矩陣及其變換

1、矩陣及其變換 高中數(shù)學(xué)高中三年級(jí)江蘇60線性變換與二階矩陣復(fù)合變換與二階矩陣的乘法逆變換與逆矩陣了解矩陣的相關(guān)知識(shí)，如行、列、元素、零矩陣的意義和表示。 通過具體的圖形變換，理解逆矩陣的意義并掌握二階矩陣存在逆矩陣的條件；通過具體的投影變換，說明它所對(duì)應(yīng)矩陣的逆矩陣不存在。矩陣的運(yùn)算、逆矩陣的求法 求矩陣的逆矩陣?yán)孟禂?shù)矩陣的逆矩陣求點(diǎn)的坐標(biāo)或曲線方程 本講從內(nèi)容上看，主要考查二階矩陣的基本運(yùn)算，考查矩陣的逆運(yùn)算及利用系數(shù)矩陣的逆矩陣求點(diǎn)的坐標(biāo)或曲線方程等從形式上看，以解答題為主，本節(jié)知識(shí)是高考中數(shù)學(xué)教材和高等數(shù)學(xué)教材的接軌知識(shí)，一般以基礎(chǔ)題目為主，難度不大又經(jīng)常與其他知識(shí)結(jié)合，在考查基礎(chǔ)知識(shí)

2、的同時(shí)，考查轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，以及分析問題、解決問題的能力 矩陣乘法的定義一般地，我們規(guī)定行矩陣a11，a12與列矩陣的乘法規(guī)則為a11，a12a11b11a12b21，二階矩陣與列矩陣的乘法規(guī)則為.說明：矩陣乘法MN的幾何意義為對(duì)向量的連續(xù)實(shí)施的兩次幾何變換(先TN后TM)的復(fù)合變換 乘法規(guī)則(1)行矩陣a11a12與列矩陣的乘法法則：a11a12a11b11a12b21(2)二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則：.(3)兩個(gè)二階矩陣相乘的結(jié)果仍然是一個(gè)二階矩陣，其乘法法則如下：.(4)兩個(gè)二階矩陣的乘法滿足結(jié)合律，但不滿足交換律和消去律，即(AB)CA(BC)(5)AkAlAkl，(Ak)lAk

3、l(其中k，lN*)常見的平面變換(1)恒等變換：因?yàn)椋撟儞Q把點(diǎn)(x，y)變成(x，y)，故矩陣表示恒等變換(2)反射變換：因?yàn)?，該變換把點(diǎn)(x，y)變成(x，y)，故矩陣表示關(guān)于y軸的反射變換；類似地，分別表示關(guān)于x軸、直線yx和直線yx的反射變換(3)伸縮變換：因?yàn)椋撟儞Q把點(diǎn)(x，y)變成點(diǎn)(x，ky)，在此變換中，點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變成原來的k倍，故矩陣表示y軸方向上的伸縮變換；類似地，矩陣可以用來表示水平伸縮變換(4)旋轉(zhuǎn)變換：把點(diǎn)A(x，y)繞著坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角的變換，對(duì)應(yīng)的矩陣是.(5)切變變換：表示的是沿x軸的切變變換沿y軸的切變變換對(duì)應(yīng)的矩陣是.(6)投影變換：，該

4、變換把所有橫坐標(biāo)為x的點(diǎn)都映射到了點(diǎn)(x,0)上，因此矩陣表示的是x軸上的投影變換類似地，表示的是y軸上的投影變換 (2014·揚(yáng)州模擬)已知矩陣A，B，若矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換把直線l：xy20變?yōu)橹本€l，求直線l的方程4xy80.易得AB，在直線l上任取一點(diǎn)P(x，y)，經(jīng)矩陣AB變換為點(diǎn)Q(x，y)，則，即代入xy20中得xy20，直線l的方程為4xy80. 求使等式M成立的矩陣M. M.解設(shè)M，則M，則即M. 在直角坐標(biāo)系中，已知ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，求ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形ABC的面積，其中M，N.4解：因?yàn)锳BC在MN作用

5、下變換為ABC，且MN，所以，.即A(0,0)，B(0,4)，C(2,4)可得SABC4.所以ABC在矩陣MN作用下變換所得的圖形的面積為4. 已知直線l：axy1在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l：xby1.(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)若點(diǎn)P(x0，y0)在直線l上，且A，求點(diǎn)P的坐標(biāo)(1,0)解(1)設(shè)直線l：axy1上任意點(diǎn)M(x，y)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下的像是M(x，y)由，得又點(diǎn)M(x，y)在l上，所以xby1，即x(b2)y1，依題意得解得(2)由A，得解得y00.又點(diǎn)P(x0，y0)在直線l上，所以x01.故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0) 已知M，N，設(shè)曲線ysin x在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線F，求F的方程 y2sin 2x.由題設(shè)得MN設(shè)所求曲線F上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，ysin x上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則MN，解得把代入ysin x，化簡(jiǎn)得y2sin 2x.所以，曲線F的方程為y2sin 2x.1