彈塑性力學(xué)-應(yīng)力

1、彈塑性力學(xué)緒 論研究對(duì)象 彈性體： 變形可完全恢復(fù)， 幾何上 桿狀構(gòu)件（一維）、 板殼結(jié)構(gòu)（二維） 塊體結(jié)構(gòu)（三維）。 荷載： 包括機(jī)械外力、溫度、電磁力等各種物理因素。研究?jī)?nèi)容 研究彈性體在外部荷載作用下其內(nèi)部所產(chǎn)生的內(nèi)力和變形 研究方法 材料質(zhì)點(diǎn) 從宏觀尺度上看它無(wú)限小； 但微觀尺度上看它無(wú)限大，它包含大量稀疏分布的分子、原子； 材料質(zhì)點(diǎn)的力學(xué)行為是這些大量分子、原子力學(xué)行為的統(tǒng)計(jì)平均。 （1）材料質(zhì)點(diǎn)的平衡， 未知應(yīng)力數(shù)總是超出微分方程數(shù)，彈性力學(xué)問(wèn)題總是超靜定的 （2）材料質(zhì)點(diǎn)之間的變形必須是協(xié)調(diào)的， （3）應(yīng)滿(mǎn)足應(yīng)力與變形關(guān)系的方程， 取決于材料性質(zhì)，故稱(chēng)為物理方程，或稱(chēng)為本構(gòu)方程。

2、基本理論 建立彈性力學(xué)的基本方程 從靜力學(xué)、變形協(xié)調(diào)和材料的物理關(guān)系等三個(gè)方面著手。 彈性力學(xué)問(wèn)題就歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解這些基本方程。求解方法 （1）解析求解 （2）數(shù)值求解法： 差分方法、有限元方法和加權(quán)殘數(shù)法等。彈性力學(xué)的基本體系彈性力學(xué)基本假定連續(xù)性完全彈性線彈性、小變形均勻性各向同性SACPnFxyz應(yīng)力矢量SFs0limT(n) = 定義坐標(biāo)分量 T(n) = Txex+Ty ey +Tzez ex，ey和ez表示坐標(biāo)軸的單位基矢量， Tx、Ty 和Tz是應(yīng)力矢量沿坐標(biāo)軸分量。法線方向和切線方向分量 沿法線方向的應(yīng)力分量稱(chēng)為正應(yīng)力， 沿切線方向的應(yīng)力分量稱(chēng)為剪應(yīng)力。性質(zhì)：同一

3、點(diǎn)的T(n)與所取截面的法線方向n有關(guān)， 所有這些不同截面上的應(yīng)力矢量構(gòu)成該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 只有三個(gè)面上的應(yīng)力矢量是獨(dú)立的；外法線為n微面上的應(yīng)力矢量為： T(n)= T(n) 應(yīng)力張量xyzyyzyxzyzxxyxzyzyxxzxzzyzyxxyxz 微六面體 三個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力矢量 T(ex)xex+xyey+xzez T(ey)yxex+yey+yzez T(ez)zxex+zyey+zez以上9個(gè)分量，構(gòu)成應(yīng)力張量在笛卡兒坐標(biāo)系下的分量zzyzxyzyyxxzxyx 張量表示 用1、2、3取代下標(biāo)x、y、z，應(yīng)力正、負(fù)號(hào)規(guī)定 正面上的應(yīng)力若指向坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎駝t為負(fù)； 負(fù)面的應(yīng)力若指

4、向坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎?，否則為負(fù)。333231232221131211 ij張量求和約定啞指標(biāo)：重復(fù)出現(xiàn)兩次的指標(biāo)，累加求和 U iVi=U1V1 +U2V2+U3V3 ii =11 +22+33 自由指標(biāo)：不重復(fù)出現(xiàn)的指標(biāo)，例如， Aijxi=Bj 其中i是啞指標(biāo)，而j是自由指標(biāo)，可以取1，2，3， T(ei)ik ek332211XVXVXVXVkkChauchy公式（斜面應(yīng)力公式） 已知三個(gè)互相垂直面上的應(yīng)力矢量，求任意一斜面上的應(yīng)力矢量， 由四面體平衡條件導(dǎo)出。 nT(-e )T(-e )T(-e )T(n)exyeCzxze yxyz由微四面體的平衡條件得： T(n)dS+T(ex)ld

5、S+ T( ey)mdS+ T( ez)ndS +Xdh dS /3=0 T( n)T(ex)l+T(ey)m+T(ez)n將斜面應(yīng)力矢量T( n)沿坐標(biāo)軸方向分解 T( n)Txex+Tyey+Tzez 斜截面公式 Txxl+yxm+zxn Tyxyl+ym+zyn Tzxzl+yzm+zn張量表示 Tj = niij 求斜截面的各種應(yīng)力（1）正應(yīng)力 n=T(n) n = Txl + Tym + Tzn nxl2+ym2+zn2+2xylm+2yzmn+2zxnl ijninj（2) 剪應(yīng)力確定力邊界條件222)(zyxTTTnT22)(nnnT例題504030401 ij求在3212121

6、21eeen面上的法向正應(yīng)力和切向剪應(yīng)力 3132121111nnnT)4(210211212221230213210213232221212nnnT2252521021)4(213332321313nnnT 解22272252212321)2221(21332211nTnTnTN24827212332221NTTTSdzzzzdzzzyzydzzzxzxdyyyydyyyxyxxyzxyxyzxzzxzyyzyxdyyyzyzdxxxzxzdxxxyxydxxxx平衡微分方程在x=0的面上，應(yīng)力是x、xy、 xz 在x=dx面上的應(yīng)力 由x方向的平衡dxxdxxdxxxzxzxyxyxx、d

7、xdzdxdzdyydydzdydzdxxyxyxyxxxx0Xdxdydzdxdydxdydzzzxzxzx0Xzyxzxyxx由y、z方向的平衡力矩平衡：繞z軸 (xydydz)dx(yxdxdz)dy=0 xyyx 繞x和y方向的形心軸取矩 yz=zy xz= zx0Yzyxzyyxy 0Zzyxzyzxz靜力學(xué)邊界條件nXAxyzxl+yxm+zxnXxyl+ym+zynYxzl+yzm+znZ例1-2 如圖所示的楔形體受水壓力作用，水的容重為，試寫(xiě)出邊界條 件。 解：在x=0上，l= 1，m =0， (x )x=0 (1) +(yx)x=00 = y (xy)x=0 (1) +(y)

8、x=00 = 0 (x)x=0= y (xy)x=0 在斜邊上 l= cos，m = sin x cos yx sin = 0 xycos y sin = 01yxyX0Y應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換 ye zeexeyezl1m1n1l2m2n2l3m3n3 xe 面（斜截面）的應(yīng)力矢量在舊坐標(biāo)下的分量 Txxl1+yxm1+zxn1 Tyxyl1+ym1+zyn1 Tzxzl1+yzm1+zn1 xe 新舊坐標(biāo)的夾角111111212121222lnnmmlnmlzxyzxyzyxxx)(xxeeT Txl1+Tym1+Tzn1zxyxx (l1 m1 n1) Tzzyzxyzyyxxzxyx 33

9、3222111n m ln m ln m l T zyzxzzyyxyzxyxx 主應(yīng)力在主平面上在主平面上 T( n) n 或 Tx l Ty m Tz n (x)l+yxm+zxn0 xy l+(y)m+zyn0 xzl+yzm+(z)n0 l2 + m2 + n2 = 1 非零解條件0zzyzxyzyyxxzxyx - -特征方程 3I12+ I2I3=0不變量 I1=x+y+z=kk I2=xy+xz+yz( ) = ( ijij) 主應(yīng)力性質(zhì) （1）主平面相互垂直 （2）極值性222zxyzxy2121Izzyzxyzyyxxzxyx I3最大剪應(yīng)力在法線為n的斜截面上，應(yīng)力矢量為

10、T( n)T(e1)l+T(e2)m+T(e3)nl1e1 + m2e2 + n3e3 nx1T(n)132nx2x3e1e3e 2n斜截面上的正應(yīng)力 n = T( n)n=l21+ m22 + n23應(yīng)力矢量的模為 = (l1)2+( m2)2+( n3)2斜截面上的剪應(yīng)力是 = (l1)2+( m2)2+( n3)2(l21+ m22 + n23)2 l2m2(12)2+ m2n2 (23)2 + n2l2(31)2 當(dāng)斜截面方向l、m、n變化時(shí)，剪應(yīng)力n隨之變化。 求上式的極值可得最大剪應(yīng)力2n2T約束條件 l2+m2+n2=1條件極值 無(wú)條件極值 F= ( l2+m2+n2 1) 為引

11、進(jìn)拉格朗日乘子 2n0lF 0mF 0nF0F2n1112121232222n2322121221222n2212121231222n231 lmnn0000100002 00003 000最大剪應(yīng)力 規(guī)定123 所在平面 與2平行而與1和3的角度分別為450 231max312321Mohr應(yīng)力圖每個(gè)截面上有正應(yīng)力和剪應(yīng)力，建立平面坐標(biāo)系 截面上的應(yīng)力對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系的一個(gè)點(diǎn)截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力 (l1)2+( m2)2+( n3)2截面上的正應(yīng)力 n = T( n)n=l21+ m22 + n23 l2+m2+n2=1以上三個(gè)式子聯(lián)立求解 222Tnn0)()(31213222nnnl0)()

12、(12321322nnnm0)()(23132122nnnn2322322)2()2(nn2132132)2()2(nn2212212)2()2(nn 應(yīng)力張量分解xyz000 xyzzyzxyxyzxyxzz0 x0y 靜水壓力狀態(tài)偏應(yīng)力狀態(tài)定義平均應(yīng)力 0 = (x +y +z) 31兩種應(yīng)力狀態(tài)用張量表示ij = sij + 0ij 其中ij是Kronecker符號(hào)，定義為 ij = 1，當(dāng)ij ij = 0，當(dāng)ij，00000000 00ij 000zzyzxyzyyxxzxyxij - -s關(guān)于靜水壓力狀態(tài) 任意一個(gè)面都是主平面 主應(yīng)力值均相等 在應(yīng)力圓上是一個(gè)點(diǎn) 靜水壓力張量是各向同性張量xyz000偏應(yīng)力張量sij的主值 s3+J2 s+J3=0 J1 =skk = sx+sy+sz=0 J2 =sijsij= (xy)2+(yz)2+(xz)2+6( )222zxyzxy0003zzyzxyzyyxxzxyxij - -sJ3cos3221Js 3cos3222Js cos3223Js3233233cosJJ61與應(yīng)力張量主值關(guān)系 s1 = 10 s2 = 20 s3 = 30 兩者方向相同0213cos32J0223co