天津工業(yè)大學(xué)數(shù)值分析課件1誤差

1、教材教材丁麗娟，程杞元，丁麗娟，程杞元，數(shù)值計(jì)算方法數(shù)值計(jì)算方法，理工大學(xué)出版社，理工大學(xué)出版社,2005,2005參考書(shū)參考書(shū)各工科院校相應(yīng)教材各工科院校相應(yīng)教材清華大學(xué)清華大學(xué), ,哈工大哈工大, ,西安交大等西安交大等 最后成績(jī)最后成績(jī)= =實(shí)驗(yàn)作業(yè)成績(jī)實(shí)驗(yàn)作業(yè)成績(jī)(20%)+(20%)+考試成績(jī)考試成績(jī)(80%)(80%)實(shí)驗(yàn)作業(yè)：下列實(shí)驗(yàn)作業(yè)：下列1 1和和2 2選擇一個(gè)選擇一個(gè) 1.1.自選題自選題( (結(jié)合專(zhuān)業(yè)結(jié)合專(zhuān)業(yè)) )，作業(yè)中包含下列內(nèi)容，作業(yè)中包含下列內(nèi)容 (1)(1)實(shí)際問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題(2)(2)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 ( (例如，解常微分方程組，數(shù)據(jù)擬合等例如，解常微分方程組

2、，數(shù)據(jù)擬合等) )(3)(3)計(jì)算方法計(jì)算方法(4)(4)程序程序(matlab)(matlab)(5)(5)計(jì)算結(jié)果及分析計(jì)算結(jié)果及分析 最后成績(jī)最后成績(jī)= =實(shí)驗(yàn)作業(yè)成績(jī)實(shí)驗(yàn)作業(yè)成績(jī)(20%)+(20%)+考試成績(jī)考試成績(jī)(80%)(80%)實(shí)驗(yàn)作業(yè)：下列實(shí)驗(yàn)作業(yè)：下列1 1和和2 2選擇一個(gè)選擇一個(gè)2.2.課本或其它參考書(shū)的數(shù)值實(shí)驗(yàn)題課本或其它參考書(shū)的數(shù)值實(shí)驗(yàn)題 （至少（至少6 6道）道） 作業(yè)中包含下列內(nèi)容作業(yè)中包含下列內(nèi)容(1)(1)題目（課本外的說(shuō)明出處）題目（課本外的說(shuō)明出處）(2)(2)程序程序(matlab)(matlab)(3)(3)計(jì)算結(jié)果及分析計(jì)算結(jié)果及分析打印稿打印稿

3、( (不需要計(jì)算過(guò)程不需要計(jì)算過(guò)程) )，或電子文檔，或電子文檔注明學(xué)院和專(zhuān)業(yè)注明學(xué)院和專(zhuān)業(yè)課間交給任課老師（結(jié)課之前）課間交給任課老師（結(jié)課之前） 完全相同的實(shí)驗(yàn)作業(yè)沒(méi)有實(shí)驗(yàn)作業(yè)成績(jī)完全相同的實(shí)驗(yàn)作業(yè)沒(méi)有實(shí)驗(yàn)作業(yè)成績(jī)答疑：課間答疑：課間 周四下午周四下午14:0015:314:0015:30 0 理學(xué)院理學(xué)院B209B209教師：于偉教師：于偉 郵箱：郵箱：如何學(xué)習(xí)如何學(xué)習(xí)? ? 聽(tīng)課聽(tīng)課 做課后習(xí)題做課后習(xí)題( (掌握算法掌握算法) ) 實(shí)驗(yàn)作業(yè)實(shí)驗(yàn)作業(yè)( (實(shí)際應(yīng)用實(shí)際應(yīng)用) ) 提問(wèn)：數(shù)值計(jì)算方法是做什么用的？提問(wèn)：數(shù)值計(jì)算方法是做什么用的？數(shù)值數(shù)值 分析分析 求各種數(shù)學(xué)問(wèn)題近似解的方

4、法和理論求各種數(shù)學(xué)問(wèn)題近似解的方法和理論 計(jì)算計(jì)算 機(jī)機(jī)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型實(shí)際問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題近似解近似解 主要內(nèi)容主要內(nèi)容數(shù)值代數(shù)數(shù)值代數(shù) 線性方程組求解線性方程組求解( (第二章第二章, ,第三章第三章) ) 特征值計(jì)算特征值計(jì)算( (第四章第四章) )數(shù)值逼近數(shù)值逼近 插值法插值法( (第五章第五章) ) 函數(shù)逼近函數(shù)逼近 數(shù)據(jù)擬合數(shù)據(jù)擬合( (第六章第六章) )數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分?jǐn)?shù)值微分?jǐn)?shù)值積分( (第七章第七章) )非線性方程求解非線性方程求解( (第八章第八章) )常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法( (第九章第九章) )第一章第一章 誤差誤差1 1 誤差的來(lái)源與分類(lèi)誤差的來(lái)源與分類(lèi)從實(shí)

5、際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型 模型誤差模型誤差通過(guò)測(cè)量得到模型中參數(shù)的值通過(guò)測(cè)量得到模型中參數(shù)的值 觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差求近似解求近似解 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差機(jī)器字長(zhǎng)有限機(jī)器字長(zhǎng)有限 舍入誤差舍入誤差( )baIf x dx 1RII3(2)()( ),12baf ( , )a b 1 ( )( )2baf af bI 2 2絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)字絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)字2.12.1絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差的一個(gè)近似值的一個(gè)近似值為準(zhǔn)確值為準(zhǔn)確值設(shè)設(shè)xx*()e xxx*()e xxxxx * 或或*():e x絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差:絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差限限:可以表示

6、為可以表示為:注注 絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差限限不不唯唯一一*xxx例：例： 2.5 2.4xx 例：測(cè)得會(huì)議室的長(zhǎng)例：測(cè)得會(huì)議室的長(zhǎng)為為30m寬為寬為10m，長(zhǎng)的誤，長(zhǎng)的誤差不超過(guò)差不超過(guò)5cm, 寬的誤差不超過(guò)寬的誤差不超過(guò)2cm, 如何表示？如何表示？()30y 長(zhǎng)長(zhǎng)哪一個(gè)精度高？哪一個(gè)精度高？* ()e x 絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差：0.1xx ()100.02()xm寬寬0.05()m *()()e xxerx *|()|rrex 兩種誤差限的關(guān)系兩種誤差限的關(guān)系：*|x*|rx 或或*( )0.02( )0.00210r xxx*2*2*1)()()(xexexexexxxxexexe *()e

7、xx *():rex相相對(duì)對(duì)誤誤差差:r相相對(duì)對(duì)誤誤差差限限*( )0.05( )0.00160.00230r yyyr 四舍五入的原則：四舍五入的原則：1. 舍入后絕對(duì)誤差限不超過(guò)末位數(shù)的半個(gè)單位舍入后絕對(duì)誤差限不超過(guò)末位數(shù)的半個(gè)單位2. 舍入部分剛好是末位數(shù)的半個(gè)單位，使末位舍入部分剛好是末位數(shù)的半個(gè)單位，使末位 湊成偶數(shù)湊成偶數(shù)例：例：0.7135, 0.7765, 0.73251分別取三位小數(shù)分別取三位小數(shù)0.714, 0.776, 0.733一般地一般地, , 凡是由準(zhǔn)確值經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似值凡是由準(zhǔn)確值經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似值, , 其絕對(duì)誤差限等于該近似值末位的半個(gè)單位其絕對(duì)

8、誤差限等于該近似值末位的半個(gè)單位. .上上述述各各近近似似值值的的絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差限限：31102 例例： .)6237310.(1.4142135 414. 12 是經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似值，則是經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似值，則 絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差限限31102 r 相相對(duì)對(duì)誤誤差差限限30.5 101.414 43.5 10 2.2 2.2 有效數(shù)字有效數(shù)字 xx 做做為為 的的近近似似值值，其其絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差限限為為*1|102nxxx 就就說(shuō)說(shuō)準(zhǔn)準(zhǔn)確確到到該該位位，x 從從左左邊邊第第一一位位非非零零數(shù)數(shù)字字到到該該位位的的所所有有數(shù)數(shù)字字均均稱(chēng)稱(chēng)為為有有效效數(shù)數(shù)字字。x 某某一一位位上上

9、數(shù)數(shù)字字的的半半個(gè)個(gè)單單位位例如例如005800. 0 1021005800. 0 . 1*6 xx表示近似值表示近似值準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第 位，位，*2 1452 0467.x. 若若具具有有 位位有有效效數(shù)數(shù)字字，則其準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第則其準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第 位，位，31102 3絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差限限：6* x 有有位位有有效效數(shù)數(shù)字字42=1.41421356237310.例例：*=1.4142132x做做為為的的近近似似值值，有有幾幾位位有有效效數(shù)數(shù)字字？解解：*| ()| | 0.0000005623e xxx有有7 7位位有有效效數(shù)數(shù)字字61102 準(zhǔn)準(zhǔn)確確到到小小數(shù)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)

10、后后第第6 6位位，*4*12376490,=102xx例例：若若且且，有有幾幾位位有有效效數(shù)數(shù)字字？*410 x 準(zhǔn)準(zhǔn)確確到到位位，*.x 有有4 4位位有有效效數(shù)數(shù)字字解解：有效數(shù)字另一等價(jià)定義有效數(shù)字另一等價(jià)定義 x 將將表表示示成成規(guī)規(guī)范范形形式式：1102m nxx120.10mnxa aa 109, 0,imaa 其其中中為為整整數(shù)數(shù)， 為為xxn 則則做做為為 的的近近似似值值有有 位位有有效效數(shù)數(shù)字字當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)n 10n 準(zhǔn)準(zhǔn)確確到到位位1102m n = =絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差限限有有效效數(shù)數(shù)字字問(wèn)題：相對(duì)誤差限與有效數(shù)字的關(guān)系？問(wèn)題：相對(duì)誤差限與有效數(shù)字的關(guān)系？1102n

11、 = =120.10mnxa aa 確確定定幾幾位位有有效效數(shù)數(shù)字字n 有有 位位有有效效數(shù)數(shù)字字)0(10.0:1.1121* aaaaxmn定理定理*rx 1102n m 11*1021)( nraxnx 位有效數(shù)字位有效數(shù)字有有位有效數(shù)字位有效數(shù)字至少有至少有nxaxnr*11*10)1(21)( 反之反之1102m n 111102na |rx 111102(1)na 110.10mnaa 10.(1) 10ma例：為使例：為使 的近似值的相對(duì)誤差限小于的近似值的相對(duì)誤差限小于0.1%， 要取幾位有效數(shù)字？要取幾位有效數(shù)字？20解解1：相對(duì)誤差限和有效數(shù)字的關(guān)系：相對(duì)誤差限和有效數(shù)字的

12、關(guān)系 13110102 4n 令令可知可知n最小可取最小可取4，取四位有效數(shù)字即可，取四位有效數(shù)字即可.根據(jù)定理根據(jù)定理1設(shè)取設(shè)取n位有效數(shù)字位有效數(shù)字11*1021)( nraxnx 位有效數(shù)字位有效數(shù)字有有310 4205,由于由于例：為使例：為使 的近似值的相對(duì)誤差限小于的近似值的相對(duì)誤差限小于0.1%， 要取幾位有效數(shù)字？要取幾位有效數(shù)字？20解解2: （用絕對(duì)誤差限和有效數(shù)字的關(guān)系）（用絕對(duì)誤差限和有效數(shù)字的關(guān)系）|rx20.410 需需要要準(zhǔn)準(zhǔn)確確到到小小數(shù)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)后后第第三三位位，取四位有效數(shù)字取四位有效數(shù)字.32010 要使絕對(duì)誤差限滿足要使絕對(duì)誤差限滿足0.1%,|rx 備備注

13、注：可可以以為為真真實(shí)實(shí)值值，也也可可以以為為近近似似值值. .這這里里m-n=-2,m=1m-n=-2,m=1至少有幾位有效數(shù)字？至少有幾位有效數(shù)字？問(wèn)問(wèn)，的相對(duì)誤差限是的相對(duì)誤差限是例：已知例：已知* %0.3xx19a *10.10mnxaa設(shè)設(shè)位有效數(shù)字位有效數(shù)字至少有至少有nxaxnr*11*10)1(21)( 1110)1(21%3.0 na為使為使2n 得得，有有兩兩位位有有效效數(shù)數(shù)字字解解1：相對(duì)誤差限和有效數(shù)字的關(guān)系：相對(duì)誤差限和有效數(shù)字的關(guān)系 取取最最小小值值|*xr *=0.3% |x 0.3% 1 10m 20.5 10m 解解2: （用絕對(duì)誤差限和有效數(shù)字的關(guān)系）（用

14、絕對(duì)誤差限和有效數(shù)字的關(guān)系）至少有幾位有效數(shù)字？至少有幾位有效數(shù)字？問(wèn)問(wèn)，的相對(duì)誤差限是的相對(duì)誤差限是例：已知例：已知* %0.3xx*10.10mnxaa設(shè)設(shè)取取最最大大值值有有兩兩位位有有效效數(shù)數(shù)字字問(wèn)題：?jiǎn)栴}：假定運(yùn)算中數(shù)據(jù)都精確到兩位小數(shù)，假定運(yùn)算中數(shù)據(jù)都精確到兩位小數(shù)， *1.21 3.659.81y 的絕對(duì)誤差限是多少？的絕對(duì)誤差限是多少？123yx xx設(shè)設(shè)，*-2*1231()()()10 ,()2e xe xe xe y知知求求123(,)yf xxx *111()e xxx1x 1dx *123123()(,)(,)e yf xxxf xxx*123(,)df xxx *1

15、2311(,)fxxx dxx *1232123323(,)(,)ffxxx dxxxx dxxx*123112321233123(,) ()(,) ()(,) ()fffxxx e xxxx e xxxx e xxxx3 3數(shù)值計(jì)算中誤差的傳播數(shù)值計(jì)算中誤差的傳播3.13.1基本運(yùn)算中的誤差傳播基本運(yùn)算中的誤差傳播的近似值，則的近似值，則為為處可微，處可微，在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)設(shè)iinnxxxxxfxxxfy*2121),.,(),.,( *1212()(,.,)(,.,)nne yf xxxf xxx)(),.,( ).,()()(*n1i*1*2*1*irniinrxexxfxxxxxfyyeye

16、 *n*12i 1(,.,)()niif xxxe xx 1122 ()()()rrrxeexexx 1212 ()()()rrrex xexex 12()xex12()e x x特別地，和、差、積、商的誤差公式為：特別地，和、差、積、商的誤差公式為：1212121212()()()rrrxxexxexexxxxx 12()()e xe x12()e xx 2112()()x e xx e x1122221()()xe xe xxx 121212121122()()()()()()()()()rrrrrr xx x xx xxxxxxx 即和、差的絕對(duì)誤差限不超過(guò)各數(shù)的絕即和、差的絕對(duì)誤差限不

17、超過(guò)各數(shù)的絕對(duì)誤差限之和，積、商的相對(duì)誤差極限對(duì)誤差限之和，積、商的相對(duì)誤差極限不超過(guò)各數(shù)的相對(duì)誤差限之和不超過(guò)各數(shù)的相對(duì)誤差限之和.例例 假定運(yùn)算中數(shù)據(jù)都精確到兩位小數(shù)，假定運(yùn)算中數(shù)據(jù)都精確到兩位小數(shù)， 試求試求81. 965. 321. 1* x的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限，的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限，計(jì)算結(jié)果有幾位有效數(shù)字？計(jì)算結(jié)果有幾位有效數(shù)字？解：解：*5.3935x 0293. 01021)121. 165. 3()81. 9()65. 3(21. 1)21. 1(65. 3)(2* x 0054. 03935. 50293. 0)()(* xxxr 故計(jì)算結(jié)果有故計(jì)算結(jié)果有2位有效數(shù)字

18、位有效數(shù)字，81. 965. 321. 1* x)81. 9()65. 3(21. 1)21. 1(65. 3)(*eeexe 11102 12110) 15( 2110083. 0 準(zhǔn)準(zhǔn)確確到到小小數(shù)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)后后第第一一位位?, ,1001,:相對(duì)誤差最大為多少相對(duì)誤差最大為多少時(shí)時(shí)問(wèn)測(cè)量半徑問(wèn)測(cè)量半徑為使其相對(duì)誤差限為為使其相對(duì)誤差限為計(jì)算球的體積計(jì)算球的體積例例R34 :3RV 由由解解)(4)(2ReRVe )(3)(3)()(ReRReVVeVerr .3001)(1001)(最大為最大為得得由由RVrr ,( )( )nrryxeynex注注：一一般般的的，若若則則1( )()( )

19、nne ye xnxe x ，( )( )( )rre yeynexy-由 （ 112）3.2 3.2 算法的數(shù)值穩(wěn)定性算法的數(shù)值穩(wěn)定性算法算法：預(yù)先設(shè)計(jì)計(jì)算問(wèn)題近似解的運(yùn)算順序：預(yù)先設(shè)計(jì)計(jì)算問(wèn)題近似解的運(yùn)算順序穩(wěn)定性穩(wěn)定性：在按一個(gè)算法的計(jì)算過(guò)程中，數(shù)據(jù)誤：在按一個(gè)算法的計(jì)算過(guò)程中，數(shù)據(jù)誤差和舍入誤差在計(jì)算過(guò)程中不增長(zhǎng)，則稱(chēng)算法差和舍入誤差在計(jì)算過(guò)程中不增長(zhǎng)，則稱(chēng)算法是穩(wěn)定的；否則稱(chēng)算法是數(shù)值不穩(wěn)定的是穩(wěn)定的；否則稱(chēng)算法是數(shù)值不穩(wěn)定的.).,2, 1 ,0(5:10 ndxxxInn計(jì)算下列積分的近似值計(jì)算下列積分的近似值例例15nnII 11055nnxxdxx 1101nxdxn 算法算

20、法*010018232155. 02 . 1ln51 IdxxI 取取)., 2 , 1( 51 1 nInInn按公式按公式依次計(jì)算依次計(jì)算,21II近似值近似值.nIInn151 n(算法算法)00.1823215510.0883922520.0580387530.0431395840.0343020850.0284895860.0242187570.0217633980.0161830590.0301958810-0.05097941110.3458061212-0.64569726138.3054093814-41.45561831*nI估計(jì)估計(jì)nI0122222. 0)751901(

21、21*14 I 116(1)5(1)nn 105xxInn105nnxIx 11001165nnxx算法算法 由于由于取取 ) 1( 51) 1( 6121*nnIn按公式按公式)1(511kkIkI )1 ,., 1,( nnk)., 2 , 1( 151 nnIInn計(jì)算計(jì)算0122222. 0)751901(21*14 I例如例如n(算法算法)00.1823215510.0883922220.0580389230.0431387340.0343063350.0254683560.0243249170.0212326080.0188369990.01692617100.0153691411

22、0.01406339120.01301636130.01184127140.01222222*nI0011. 0)901751(2114 *14111(+)0.012222222 7590I0*00 eII 設(shè)設(shè)01*11*) 5(555eeIIIIennnnnnn nnkkeeee)51 ( ,51 01 分析什么原因：分析什么原因：由算法由算法)., 2 , 1( 511 nInInn對(duì)算法對(duì)算法) 1, 1,( )1(511 nnkIkIkk4 4數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的問(wèn)題數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的問(wèn)題1. 1. 避免兩個(gè)相近的數(shù)相減避免兩個(gè)相近的數(shù)相減| ( )( )| ()|re xe ye x

23、yxy 有效數(shù)字嚴(yán)重丟失。有效數(shù)字嚴(yán)重丟失。差很大差很大很接近時(shí)，差的相對(duì)誤很接近時(shí)，差的相對(duì)誤與與當(dāng)當(dāng)yx例：已知例：已知961.12168 具有具有5位有效數(shù)字，試求方程位有效數(shù)字，試求方程01262 xx的兩個(gè)根（至少的兩個(gè)根（至少4位有效數(shù)字）位有效數(shù)字）. 解解 16813267226 x961.251 x039. 02 x若取若取*22038519.0961.12131168131xx ，則523*21021)961.1213(1021)( xe2*2)961.1213()961.12()( exexx 1312312| ()| | ()| 0.5 10 ,e xe x2x 這這時(shí)

24、時(shí)只只有有兩兩位位有有效效數(shù)數(shù)字字20.0385194x 有有 位位有有效效數(shù)數(shù)字字一般地，一般地， 當(dāng)當(dāng) x 充充分大時(shí)，應(yīng)作變換：分大時(shí)，應(yīng)作變換：xxxx 111)1(1111 xxxx當(dāng)當(dāng)x接近零時(shí)，應(yīng)作變換接近零時(shí)，應(yīng)作變換xxxxxxcos1sinsincos1 ,2sin2cos12 2.2.避免大數(shù)避免大數(shù)“吃吃”小數(shù)小數(shù). .計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算導(dǎo)致計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算導(dǎo)致絕對(duì)值差異很大的數(shù)做加減運(yùn)算時(shí)，絕對(duì)絕對(duì)值差異很大的數(shù)做加減運(yùn)算時(shí)，絕對(duì)值小的數(shù)被吃掉，值小的數(shù)被吃掉，101010 +1例例：在在位位十十進(jìn)進(jìn)制制有有效效數(shù)數(shù)字字的的計(jì)計(jì)算算機(jī)機(jī)上上求求首首先先對(duì)對(duì)階階, ,表表

25、示示成成最最高高階階101010 =1 10 101=0.000 000 000 1 10 9計(jì)計(jì)算算機(jī)機(jī)只只能能記記錄錄到到小小數(shù)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)后后第第 位位，+101010 +1=1 10 101010 +1+2+3+4在在位位十十進(jìn)進(jìn)制制有有效效數(shù)數(shù)字字的的計(jì)計(jì)算算機(jī)機(jī)上上求求1010 +(1+2+3+4)改改變變順順序序求求和和差差運(yùn)運(yùn)算算時(shí)時(shí)采采用用由由小小到到大大的的順順序序3.3.避免除數(shù)絕對(duì)值遠(yuǎn)小于被除數(shù)的絕對(duì)值避免除數(shù)絕對(duì)值遠(yuǎn)小于被除數(shù)的絕對(duì)值)()()(yxyxyxrr4.4.簡(jiǎn)化計(jì)算，減少運(yùn)算次數(shù)，提高效率簡(jiǎn)化計(jì)算，減少運(yùn)算次數(shù)，提高效率如計(jì)算如計(jì)算n n次多項(xiàng)式的值次多項(xiàng)式的值1110( ).nnnnnpxa xaxa xa再作線性組合再作線性組合先計(jì)算先計(jì)算,.,.32nxxxa需需2n-1次乘法運(yùn)算，次乘法運(yùn)算，1210( )(.().)nnnnp xa xaxaxa xa- - -= =+ + + + + +5.5.選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法. .n次加法運(yùn)算，次加法運(yùn)算，2n+1個(gè)存儲(chǔ)單個(gè)存儲(chǔ)單元元需需n次乘法運(yùn)算，次乘法運(yùn)算，n次加法運(yùn)算，次加法運(yùn)算，n+2