循環(huán)矩陣的探討

1、四川師范大學本科畢業(yè)論文循環(huán)矩陣的探討學生姓名王云肖院系名稱數學與軟件科學學院專業(yè)名稱數學與應用數學班 級 2011級 3 班學 號 2011060344指導教師 柏明強完成時間 2015年5月5日循環(huán)矩陣的探討數學與應用數學專業(yè)學生姓名：王云肖 指導教師：柏明強摘要: 本文主要介紹了一類特殊的矩陣-循環(huán)矩陣.介紹了循環(huán)矩陣的概念,代數運算性質,特征值和特征向量的概念以及求法,對角化問題.關鍵詞: 循環(huán)矩陣;特征值;特征向量;對角化. The discussion of cyclic matrixSpecialization: Mathematics and Applied Mathemati

2、csUndergraduate: Wang Yunxiao Supervisor: Bai MingqiangAbstract ： This article mainly introduces a special kind of matrix - cyclic matrix. It introduces the concept , the algebraic operation properties, the concept of eigenvalue and eigenvector and the calculation method ,the problemof diagonalizati

3、on of cyclic matrix.Key words: cyclic matrix, eigenvalue, eigenvector, diagonalizable. 目錄摘要:I1.循環(huán)矩陣的產生背景12.循環(huán)矩陣的代數性質12.1循環(huán)矩陣的概念12.2循環(huán)矩陣的運算性質23.循環(huán)矩陣的特征值與特征向量53.1循環(huán)矩陣特征值與特征向量的概念以及性質53.2循環(huán)矩陣特征值與特征向量的一般求法63.2.1 基本計算法63.2.2 特殊法64.循環(huán)矩陣對角化74.1循環(huán)矩陣可角化的概念以及性質74.2對角化的應用85.結束語9參考文獻：91.循環(huán)矩陣的產生背景 循環(huán)矩陣的概念是T Muir在

4、1885年最先提出的, 一直到1950到1955年, Good等才對其逆, 行列式和特征值進行研究. 循環(huán)矩陣是一種很重要的矩陣,在很多領域中都有廣泛的應用.如在數理統(tǒng)計,編碼理論,理論物理,固態(tài)物理,數學圖象處理,分子軌道理論等方面應用很廣.循環(huán)矩陣逆特征值問題,在力學振動系統(tǒng)設計,分子結構理論,線性多變量控制理論及數值分析等領域中也是有很廣泛的應用的.因為循環(huán)矩陣是現代科技工程中具有廣泛應用的一種特殊矩陣,具有很好的性質和結構,所以對于循環(huán)矩陣的研究非常活躍. 和一般矩陣相比,循環(huán)矩陣具有和其相似的性質,比如秩, 特征值, 特征向量等都是一般矩陣性質的重要部分.對于循環(huán)矩陣的研究愈加深入同

5、時也加深了對一般矩陣的認識,同時對于一般矩陣的性質探索也有一定幫助. 從1950年提出了循環(huán)矩陣的概念以來,尤其是近年來,循環(huán)矩陣類已然成為了矩陣理論和應用數學領域中一個非常活躍的和重要的研究方向,許多數學工作者對它進行了大量探索,并且得出很多成果.各種新的循環(huán)矩陣概念被提出,已有十幾種.如向后循環(huán)矩陣,循環(huán)布爾矩陣, r-循環(huán)矩陣,g-循環(huán)矩陣,塊循環(huán)矩陣等. 迄今為止,有關循環(huán)矩陣的理論知識還不是很完善,但是在實際生活中循環(huán)矩陣的應用還是很廣泛的,因此數學工作者對循環(huán)矩陣的探索仍在進行著.其中對于它的逆矩陣求法是許多國家數的學工作者研究的一個重要方向.但是對于循環(huán)矩陣的代數性質,特征值,特

6、征向量以及對角化問題研究的還不是很多,而對于這類特殊的矩陣循環(huán)矩陣來說這是基本的.2.循環(huán)矩陣的代數性質2.1循環(huán)矩陣的概念定義1 具有如下形式的n階方陣的C稱為一個n階循環(huán)矩陣, 又稱輪換矩陣,C=, 顯然, C由其首行元素唯一確定, 簡記為C=circ(a0,a1,an-1).特別地, n階循環(huán)矩陣K= circ(0,1,0,0)=, 稱為單位循環(huán)矩陣或循環(huán)置換矩陣或移位矩陣.性質1 C=a0K0+ a1+a2+an-1.性質21 設f (x)= a0+a1x+an-1x n-1, 則C=f (K).2.2循環(huán)矩陣的運算性質性質3 設A, B是兩個n階循環(huán)矩陣, 則A+B是循環(huán)矩陣.證明

7、設循環(huán)矩陣A, B為A=, B=, 則A+B= circ(a0+b0,a1+b1,an-1+bn-1),根據定義, 則A+B也為循環(huán)矩陣. 性質4 設A, B是兩個n階循環(huán)矩陣, 則AB是循環(huán)矩陣, 且AB=BA.證明 設則 其中.因為，其中t為非負整數, 所以其中c2n-1=0. 所以AB=circ(c0+cn, c1+cn+1, cn-2+c2n-2, cn-1)是循環(huán)矩陣.又因為f (x)g(x) = g(x) f (x), 則AB=.性質5 設A是一個n階循環(huán)矩陣, a是數域P中的一個數, 則aA是循環(huán)矩陣.證明 設循環(huán)矩陣A=, 則B=aA= circ(aa0,aa1,aan-1),

8、 故aA為循環(huán)矩陣, 得證.性質6 設A是一個n階循環(huán)矩陣, 則A的轉置矩陣AT是循環(huán)矩陣.證明 設有一個循環(huán)矩陣A=, 則循環(huán)矩陣A的轉置為AT= circ(a0,an-1,a1), 從而結論成立.性質7 設A是一個n級可逆循環(huán)矩陣, 則A的逆矩陣A-1是循環(huán)矩陣.證明：根據性質4，兩個循環(huán)矩陣A, B的乘積是循環(huán)矩陣, 因而只要找到循環(huán)矩陣B, 使得AB=En, 問題即可解決.設 (,為待定常數), 則,其中, s=0,1,2n-1. 要使得AB=E, 其必要條件是使得下列方程組成立：,方程組可以改寫為,顯然，上述方程組的系數矩陣為循環(huán)矩陣A的轉置矩陣, 是可逆的, 因而根據Cramer法

9、則，該方程組存在唯一的一組解(, ,), 從而B是唯一確定的, 即是A的逆矩陣, 因此A的逆矩陣是循環(huán)矩陣.推論1 設A為n階可逆循環(huán)矩陣, 則循環(huán)矩陣A 的伴隨矩陣A也是循環(huán)的.性質8 設A是一個n級可逆循環(huán)矩陣, 則A的Moore-Penrose逆+也為循環(huán)矩陣. 性質9 設A, B是兩個n階循環(huán)矩陣, 則A與B的Hadamard積AÄB是循環(huán)矩陣. 即是, 設A= circ(a0,a1,an-1), B= circ(b0,b1,bn-1), 則AÄB= circ(a0b0,a1b1,an-1bn-1)是循環(huán)矩陣.性質10 設A, B是兩個n階循環(huán)矩陣, 則A與B的Fa

10、n積AB是循環(huán)矩陣. 證明 設A=, B=, 則AB= =circ(a0b0,-a1b1, -an-1bn-1)是循環(huán)矩陣.3.循環(huán)矩陣的特征值與特征向量3.1循環(huán)矩陣特征值與特征向量的概念以及性質定義2 設A是數域P上的n階循環(huán)矩陣,則稱關于l的多項式|E-A|為A的特征多項式, 其在復數域C上的根為循環(huán)矩陣A的特征值.若是n階循環(huán)矩陣A的特征值, 那么齊次線性方程組(E-A)X=0的非零解則稱為循環(huán)矩陣A 的屬于特征值的特征向量.設是數域P 上線性空間V的一個線性變換, 如果對于數域P 中的一數0，存在一個非零向量, 使得=0, 那么0 成為的一個特征值, 而

11、稱為的屬于特征值0的一個特征向量.性質11 設是循環(huán)矩陣A的特征值, 且循環(huán)矩陣A是可逆的, 則-1是A-1的特征值.證明 設1,2,n為循環(huán)矩陣A的特征值, 則|A|=12n0, 所以i0(i=1, 2, , n). 設屬于循環(huán)矩陣A的特征值的特征向量為, 則A=, 那么, 則=, 因為循環(huán)矩陣A的特征值最多只有n個, 所以是的特征值.性質12 若是n階循環(huán)矩陣A的特征值, f (x)是數域P上的任意一個多項式, 那么f ()是f (A)的特征值.證明 設是循環(huán)矩陣A的特征向量, , 那么A=, 進而Ai=i所以,因此f ()也是f(A)的特征值.性質13 設n階循環(huán)矩陣A每一行元素之和為a

12、, 那么a必是A的特征值.證明 設循環(huán)矩陣A=, 則由題設條件可知： =a所以a是循環(huán)矩陣A的特征值.3.2循環(huán)矩陣特征值與特征向量的一般求法3.2.1 基本計算法基本步驟：1) 求出循環(huán)矩陣A的特征多項式;2) 求出=0的所有根;3) 解齊次線性方程組X=0, 其基礎解系就是循環(huán)矩陣A的特征根線性無關的特征向量.3.2.2 特殊法 第一步：對于單位循環(huán)矩陣K=circ(0,1,0,0), 其特征方程為ln-1,其特征值為1,w,w2, wn-1(其中), 第二步：由于循環(huán)矩陣A= circ(a0,a1,an-1)=f(K), 根據性質12, 則矩陣A的特征值為1, f(w), f(w2),

13、f(wn-1). 第三步：設rk=wk (k=0,1,2,n-1), 則屬于A的特征值=f (wk )的特征向量為 . 4.循環(huán)矩陣對角化4.1循環(huán)矩陣可角化的概念以及性質 定義3 對于n階矩陣A，如果存在n階可逆矩陣T使得T-1AT為對角陣，則稱A可以對角化. 引理 任意n階循環(huán)矩陣A在復數域C上都是可對角化的. 證明 取n階可逆矩陣,其中且.根據 A為n階循環(huán)矩陣, 可設A= , 從而 推論2 任意循環(huán)矩陣A可以表示成n個循環(huán)矩陣Ai (i=1, 2, ., n). 證明 由引理,則,那么 =. 其中Eij是第i行第j列位置元素為1, 其余為0的n級矩陣.性質14 設A是數域P上的一個n階

14、循環(huán)矩陣, 是循環(huán)矩陣A的不同的特征根, 那么存在n階循環(huán)矩陣, 使得(1) A=；(2) =E, E為單位矩陣；(3) . 證明：(1) 因為循環(huán)矩陣A是可對角化的, 那么就存在數域P上的一個n階可逆矩陣D, 使得DAD=C, 其中的重數是(i=1,2,t), 因為 C=+, 所以 =+, 令, 則A=.由推論2以及性質3和性質5可知為循環(huán)矩陣.(2) 因為=diag(0,.,0,0,0) (i=1,2,t), 所以+=E, 進而+=E, 所以+=E.(3) =, 那么.4.2對角化的應用例4 將循環(huán)矩陣A對角化, 其中A=.解 令 f (x) = 1+2x + 3x2 + 4x3, A=f

15、A (K), 其中K=, 由于, 所以其特征值為：fA (1)=10, fA(h)=-2-2i, fA(h2) =-2, fA(h3)=-2+2i, T=1/2, T=1/2, 可驗證：TAT -1=diag(10, -2-2i, -2, -2+2i).5.結束語 迄今為止, 對循環(huán)矩陣的認識還處在初級階段.需要更加深入地探索學習.其應用是一個很重要的研究方向,并且隨著研究的深入, 循環(huán)矩陣的應用越來越廣泛.參考文獻：1 徐仲. 矩陣類的快速算法M. 西安：西北工業(yè)大學出版, 2001.2 王萼芳. 高等代數教程M. 北京：清華大學出版社,1996.3 北京大學數學系. 高等代數M. 北京：高等教育出版社, 1999.4 威爾全集. 代數特征值問題M. 北京：科學出版社, 2001.5 張賢科, 許莆華. 高等代數學M. 北京：清華大學出版社,1998.6 劉𠇔生. 矩陣對角化與循環(huán)矩陣J. 九江職業(yè)技術學院學報, 2006.7 張愛萍. 循環(huán)矩陣的性質及其對角化J. 廣西師院學報, 2000,17(4):10-13.8 陳景良, 陳向暉. 特殊矩陣M. 北京：清華大學出版社, 2001.9 王萼芳, 石生明. 高等代數M. 北京：高等教育出版社,2003.10張盛虞. 關于循環(huán)矩陣的一