y2= 4的關(guān)系如下圖,那么|OA, |OB,|0C同圓的半徑r=2是什么關(guān)系?梳理 點(diǎn)Mxo , yo)與圓C： (x a)2 + (y b)2= r2的位置關(guān)系及判斷方法/亠護(hù)¥方 位置大糸利用距離判斷利用方程判斷點(diǎn)M在圓上| CM = r z7"2: 、22 (xo a) + (yo b) = r點(diǎn)M在圓外| CM>r z7"2: 、22 (xo a) + (yo b) >r點(diǎn)M在圓內(nèi)| CM<r(xo a)2+ (yo b)2<r2類型一求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程命題角度i 直接法求圓的

3、標(biāo)準(zhǔn)方程例1 (1)圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn) M0, ,：5)在圓C上，且圓心到直線 2x y =0的距離為 紂5，那么圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為5(2) 與y軸相切，且圓心坐標(biāo)為 (一5, 3)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .反思與感悟(1)確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需確定圓心坐標(biāo)和半徑，因此用直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要首先求出圓心坐標(biāo)和半徑，然后直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 確定圓心和半徑時(shí)，常用到中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離公式，有時(shí)還用到平面幾何知識， 如“弦的中垂線必過圓心 “兩條弦的中垂線的交點(diǎn)必為圓心等.跟蹤訓(xùn)練1以兩點(diǎn)A 3, 1)和氏5,5)為直徑端點(diǎn)的圓的方程是()2222A. (x+ 1) + (y+ 2

4、) = 10B. (x 1) + (y 2) = 1002222C. (x+ 1) + (y+ 2) = 25D. (x 1) + (y 2) = 25命題角度2待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2求經(jīng)過點(diǎn)P(1,1)和坐標(biāo)原點(diǎn)，并且圓心在直線2x + 3y+ 1 = 0上的圓的方程.反思與感悟待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟役所卓al的才科為(廠耐紜盧由已暫殺性"建蟲關(guān)于比虹的方程組 解方越細(xì).咸出o.br跟蹤訓(xùn)練2 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,5),耳1 , 2) , C( 3, 4)，求該三角形的外接圓的方程.類型二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例3(1)點(diǎn)P(rn,5)與圓x2+ y2=

5、24的位置關(guān)系是()A.點(diǎn)P在圓內(nèi)B.點(diǎn)P在圓外C.點(diǎn)P在圓上D.不確定點(diǎn) M5.a + 1 , a)在圓(x 1)2 + y2 = 26的內(nèi)部，貝U a的取值范圍是反思與感悟(1)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法 只需計(jì)算該點(diǎn)與圓心之間的距離，與半徑作比擬即可. 把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷式子兩邊的大小，并作出判斷.(2)靈活運(yùn)用假設(shè)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，也可利用以上兩種方法列出不等式或方程，求解參數(shù)范圍.跟蹤訓(xùn)練3 點(diǎn)(1,1)在圓(x a)2 + (y + a)2 = 4的外部，貝U a的取值范圍是類型三 與圓有關(guān)的最值問題例4實(shí)數(shù)x, y滿足方程(x 2)2+ y2= 3,求三的最大值和最

6、小值.引申探究1 假設(shè)本例條件不變，求 y x的最大值和最小值.2 22 假設(shè)本例條件不變，求 x + y的最大值和最小值.反思與感悟 與圓有關(guān)的最值問題，常見的有以下幾種類型y b(1)形如u=形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn) (x, y)和(a, b)的動(dòng)直線斜率的最值問題.x a 形如I = ax+ by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線 y = bx + b截距的最值問題. 形如(X a)2+ (y b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn) (X, y)到定點(diǎn)(a, b)的距離平方的 最值問題.1跟蹤訓(xùn)練4 x和y滿足(x + 1)2+ y2= 4,試求:(1) x2 + y2的最值；(2) x+

7、y的最值.甌當(dāng)堂訓(xùn)練1.假設(shè)某圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x 1)2+ (y+ 5)2= 3,那么此圓的圓心和半徑長分別為()A.( 1,5),、:3B.(1 , 5) ,：3C.( 1,5),3D.(1 , 5) ,32 圓心在y軸上，半徑為1,且過點(diǎn)(1,2)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()2 2A. x + (y 2) = 1B. x2 + (y + 2)2= 12 2C. (x 1) + (y 3) = 12 2D. x + (y 3) = 13. 點(diǎn)A(1 , 1),巳1,1),那么以線段 AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. x2 + y2 = 2B. x2+ y2= '2C. x2 + y2 =

8、1D. x2+ y2= 44. 假設(shè)實(shí)數(shù)x , y滿足(x + 5)2+ (y 12)2= 142 ,那么x2 + y2的最小值是 .5. 求以下圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)圓的內(nèi)接正方形相對的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(5,6) , C(3 , 4);過兩點(diǎn)C( 1,1)和Q1,3),圓心在x軸上的圓.規(guī)律與方法-1.判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1) 幾何法：主要利用點(diǎn)到圓心的距離與半徑比擬大小.(2) 代數(shù)法：主要是把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來判斷:2 2 2點(diǎn) P(xo, yo)在圓 C上? (xo a) + (yo b) = r ； 點(diǎn) P(xo, yo)在圓 C內(nèi)？(xo a)2+ (yo b)2<r

9、2; 點(diǎn) P(xo, yo)在圓 C外？(xo a)2+ (yo b)2>r2.2求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)常用的幾何性質(zhì) 求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是確定圓心坐標(biāo)和半徑，為此常用到圓的以下幾何性質(zhì)：(1) 弦的垂直平分線必過圓心(2) 圓內(nèi)的任意兩條弦的垂直平分線的交點(diǎn)一定是圓心(3) 圓心與切點(diǎn)的連線是半徑(4) 圓心與切點(diǎn)的連線必與切線垂直 3求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程常用方法(1) 待定系數(shù)法 (2) 直接法合案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一思考1圓心坐標(biāo)與圓的半徑.思考2能.知識點(diǎn)二思考 I 0A<20B>2，|O(C = 2.題型探究例 1(1)( x 2)2 + y = 9解析 設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a

10、, 0)( a>0),由題意知，一:=，解得a = 2,<55 C(2,0).那么圓C的半徑為r = |CM = ,：22+5 2= 3.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x 2)2+ y2= 9.2 2(2)( x+ 5) + (y+ 3) = 25解析圓心坐標(biāo)為(一5, 3)，又與y軸相切, 該圓的半徑為5,該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x + 5)2+ (y+ 3) 2= 25.跟蹤訓(xùn)練1 DAB為直徑，圓心為AB的中點(diǎn)(1,2), 半徑為|AB =5+ 3 2+5+ 1 2= 5,該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x 1)2+ (y 2) 2= 25.例2解方法一(待定系數(shù)法) 設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x a)2+ (y b

11、)2= r2,2 . 2 2a + b = r ,由 1 a +1 b = r ,2a + 3b+ 1 = 0,a= 4,解得b= 3,r = 5. . 2 2 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(X 4) + (y+ 3) = 25.方法二(直接法)由題意知，0P是圓的弦，其垂直平分線為x + y 1 = 0.弦的垂直平分線過圓心，2x + 3y+ 1 = 0,x = 4,由得x+ y 1 = 0,y = 3,即圓心坐標(biāo)為(4 , 3),半徑為 r = '42 + 3 2 = 5.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x 4)2+ (y+ 3) 2= 25.跟蹤訓(xùn)練2 解 方法一設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x a)2+ (y b)

12、2= r2,因?yàn)锳(0,5),巳1 , 2), Q 3, 4)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，2.22小0 a +5 b = r ,a= 3,2 2 2于是有 1 a + 2 b = r ,解得b= 1,2 2 23 a + 4 b = r ,r = 5.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x+ 3) + (y 1) = 25.1 3方法二 因?yàn)锳(0,5) , B(1 , 2)，所以線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為(刁2)，直線AB的斜率為 S2 5311=1 0 = 7,因此線段AB的垂直平分線的方程是y 2 = 7(x 2)，即x 7y + 10 = 0.同理可得線段BC的垂直平分線的方程是2x+ y

13、+ 5 = 0.x 7y + 10= 0,由2x+ y + 5= 0,得圓心坐標(biāo)為(一3,1).又圓的半徑 r = ； 3 02 +1 5 2= 5,故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x+ 3)2+ (y 1)2= 25.例3(1)B由(卅)2 + 52 =卅+ 25>24，得點(diǎn)P在圓外.0,1)解析由題意知，a?0,5 ,''a+ 1 1 2+_:a 2<26,a> 0, 即解得0w a<1.26a<26,跟蹤訓(xùn)練 3( a, 1) U (1 ,+s)2 2解析 由題意知，(1 a) + (1 + a) >4,2ar = / 1 2 2 +1 0 2

14、=10,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x 2)2+ y2= 10. 2>0,即 a< 1 或 a>1.例4解 原方程表示以點(diǎn)(2,0)為圓心，3為半徑的圓,y設(shè)1= k,即卩y = kx.x當(dāng)直線y= kx與圓相切時(shí)，斜率 k取最大值和最小值，此時(shí)|2 k 0|7+ 1解得k=± 3.故y的最大值為，3,最小值為 3.x引申探究1.解設(shè) y x= b,即 y= x+ b.當(dāng)y = x + b與圓相切時(shí)，縱截距 b取得最大值和最小值,此時(shí)|2 0+ b|3, 即卩 b= 2±6.故y x的最大值為一 2 +詁6, 最小值為2 6.2 22 .解 x +y表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)

15、距離的平方.由平面幾何知識知，它在原點(diǎn)與圓心所在直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值， 又圓心到原點(diǎn)的距離為2,故(X2 + y2)max= (2 +3) 2= 7 + 4 3,(x2+ y2) min= (2 3)2= 7 4 3.跟蹤訓(xùn)練4 解(1)由題意知，x2 + y2表示圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，顯然當(dāng)圓 上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離取最大值和最小值時(shí)，其平方也相應(yīng)地取得最大值和最小值.原點(diǎn)(0,0)到圓心(一1,0)的距離為d= 1, 故圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最大距離為11 +1=1 1最小距離為1 2= 2問題轉(zhuǎn)化為斜率為一1的直線在經(jīng)過圓上的點(diǎn)時(shí)，在 y軸上的截距的最值.當(dāng)直線和圓相切時(shí)，在 y軸上的截距取得最大值和最小值,-1 z|一212,解得z=±三2 1,因此x+ y的最大值為 1，最小值為一2 1.當(dāng)堂訓(xùn)練1 . B 2.A3.A4. 1解析 x2+ y2表示圓上的點(diǎn)(x, y