拉普拉斯變換

1、自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理拉普拉斯變換拉普拉斯變換1 拉氏變換的概念拉氏變換的概念2 拉氏變換的運(yùn)算定理拉氏變換的運(yùn)算定理3 拉氏反變換拉氏反變換4 拉氏變換應(yīng)用舉例拉氏變換應(yīng)用舉例1 拉氏變換的概念本章簡(jiǎn)要敘述拉氏變換（和拉氏反變換）的概念、拉氏變換本章簡(jiǎn)要敘述拉氏變換（和拉氏反變換）的概念、拉氏變換的運(yùn)算定理和應(yīng)用拉氏變換求解微分方程的基本方法，并通的運(yùn)算定理和應(yīng)用拉氏變換求解微分方程的基本方法，并通過拉氏變換應(yīng)用舉例，介紹了典型一、二階系統(tǒng)的單位階躍過拉氏變換應(yīng)用舉例，介紹了典型一、二階系統(tǒng)的單位階躍函數(shù)和典型一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)。函數(shù)和典型一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)。 拉普拉斯變換（拉普拉

2、斯變換（The Laplace Transfrom）（簡(jiǎn)稱拉氏變換）（簡(jiǎn)稱拉氏變換）是一種函數(shù)的變換，經(jīng)變換后，可將微分方程式變換成代數(shù)是一種函數(shù)的變換，經(jīng)變換后，可將微分方程式變換成代數(shù)方程，并且在變換的同時(shí)即將初始條件引入，避免了經(jīng)典解方程，并且在變換的同時(shí)即將初始條件引入，避免了經(jīng)典解法中求積分常數(shù)的麻煩，因此這種方法可以使微分方程求解法中求積分常數(shù)的麻煩，因此這種方法可以使微分方程求解題的過程大為簡(jiǎn)化。題的過程大為簡(jiǎn)化。在經(jīng)典自動(dòng)控制理論中，自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是建立在在經(jīng)典自動(dòng)控制理論中，自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是建立在傳遞函數(shù)基礎(chǔ)之上的，而傳遞函數(shù)的概念又是建立在拉氏變傳遞函數(shù)基礎(chǔ)

3、之上的，而傳遞函數(shù)的概念又是建立在拉氏變換的基礎(chǔ)上的，因此，拉氏變換是經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)換的基礎(chǔ)上的，因此，拉氏變換是經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。1 拉氏變換的概念 若將實(shí)變量的函數(shù)，乘以指數(shù)函數(shù)若將實(shí)變量的函數(shù)，乘以指數(shù)函數(shù)(其中，是一個(gè)復(fù)變數(shù)其中，是一個(gè)復(fù)變數(shù))，再在，再在0到到 之間對(duì)進(jìn)行積分，就得到一個(gè)新的函數(shù)。稱之間對(duì)進(jìn)行積分，就得到一個(gè)新的函數(shù)。稱為拉氏變換式，并可用符號(hào)為拉氏變換式，并可用符號(hào) 表示。表示。 上式稱為拉氏變換的定義式。為了保證式中等號(hào)右邊的積上式稱為拉氏變換的定義式。為了保證式中等號(hào)右邊的積分存在（收斂），應(yīng)滿足下列條件：分存在（收斂），應(yīng)滿足下列條件： 當(dāng)當(dāng) ，

4、 ； 當(dāng)當(dāng) ， 分段連續(xù)；分段連續(xù)； 當(dāng)當(dāng) ， 較較 衰減得更快。衰減得更快。 s是復(fù)數(shù)變量，是復(fù)數(shù)變量，s=+j( )L f t0( )( )( )stF sL f tf t edt（1）0t ( )0f t 0t ( )f tt ste( )f t1 拉氏變換的概念由于由于 是一個(gè)定積分，是一個(gè)定積分，t 將在新函數(shù)中消失。因?qū)⒃谛潞瘮?shù)中消失。因此，此， 只取決于只取決于s，它是復(fù)變數(shù)，它是復(fù)變數(shù)s的函數(shù)。拉氏變換將原來的函數(shù)。拉氏變換將原來的實(shí)變量函數(shù)的實(shí)變量函數(shù) 轉(zhuǎn)化為復(fù)變量函數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)變量函數(shù) 。拉氏變換是一種單值變換。拉氏變換是一種單值變換。 和和 之間具有一一對(duì)應(yīng)的之間具有一一對(duì)

5、應(yīng)的關(guān)系。通常前者稱為原函數(shù)，后者為象函數(shù)。關(guān)系。通常前者稱為原函數(shù)，后者為象函數(shù)。由拉氏變換的定義式，可以從已知的原函數(shù)求取對(duì)應(yīng)的象函由拉氏變換的定義式，可以從已知的原函數(shù)求取對(duì)應(yīng)的象函數(shù)。例如數(shù)。例如例例1：求單位階躍函數(shù)（：求單位階躍函數(shù)（Unit Step Function）的象函數(shù)。）的象函數(shù)。 在自動(dòng)控制原理中，單位階躍函數(shù)是一個(gè)突加作用信號(hào)，相在自動(dòng)控制原理中，單位階躍函數(shù)是一個(gè)突加作用信號(hào)，相當(dāng)一個(gè)開關(guān)的閉合當(dāng)一個(gè)開關(guān)的閉合(或斷開或斷開)。在求它的象函數(shù)前，首先應(yīng)給。在求它的象函數(shù)前，首先應(yīng)給出單位階躍函數(shù)的定義式出單位階躍函數(shù)的定義式 0( )stf t edt( )F s

6、( )f t( )F s( )f t( )F s1 拉氏變換的概念在自動(dòng)控制系統(tǒng)中，單位階躍函數(shù)相當(dāng)一個(gè)突加作用信號(hào)。在自動(dòng)控制系統(tǒng)中，單位階躍函數(shù)相當(dāng)一個(gè)突加作用信號(hào)。由式由式(1)有有 0(0)1( )1(0)ttt0011( )1( )1ststF sLtedtess （2）1 拉氏變換的概念例例2：求單位脈沖函數(shù)：求單位脈沖函數(shù)(Unit Puise Fuction)的象函數(shù)。的象函數(shù)。設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 函數(shù)的特點(diǎn)是函數(shù)的特點(diǎn)是 單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù) 定義為：定義為： 在在 時(shí)及在時(shí)及在 時(shí)為時(shí)為0，在，在t=0時(shí)，時(shí)， 由由 ；又由；又由 。但對(duì)時(shí)間的積分為。但對(duì)時(shí)間的積分為1。即。

7、即 0(0)1( )(0)0()tttt ( ) t0001( )( )1t dtt dtt( ) t0( )lim( )tt( ) t0t 0t ( ) t00 000( )lim( )1t dtt dt（3）1 拉氏變換的概念在自動(dòng)控制系統(tǒng)中，單位脈沖函數(shù)相當(dāng)一個(gè)瞬時(shí)的擾動(dòng)信在自動(dòng)控制系統(tǒng)中，單位脈沖函數(shù)相當(dāng)一個(gè)瞬時(shí)的擾動(dòng)信號(hào)。它的變換式由式（號(hào)。它的變換式由式（1）有）有0( )( )( )stF sLtt edt00lim( )( )ststt e dtt e dt00000111limlimlim1sststee dtess(4)1 拉氏變換的概念例例3： 求求 與與 間的關(guān)系間的關(guān)

8、系 由以上兩例可見，在區(qū)間（由以上兩例可見，在區(qū)間（0，）里，）里 ，而，而 ，所以，所以由上式有由上式有 ( ) t1( ) t11 ( ) tt1( ) t1 ( )1( )dttdt001 ( )limlim( )dttdt（5）1( )( )d ttdt2.1 拉氏變換的概念由上式有由上式有 （6） 由式（由式（5）和式）和式(6)可知：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)即為單可知：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)即為單位脈沖函數(shù)。反之，單位脈沖函數(shù)對(duì)時(shí)間的積分即為單位階位脈沖函數(shù)。反之，單位脈沖函數(shù)對(duì)時(shí)間的積分即為單位階躍函數(shù)。躍函數(shù)。例例4：求斜坡函數(shù)（：求斜坡函數(shù)（Ramp Function）的象

9、函數(shù)。）的象函數(shù)。斜坡函數(shù)的定義式為：斜坡函數(shù)的定義式為： 在自動(dòng)控制原理中，斜坡函數(shù)是一個(gè)對(duì)時(shí)間作均勻變化的信在自動(dòng)控制原理中，斜坡函數(shù)是一個(gè)對(duì)時(shí)間作均勻變化的信號(hào)。在研究隨動(dòng)系統(tǒng)時(shí)，常以斜坡信號(hào)作為典型的輸入信號(hào)號(hào)。在研究隨動(dòng)系統(tǒng)時(shí)，常以斜坡信號(hào)作為典型的輸入信號(hào)。同理，根據(jù)拉氏變換的定義式有：。同理，根據(jù)拉氏變換的定義式有：1( )( )tt dt0(0)( )(0)tf tKtt式中式中K為常數(shù)為常數(shù)2.1 拉氏變換的概念若式若式K=1，即單位斜坡函數(shù)，即單位斜坡函數(shù) 0( )stF sL KtKtedt0ststeKe dtKtss20stKKe dtss（7） 21L ts1 拉氏

10、變換的概念 例例5：求指數(shù)函數(shù)（：求指數(shù)函數(shù)（Exponential Function） 的的象函數(shù)。象函數(shù)。 由式（由式（1）有）有 0( )ttstF sL eee dt()()0011sts tedtess（8）te歐拉公式：歐拉公式： sin2cos2cossinj tj tj tj tj teetjeetetjt1 拉氏變換的概念實(shí)用上，常把原函數(shù)與象函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系列成對(duì)實(shí)用上，常把原函數(shù)與象函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系列成對(duì)照表的形式。通過查表，就能夠知道原函數(shù)的象函數(shù)照表的形式。通過查表，就能夠知道原函數(shù)的象函數(shù)，或象函數(shù)的原函數(shù)，十分方便。，或象函數(shù)的原函數(shù)，十分方便。 ()()00

11、12sjtsjtedtedtj22111()2j sj tsj ts(9)001( )sinsin()2stj tj tstF sLtte dteee dtj例例6. 求正弦函數(shù)（求正弦函數(shù)（Sinusoidal Function） 的象函數(shù)。的象函數(shù)。( )sinf tt2 拉氏變換的運(yùn)算定理在應(yīng)用拉氏變換時(shí)，常需要借助于拉氏變換運(yùn)算定理，這在應(yīng)用拉氏變換時(shí)，常需要借助于拉氏變換運(yùn)算定理，這些運(yùn)算定理都可通過拉氏變換定義式加以證明，現(xiàn)分別敘些運(yùn)算定理都可通過拉氏變換定義式加以證明，現(xiàn)分別敘述如下：述如下：一、疊加定理一、疊加定理兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的拉氏變換等于兩個(gè)函數(shù)拉氏變換的代數(shù)兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和

12、的拉氏變換等于兩個(gè)函數(shù)拉氏變換的代數(shù)和。即和。即證證1212( )( )( )( )L f tf tL f tL f t12120( )( )( )( )stL f tf tf tf t edt1200()()ststf te dtf te dt1212()()( )( )L f tL f tF sF s（10）2 拉氏變換的運(yùn)算定理二、比例定理二、比例定理K倍原函數(shù)的拉氏變換等于原函數(shù)拉氏變換的倍原函數(shù)的拉氏變換等于原函數(shù)拉氏變換的K倍。即倍。即( )( )L Kf tKL f t0( )( )stL Kf tKf t edt0( )( )stKf t edtKF s（11）2 拉氏變換的運(yùn)

13、算定理三、微分定理三、微分定理 在零初始條件下在零初始條件下( )( )(0)L f tsF sf( )( )nnL fts F s （12）( )( )dL f tLf tdt0( )stdef t dtdt0( )ste df t00( )( )()ststf t ef ts edt0(0)( )stfsf t e dt( )(0)sF sf2 拉氏變換的運(yùn)算定理當(dāng)初始條件當(dāng)初始條件 時(shí)，時(shí)，同理，可求得同理，可求得 若具有零初始條件，若具有零初始條件， 即即 則則(0)0f( )( )L ftsF s2( )( )(0)(0)L fts F ssff( )1(1)( )( )(0)(0)

14、nnnnLfts F ssff (1)(0)(0)(0)0nfff2( )( )L fts F s( )( )( )nnL fts F s 2 拉氏變換的運(yùn)算定理上式表明，在初始條件為零的前提下，原函數(shù)的階導(dǎo)上式表明，在初始條件為零的前提下，原函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的拉氏式等于其象函數(shù)乘以。這使函數(shù)的微分運(yùn)算數(shù)的拉氏式等于其象函數(shù)乘以。這使函數(shù)的微分運(yùn)算變得十分簡(jiǎn)單。它是拉氏變換能將微分運(yùn)算轉(zhuǎn)換成代變得十分簡(jiǎn)單。它是拉氏變換能將微分運(yùn)算轉(zhuǎn)換成代數(shù)運(yùn)算的依據(jù)。因此微分定理是數(shù)運(yùn)算的依據(jù)。因此微分定理是個(gè)十分重要的運(yùn)算個(gè)十分重要的運(yùn)算定理。定理。 四、積分定理四、積分定理0( )( )( )tf t dtF

15、 sLf t dtss( )( )()nnnF sLf t dts0( )( )stLf t dtf t dt edt （13）（14）2 拉氏變換的運(yùn)算定理00( )( )()()ststeef t dtf t dtss0011( )( )sttf t dtf t edtss0( )( )tf t dtF sss2 拉氏變換的運(yùn)算定理當(dāng)初始條件當(dāng)初始條件 時(shí)，由上式有時(shí)，由上式有同理，可以證明在零初始條件下有同理，可以證明在零初始條件下有0( )0tf t dt( )( )F sLf t dts22( )( )()F sLf t dts( )( )()nnnF sLf t dts2 拉氏變換

16、的運(yùn)算定理上式同樣表明，在零初始條件下，原函數(shù)的重積分的拉氏式等上式同樣表明，在零初始條件下，原函數(shù)的重積分的拉氏式等于其象函數(shù)除以。它是微分的逆運(yùn)算，與微分定理同樣是十分于其象函數(shù)除以。它是微分的逆運(yùn)算，與微分定理同樣是十分重要的運(yùn)算定理。重要的運(yùn)算定理。五、位移定理五、位移定理上式表明，原函數(shù)上式表明，原函數(shù) 乘以因子乘以因子 時(shí)，它的象函數(shù)只需把時(shí)，它的象函數(shù)只需把 中的用中的用s代替代替s+a即可。也就是將即可。也就是將 平移了位置平移了位置a。()F s( )()tL ef tF s 0( )( )ttstL ef tef t edt ()0( )stf t edt( )f tte(

17、 )F s( )F s2 拉氏變換的運(yùn)算定理六、延遲定理六、延遲定理 原函數(shù)原函數(shù) 延遲延遲t時(shí)間，即成為時(shí)間，即成為 。當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，以新變量置換，設(shè)以新變量置換，設(shè) ，既，既 ， ，當(dāng)，當(dāng)t由由 時(shí)，則時(shí)，則x由由 ，代入上式，可得，代入上式，可得()( )sL f teF s( )f t（16）()f tt() 0f t00()()0()sssL f tf te dte dtf te dtxt tx()dtd xdx 0()000()( )( )( )( )ssss xsxsxL f tf xedxf xe e dx ef xe dx e Fs2 拉氏變換的運(yùn)算定理 上式表明，當(dāng)原函數(shù)上

18、式表明，當(dāng)原函數(shù) 延遲延遲 ，即成為，即成為 時(shí)，相應(yīng)的象函數(shù)時(shí)，相應(yīng)的象函數(shù) 應(yīng)乘以因子應(yīng)乘以因子 。 七、相似定理七、相似定理 （17） 證證 對(duì)上式進(jìn)行變量置換，令對(duì)上式進(jìn)行變量置換，令 ，則，則 ，于是上式可寫為，于是上式可寫為( )f t()f t( )F sste()()tLfFs0()()stttL ffedtxttx0( )( )()s xtL ff x edx0( )s xf x edx()Fs2 拉氏變換的運(yùn)算定理上式表明，當(dāng)原函數(shù)上式表明，當(dāng)原函數(shù) 的自變量的自變量t變化變化1/a時(shí)，則它對(duì)應(yīng)的時(shí)，則它對(duì)應(yīng)的象函數(shù)象函數(shù) 及變量及變量s將按比例變化將按比例變化a倍。倍。八

19、、初值定理八、初值定理 證證由微分定理有由微分定理有 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ，對(duì)上式左邊取極限有，對(duì)上式左邊取極限有 ，以此代入上式有，以此代入上式有 即即 （證畢）（證畢）( )f t( )F s0lim( )lim( )tsf tsF s（18）0( )( )(0)stft edtsF sfs 0ste0lim( )0stsft edtlim( )(0)0ssF sf0lim( )lim( )tsf tsF s2 拉氏變換的運(yùn)算定理上式表明原函數(shù)上式表明原函數(shù) 在在t=0 時(shí)的數(shù)值（初始值），可以通過時(shí)的數(shù)值（初始值），可以通過將象函數(shù)乘以將象函數(shù)乘以s后，再求后，再求 的極限值求得。條件是當(dāng)?shù)?/p>

20、極限值求得。條件是當(dāng) 和和 時(shí)等式兩邊各有極限存在。時(shí)等式兩邊各有極限存在。九、終值定理九、終值定理 由微分定理有由微分定理有 對(duì)上式兩邊取極限對(duì)上式兩邊取極限由于當(dāng)由于當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ，所以等式左邊可寫成，所以等式左邊可寫成( )f ts 0t s 0lim( )lim( )tsf tsF s（19）0( )( )(0)stft edtsF sf000lim( )lim( )(0)stssft edtsF sf(20)0s 1ste000lim( )( )stsft edtft dt0( )lim( )(0)tf tf tf2 拉氏變換的運(yùn)算定理以上式代入式以上式代入式(20),兩邊消去兩邊消

21、去 ,得得 （證畢）（證畢）上式表明原函數(shù)在上式表明原函數(shù)在 時(shí)的數(shù)值時(shí)的數(shù)值(穩(wěn)態(tài)值穩(wěn)態(tài)值),可以通過將象函可以通過將象函數(shù)乘以數(shù)乘以s后后,再求再求 的極限值來求得的極限值來求得.條件是當(dāng)條件是當(dāng) 和和 時(shí)時(shí),等式兩邊各有極限存在。等式兩邊各有極限存在。終值定理在分析研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能時(shí)終值定理在分析研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能時(shí)(例如分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)例如分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差求取系統(tǒng)輸出量的穩(wěn)態(tài)值等誤差求取系統(tǒng)輸出量的穩(wěn)態(tài)值等)有著很多的應(yīng)用。因此終有著很多的應(yīng)用。因此終值定理也是一個(gè)經(jīng)常用到的運(yùn)算定理。值定理也是一個(gè)經(jīng)常用到的運(yùn)算定理。由于拉氏變換具有上述這些簡(jiǎn)明的運(yùn)算定理，使拉氏變換的由于拉氏變換具

22、有上述這些簡(jiǎn)明的運(yùn)算定理，使拉氏變換的應(yīng)用更加方便。應(yīng)用更加方便。 (0)f0lim ( )lim( )tsf tsF st 0s t 0s 3 拉氏反變換由象函數(shù)求取原函數(shù)的運(yùn)算稱為拉氏反變換由象函數(shù)求取原函數(shù)的運(yùn)算稱為拉氏反變換Inverse Laplace Transform)。拉氏反變換常用下式表示。拉氏反變換常用下式表示拉氏變換和反變換是一一對(duì)應(yīng)的，所以，通?？梢酝ㄟ^查表拉氏變換和反變換是一一對(duì)應(yīng)的，所以，通?？梢酝ㄟ^查表來求取原函數(shù)。在自動(dòng)控制理論中常遇到的象函數(shù)是的有理來求取原函數(shù)。在自動(dòng)控制理論中常遇到的象函數(shù)是的有理分式，即分式，即這種形式的原函數(shù)這種形式的原函數(shù)般不能直接由

23、拉氏變換對(duì)照表中查得，般不能直接由拉氏變換對(duì)照表中查得，因此，要用部分分式展開法先將因此，要用部分分式展開法先將 化為一些簡(jiǎn)單分化為一些簡(jiǎn)單分式之和。這些分式的原函數(shù)可以由查表得到。則所求原函數(shù)式之和。這些分式的原函數(shù)可以由查表得到。則所求原函數(shù)就等于各分式原函數(shù)之和。就等于各分式原函數(shù)之和。1( )( )f tLF s11101110( )( )( )mmmmnnnb sbsbsbB sF sA ssasasa( )( )B sA s3、 拉式反變換拉式反變換 F(s)是復(fù)變數(shù)s的有理代數(shù)分式，可化成下列因式分解形式： 1）F(s)中具有不同的極點(diǎn)，即A(s)=0無重根時(shí)，可展開為 其中 或

24、者)()()()()()()(2121nmpspspszszszsksAsBsF nnpsapsapsasF 2211)( sFpsakpskklim kpsksAsBa 2）F(s)含有共扼復(fù)數(shù)極點(diǎn)，即A(s)=0有重根時(shí)，可展開為 式中nnpsapsapspsasasF 332121)()(11)()()(2121pspspspssAsBasa 3） F(s)含有多重極點(diǎn)時(shí)，可展開為 式中)()()()()()(11111111nnrrrrrrpsapsapsbpsbpsbsF 1)()()(1psrrpssAsBb111)()()(psrrpssAsBdsdb11)()()(!1psrj

25、jjrpssAsBdsdjb11111)()()()!1(1psrrrpssAsBdsdrb4 拉氏變換應(yīng)用舉例 例例1：求典型一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。：求典型一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。 設(shè)典型一階系統(tǒng)的微分方程為：設(shè)典型一階系統(tǒng)的微分方程為： 式中，式中，r（t）為輸入信號(hào)；）為輸入信號(hào)；c（t）為輸出信號(hào)；）為輸出信號(hào)；T為時(shí)間常為時(shí)間常數(shù)，其初始條件為零。數(shù)，其初始條件為零。 解解:對(duì)微分方程兩邊進(jìn)行拉氏變換有對(duì)微分方程兩邊進(jìn)行拉氏變換有 由于由于 ，則，則 ，代入上式有：，代入上式有：( )( )( )dc tTc tr tdt( )( )( )TsC sC sR s（29）( )1( )r tt1( )R ss1(1) ( )TsC ss2.4 拉氏變換應(yīng)用舉例由上式由上式 用待定系數(shù)法可求得用待定系數(shù)法可求得A=1，B=-T，代人上式有：，代人上式有： 對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換由表可查得對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換由表可查得 11( )11ABC ss TssTs（30）111( )