巧用圓錐曲線定義解題教學(xué)設(shè)計(jì)

1、巧用圓錐曲線定義解題(教學(xué)設(shè)計(jì))南潯中學(xué) 沈愛(ài)華一、教材分析：圓錐曲線作為高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，是歷年高考的必考點(diǎn)，同時(shí)它又是高中數(shù)學(xué)各骨干知識(shí)的交匯點(diǎn)，與函數(shù)、平面向量、方程、不等式、三角函數(shù)等均有緊密聯(lián)系。圓錐曲線的定義是根本，是相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)的“源”，不能正確的理解定義，對(duì)圓錐曲線方程和幾何性質(zhì)就不能深入。而且圓錐曲線的定義反映著它特有的幾何特征，這些定義在解題中起著不可忽視的作用。對(duì)圓錐曲線的定義的教學(xué)我們往往注重它的理解而忽略它的運(yùn)用，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用定義解題，有助于使問(wèn)題得到更清晰、簡(jiǎn)潔的解決。同時(shí)理解圓錐曲線的定義，是學(xué)生掌握橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)；熟

2、練運(yùn)用定義解題，可以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用方程研究曲線幾何性質(zhì)的能力。二、學(xué)生情況分析：作為普通中學(xué)的高三學(xué)生，對(duì)圓錐曲線的定義已有一定的理解，但在運(yùn)用圓錐曲線定義解題的方法、題型沒(méi)有掌握好，圓錐曲線的定義反映了圓錐曲線的本質(zhì)屬性,它是無(wú)數(shù)次實(shí)踐后的高度抽象。恰當(dāng)?shù)乩枚x解題, 許多時(shí)候能以簡(jiǎn)馭繁。因此,在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)過(guò)程中，我認(rèn)為有必要再一次回到定義,熟悉“巧用圓錐曲線定義解題”這一重要的解題策略。三、設(shè)計(jì)思想：由于這部分知識(shí)較為抽象,難以理解.如果離開感性認(rèn)識(shí),容易使學(xué)生陷入困境,降低學(xué)習(xí)熱情.在教學(xué)時(shí),我首先復(fù)習(xí)圓錐曲線的定義，使學(xué)生進(jìn)一步理解定義；然后有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用定義解題來(lái)分類

3、研究學(xué)習(xí)，利用一般解題方法處理習(xí)題, 針對(duì)學(xué)生練習(xí)中產(chǎn)生的問(wèn)題,進(jìn)行點(diǎn)評(píng),強(qiáng)調(diào)“雙主作用”的發(fā)揮.引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題,主動(dòng)參與教學(xué),以使學(xué)生提高運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。四、教學(xué)目標(biāo)：1.深刻理解并熟練掌握?qǐng)A錐曲線的定義，能靈活應(yīng)用定義解決問(wèn)題；熟練掌握焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦距、離心率、漸近線等概念和求法；能結(jié)合平面幾何的基本知識(shí)求解圓錐曲線的方程。2.通過(guò)對(duì)練習(xí),強(qiáng)化對(duì)圓錐曲線定義的理解， 培養(yǎng)思維的深刻性、創(chuàng)造性、科學(xué)性和批判性,提高學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力；通過(guò)對(duì)問(wèn)題的不斷引申,精心設(shè)問(wèn),引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)解題的一般方法及聯(lián)想、類比、猜測(cè)、證明等合情推理方法.3借助導(dǎo)學(xué)案輔助教學(xué),激

4、發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在課堂教學(xué)氛圍中,努力培養(yǎng)學(xué)生敢想、敢說(shuō)、勇于探索、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的精神.五、教學(xué)重點(diǎn)：圓錐曲線定義的理解，運(yùn)用該定義解題的方法與題型的掌握。六、教學(xué)方法：講授法、講練結(jié)合七、教學(xué)過(guò)程：（一）、復(fù)習(xí)圓錐曲線的定義橢圓定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)距離的和等于定值的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距。雙曲線定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值是定值的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距。拋物線：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)讓學(xué)生復(fù)習(xí)圓錐曲線的定義，熟悉定義，尤其注意定義中三類曲線

5、的相同點(diǎn)和不同之處，為接下來(lái)進(jìn)一步利用定義解題打下基礎(chǔ)。（二）、例題講解類型一、利用定義求軌跡例1動(dòng)點(diǎn)滿足下列方程，請(qǐng)說(shuō)出其表示的軌跡；。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)直接給出式子，了解學(xué)生對(duì)定義的掌握程度。分析：對(duì)于第（1）、（2）小題，大部分學(xué)生是利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合定義直接看出其軌跡方程，但是對(duì)于第（2）題，要引導(dǎo)學(xué)生注意雙曲線定義的絕對(duì)值，從而考慮到是雙曲線的一支，第（3）小題可能大部分學(xué)生是利用化簡(jiǎn)得到的，最后讓學(xué)生反過(guò)來(lái)再看通過(guò)兩點(diǎn)間距離和絕對(duì)值的幾何意義，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，可直接得到。解析： 可看作點(diǎn) 與兩定點(diǎn)、的距離之和為，又，所以點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓?？煽醋鼽c(diǎn) 與兩定點(diǎn)、

6、的距離之差為，又，所以點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線的下支?？煽醋鼽c(diǎn) 與定點(diǎn)距離等于到直線的距離。所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線。變式1、已知定點(diǎn)，以為一個(gè)焦點(diǎn)作過(guò)，的橢圓，則另一焦點(diǎn)的軌跡方程是 。設(shè)計(jì)意圖：本題通過(guò)定義求軌跡的一個(gè)提升，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)橢圓定義與雙曲線定義的理解、掌握。分析：此題首先要根據(jù)橢圓的定義，再轉(zhuǎn)化為雙曲線的定義，最后對(duì)比雙曲線的定義，得到是雙曲線的一支。解析：由題意，,，又， ，從而可知點(diǎn)是以為為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線的下支，即，另一焦點(diǎn)F的軌跡方程是。類型二、利用定義求最值例2. 分別是橢圓的左、右兩焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，定點(diǎn)，求的最大值。設(shè)計(jì)

7、意圖：本題結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想，考查橢圓的定義的活學(xué)活用。分析：此題是利用橢圓定義求最值的典型例題，是左焦點(diǎn)，通過(guò)橢圓定義，轉(zhuǎn)化為到右焦點(diǎn)的距離，再利用三角形兩邊之差小于第三邊得到。解析：， ，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)。變式1、為上一點(diǎn)，記到準(zhǔn)線的距離為，到的距離為，求的最小值；設(shè)計(jì)意圖：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用考查了學(xué)生對(duì)拋物線定義的理解和應(yīng)用分析：此題是利用拋物線定義求最值，區(qū)別于橢圓與雙曲線，對(duì)于P到準(zhǔn)線的距離為，通過(guò)定義轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離，過(guò)向直線引垂線，此時(shí)最小，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離公式，即得最小值。解析：， 為拋物線的焦點(diǎn)，為點(diǎn)到直線的距離，即為所求最小值。又，。變式2、 定長(zhǎng)

8、為的線段在上移動(dòng)，求中點(diǎn)到軸的最小距離。設(shè)計(jì)意圖：本題是對(duì)求最值問(wèn)題的一個(gè)提升，考查了拋物線的定義和梯形的中位線定理，通過(guò)這道題可以深入觀察學(xué)生對(duì)求拋物線定義的掌握程度，加強(qiáng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。分析: 此題首先要考慮中點(diǎn)到軸的最小距離，等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離小，再利用梯形的中位線，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于到準(zhǔn)線的距離和的一半，再利用拋物線的定義轉(zhuǎn)為到焦點(diǎn)的距離和，最后利用三角形兩邊之和大于第三邊而解決。解析：，其中為到準(zhǔn)線的距離又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)。類型三、利用定義求值例3、 已知橢圓，為左右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，求的面積。設(shè)計(jì)意圖：本題主要考查利用橢圓的定義求焦點(diǎn)三角形面積，是

9、一道的常規(guī)題。主要是加強(qiáng)學(xué)生對(duì)橢圓的定義結(jié)合余弦定理的應(yīng)用。 分析：先根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合余弦定理，可求得的值，最后利用三角形面積公式求解解析：設(shè)，則由橢圓定義，得，又由余弦定理得，從而由，得，即所以的面積為 變式1、設(shè)的重心為，且，若，則的取值范圍是 。 設(shè)計(jì)意圖：本題來(lái)源于2015高三文科一模的一道填空題。此題學(xué)生當(dāng)時(shí)根本就沒(méi)想到與橢圓的關(guān)系，但放在這節(jié)課中，學(xué)生都想到重心的軌跡為橢圓。主要考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)結(jié)合三角形的重心，加強(qiáng)學(xué)生的推理能力與計(jì)算能力。分析：由條件，又要，從而根據(jù)橢圓的定義，可知點(diǎn)的軌跡方程，又為三角形的重心，所以求的取值范圍，又可轉(zhuǎn)化為求的取值范圍的倍即

10、可。解析：因?yàn)?，所以以所在直線為軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則可知 ，又，則點(diǎn)在橢圓方程上，又為的重心，則=，而， 可知變式2、從雙曲線的左焦點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)為，且交雙曲線的右支交于點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為 。設(shè)計(jì)意圖：此題學(xué)生在做練習(xí)時(shí)，普遍認(rèn)為較難，錯(cuò)誤率較高，因而放在這里，讓學(xué)生再次感受一下雙曲線定義的魅力。本題考查了圓的切線的性質(zhì)、三角形的中位線定理、雙曲線的定義、勾股定理，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的推理能力。分析：要求，先引導(dǎo)學(xué)生分析圖象， 利用三角形的中位線定理可得，再，利用勾股定理算出，而，最后由雙曲線的定義即可算出。解析：利用三角形的中位線定理可得，再利用圓的切線的性

11、質(zhì)可得，而，結(jié)合雙曲線的定義，可知（三）、小結(jié)主要以提問(wèn)、補(bǔ)充的形式對(duì)本節(jié)課知識(shí)做一個(gè)簡(jiǎn)單的回顧和總結(jié)，讓學(xué)生對(duì)整節(jié)課的內(nèi)容有一個(gè)整體的理解和把握。八、教學(xué)反思本節(jié)課是安排在高三的一節(jié)專題復(fù)習(xí)課，從開始復(fù)習(xí)到現(xiàn)在，已經(jīng)兩個(gè)多月了。通過(guò)復(fù)習(xí)，同學(xué)們能夠根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，適當(dāng)選用合適的公式、定理、法則進(jìn)行解題。但是，通過(guò)練習(xí)和檢測(cè)，我發(fā)現(xiàn)有的同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)定義往往沒(méi)有給予足夠的重視，以至出現(xiàn)在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不能及時(shí)地發(fā)現(xiàn)一些促進(jìn)問(wèn)題迅速獲解的隱含條件，經(jīng)常出現(xiàn)舍近求遠(yuǎn)、舍簡(jiǎn)求繁的情況。以往的教學(xué)經(jīng)歷告訴我，引導(dǎo)學(xué)生合理應(yīng)用定義是尋求解題捷徑的一種重要方法。在求解有關(guān)圓錐曲線的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，靈活運(yùn)用圓錐曲

12、線的定義常常會(huì)給解決這類問(wèn)題題帶來(lái)極大方便。用圓錐曲線的定義求解有關(guān)圓錐曲線的問(wèn)題是解析幾何中一個(gè)比較重要的內(nèi)容。在實(shí)際教學(xué)，包括高考備考復(fù)習(xí)中，由于各個(gè)知識(shí)點(diǎn)往往會(huì)有很多的判定定理和性質(zhì)等，所以會(huì)出現(xiàn)忽略定義的應(yīng)用的情況。因此我安排了一節(jié)專題復(fù)習(xí)課，目的是加強(qiáng)學(xué)生對(duì)圓錐曲線定義的整體理解和把握。為了加深學(xué)生對(duì)圓錐曲線定義理解，我以圓錐曲線的定義的運(yùn)用為主線,精心歸納了三類利用定義解決的問(wèn)題，通過(guò)層層深入的探索,以及對(duì)猜測(cè)結(jié)果的檢測(cè)研究,培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、創(chuàng)造性、批判性,使學(xué)生從學(xué)會(huì)一個(gè)問(wèn)題的求解到掌握一類問(wèn)題的解決方法,領(lǐng)略數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美.我期望在教學(xué)中能嘗試使用“探究合作”式教學(xué)模式進(jìn)行

13、教學(xué)。使學(xué)生們的“知識(shí)的獲得過(guò)程”不再是簡(jiǎn)單的“師傳生受”,而是讓學(xué)生依據(jù)自己已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)的加以建構(gòu).在這個(gè)建構(gòu)過(guò)程中,學(xué)生應(yīng)是教師主導(dǎo)下的主體,是知識(shí)的主動(dòng)建構(gòu)者。所設(shè)計(jì)的問(wèn)題以及引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究過(guò)程的發(fā)問(wèn),都力求做到“把問(wèn)題定位在學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)”。為了在有限的時(shí)間內(nèi)突出重點(diǎn),突破難點(diǎn),給學(xué)生留有自主學(xué)習(xí)的空間和時(shí)間.我事先編寫好學(xué)案，提前一天先給學(xué)生，讓學(xué)生能帶著自己的問(wèn)題、思考在課堂上，來(lái)學(xué)習(xí)應(yīng)用。我將題型歸為三大類型，其中第一類型為求軌跡方程，例1是通過(guò)直接給出式子，看學(xué)生對(duì)定義的掌握程度，對(duì)于第（1）、（2）小題，大部分學(xué)生是利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合定義直接看出其軌跡方程，但是第（2）題，經(jīng)過(guò)引導(dǎo)學(xué)生回答才想到是雙曲線的一支，第（3）小題發(fā)現(xiàn)學(xué)生大部分是利用化簡(jiǎn)得到的，最后讓學(xué)生反過(guò)來(lái)再看通過(guò)兩點(diǎn)間距離和絕對(duì)值的幾何意義，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，可直接得到。接下來(lái)的變式1就在例1的基礎(chǔ)上再進(jìn)行一個(gè)提升，升華為定義的應(yīng)用求軌跡。首先要根據(jù)橢圓的定義，通過(guò)化簡(jiǎn)，再轉(zhuǎn)化為雙曲線的定義，而最后判斷得到是雙曲線的一支。如此層層推進(jìn)，循序漸進(jìn)的讓學(xué)生把握這類問(wèn)題的解法