連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性(22)課件

1、 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性第十節(jié)第十節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性與初等函數(shù)的連續(xù)性由連續(xù)函數(shù)的定義和極限的四則運(yùn)算法則由連續(xù)函數(shù)的定義和極限的四則運(yùn)算法則, 有有一、連續(xù)函數(shù)的和、差、積及商的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的和、差、積及商的連續(xù)性 定理定理1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處處也也連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)故故xxxx例如例

2、如,2,2sin上單調(diào)增加且連續(xù)上單調(diào)增加且連續(xù)在在 xy. 1 , 1arcsin上也是單調(diào)增加且連續(xù)上也是單調(diào)增加且連續(xù)在在故故 xy;1 , 1arccos上上單單調(diào)調(diào)減減少少且且連連續(xù)續(xù)在在同同理理 xy.,cot,arctan上上單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)在在 xarcyxy反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).定理定理2如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在其定義區(qū)間在其定義區(qū)間 是是連續(xù)連續(xù)且單調(diào)增加且單調(diào)增加fD1( )yfx (或減少或減少), 則它的反函數(shù)則它的反函數(shù) 在在 上也上也連續(xù)連續(xù)且單調(diào)增加且單調(diào)增加fR(或減少或減少)二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性二、反函數(shù)

3、與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 000lim ( ),( ), lim ( )( )3lim ( ).xxxxxxxaf uafxf afx 若若函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) 連連續(xù)續(xù) 則則有有 定定理理注注 內(nèi)函數(shù)的極限存在內(nèi)函數(shù)的極限存在, 外函數(shù)在該極限點(diǎn)連續(xù)外函數(shù)在該極限點(diǎn)連續(xù), 則求復(fù)則求復(fù) 合函數(shù)的極限時(shí)極限符號(hào)可以與外函數(shù)符號(hào)互換合函數(shù)的極限時(shí)極限符號(hào)可以與外函數(shù)符號(hào)互換;2. ( ).ux 變變量量代代換換的的理理論論依依據(jù)據(jù)例例8.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原原式式)1(limln10 xxx eln 解解例例9.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(

4、lim0yyy 原原式式解解,1yex 令令),1ln(yx 則則. 0,0yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yyy10)1ln(1lim 00000( ),(),( ), ( ).uxxxxuyf uuuyfxxx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù) 且且而而函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù) 則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)也也連連續(xù)續(xù)定理定理422cos , cos.yuuxyx 是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù) 故故復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù) 也也是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)注注定理定理4是定理是定理3的特殊情況的特殊情況.例例 求求.)21 (limsin30 xxx解解原式原式elim0 x)21ln(sin3xx說明說明 若若,0)(lim0 xux

5、x則有則有,)(lim0 xvxx)()(1lim0 xvxxxue)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxxelim0 xx36ex23sin0limln(1 2 )xxxe cos2(1)(1) limsinxexxx 求下列函數(shù)極限：求下列函數(shù)極限： cos22lim(1)limsinxexxxx 12 (2) limlnln(2)nnnn limln2nnnn 原原式式2limln(1)2nnn 2lim ln(1)2nnn 2lnlim(1)2nnn 2lim2lnnnne 2ln2e 三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的

6、定義域內(nèi)是連續(xù)的.)1, 0( aaayx指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);),(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在)1, 0(log aaxya對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);), 0(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在 xy ,), 0(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 ,不不同同值值討討論論 (均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù) )三、初等函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性 其中定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間其中定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.定理定理6 一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的內(nèi)都是連續(xù)的.定理定理5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)僅在

7、其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在其定義域內(nèi)不一在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)定連續(xù);注注基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)一切初等函數(shù)在在定義區(qū)間內(nèi)定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)例如例如, , 1cos xy,4,2, 0: xD這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義. .,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0 0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義. .), 1 上連續(xù)上連續(xù)函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間2arcsin(1)ln(1),(1)(2)xxyxxyeyxx 例如例如在其定

8、義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)函數(shù).023lim( ),lim( ),lim( ).xxxf xf xf x 求函數(shù)求函數(shù)32233( )6xxxf xxx 的連續(xù)區(qū)間的連續(xù)區(qū)間, 并求并求2(3)(1)(3)(2)xxxx 2132xxx 32233( )6xxxf xxx 因因解解(, 3)( 3,2)(2,) 所以所以 的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為( )f x3220033 lim( )lim6xxxxxf xxx 而而3222233lim( )lim6xxxxxf xxx 3223333lim( )lim6xxxxxf xxx 2011lim22xxx 221lim2xxx 2

9、318lim25xxx 函數(shù)函數(shù)2( )ln(9)f xx 的連續(xù)區(qū)間是的連續(xù)區(qū)間是( )(1) (, 3); (2) (3,); (3) 3,3; (4) ( 3,3). (4)21,2( ).sin,2xxef xxx 討討論論函函數(shù)數(shù)在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)的的連連續(xù)續(xù)性性解解( )(,), f x 函函數(shù)數(shù) 的的定定義義域域?yàn)闉橐蛞驗(yàn)闉?22,( ),2,( ).xxf xexf x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 為為初初等等函函數(shù)數(shù) 所所以以時(shí)時(shí) 是是連連續(xù)續(xù)的的, 2,( ).xf x 同同理理 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 也也是是連連續(xù)續(xù)的的2,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)1222lim( )lim0 xxxf xe 22lim(

10、)limsin1xxf xx , 2( ).xf x 所所以以 在在 時(shí)時(shí) 不不連連續(xù)續(xù)注注 初等函數(shù)求極限的方法初等函數(shù)求極限的方法: 代入法代入法.000lim( )()()xxf xf xx 定定義義區(qū)區(qū)間間例例10. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e解解例例11.11lim20 xxx 求求解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原原式式11lim20 xxx20 . 0 消去未定式消去未定式求極限求極限1limarctanxxxex ；解解1( )lim, 1, arctanxxxef xxx 因因?yàn)闉?是是初初等等函函數(shù)數(shù) 在在點(diǎn)點(diǎn)

11、處處有有定定義義于是于是1limarctanxxxex (1)f 11arctan1e 4(1)e 000()()lim()()nnxxmmPxPxQxQx 歸納求極限的常見方法歸納求極限的常見方法:2. 利用重要極限利用重要極限0sinlim1,xxx 101lim(1)lim(1)xtxttex3. 利用函數(shù)的連續(xù)性利用函數(shù)的連續(xù)性00lim( )()xxf xf x 過程過程, 常常需要因式分解、約分、通分或分子分母同乘以函常常需要因式分解、約分、通分或分子分母同乘以函數(shù)數(shù). 來化簡(jiǎn)來化簡(jiǎn). 記住結(jié)論記住結(jié)論:型的求極限型的求極限1. 利用極限的四則運(yùn)算法則利用極限的四則運(yùn)算法則, 以及

12、對(duì)于以及對(duì)于0,0 4. 利用無窮小量與無窮大量的關(guān)系及無窮小的等價(jià)代換利用無窮小量與無窮大量的關(guān)系及無窮小的等價(jià)代換.5. 利用數(shù)列求和公式和基本極限利用數(shù)列求和公式和基本極限. 11111 21 2 31 2nxn 22212 33 4(1)nxn n 1 1 1 11121 2() 22 3 3 411n nn 比如比如lim2nnx 故故 lim.nnx求求6. 利用對(duì)數(shù)方法求冪指函數(shù)極限利用對(duì)數(shù)方法求冪指函數(shù)極限()( )ln( )( )( ( )0)g xg xf xyf xef x例如例如 求求1111lim().2xxxxx ()00lim ln( )limg xxxf xxx

13、ye 111limln21xxxxe 解解12ln23e 兩兩邊邊取取極極限限有有122( )3 1111lim()2xxxxx 7. 利用極限存在準(zhǔn)則利用極限存在準(zhǔn)則, 證明極限的存在證明極限的存在, 并求極限并求極限. 1110,()(1,2,0)lim2nnnnnauuunauu 且且，求求比如比如: lim,nnu 故故存存在在1211 (1)(1) 122nnnuaauau 而而，11 ()2nnnauuu 因因?yàn)闉榻饨?nnauau ,nu則則有有下下界界1 nnnuuu 則則, , 從從而而單單減減；11limlim()2nnnnnauuu 1()2aAAA 則則有有 Aa limnnua 故故lim,0nnuAAa 設(shè)設(shè)解得解得2Aa思考題思考題 若若)(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，則則| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，)(xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？思考