河南省頂級(jí)名校2015屆高三數(shù)學(xué)入學(xué)定位考試試題文(含解析)

1、河南省頂級(jí)名校2015屆高三年級(jí)入學(xué)定位考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（時(shí)間：120分鐘 滿分：150分） 【試卷綜析】本試卷是高三理科試卷，考查了高中全部?jī)?nèi)容.以基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能為載體，以能力測(cè)試為主導(dǎo)，在注重考查學(xué)科核心知識(shí)的同時(shí)，突出考查考綱要求的基本能力，重視學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的考查.知識(shí)考查注重基礎(chǔ)、注重常規(guī)、注重主干知識(shí)，兼顧覆蓋面.試題重點(diǎn)考查：集合、不等式性質(zhì)、基本不等式、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用、函數(shù)的性質(zhì)及圖象、圓錐曲線、解三角形、概率、隨機(jī)變量的分布列與期望、程序框圖、空間向量的應(yīng)用、二項(xiàng)式定理、絕對(duì)值不等式、參數(shù)方程極坐標(biāo)、幾何證明選講、數(shù)列、命題及命題之間的關(guān)系、復(fù)數(shù)等；考查學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的綜

2、合能力，是份較好的試卷.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分1.【題型】選擇題【題號(hào)】1【分值】5分【題文】已知集合，則 （A） （B） （C） （D）【答案】A【考點(diǎn)】集合的表示及集合的交集【分析】在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)，能結(jié)合集合的元素特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化的應(yīng)先對(duì)集合進(jìn)行轉(zhuǎn)化再進(jìn)行運(yùn)算.【解析】因?yàn)椋?，則選A .【點(diǎn)評(píng)】【專題】【難度】【結(jié)束】2.【題型】選擇題【題號(hào)】2【分值】5分【題文】已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（A） （B） （C） （D） 【答案】B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的概念【分析】復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算是?？嫉闹R(shí)點(diǎn)，應(yīng)熟練掌握，注意復(fù)數(shù)的虛部是i的系數(shù)，而不是.【解析】因?yàn)椋缘?/p>

3、虛部是，則選B.【點(diǎn)評(píng)】【專題】【難度】【結(jié)束】3.【題型】選擇題【題號(hào)】3【分值】5分【題文】某學(xué)生在一門功課的22次考試中，所得分?jǐn)?shù)如下莖葉圖所示，則此學(xué)生該門功課考試分?jǐn)?shù)的極差與中位數(shù)之和為（A）117 （B）118 （C） 1185 （D）1195 【答案】B【考點(diǎn)】莖葉圖、極差、中位數(shù)【分析】正確認(rèn)識(shí)莖葉圖，理解極差與中位數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.【解析】由所給的莖葉圖可知：最小的數(shù)為56，最大的數(shù)為98，所以極差為9856=42，又中位數(shù)為76，所以此學(xué)生該門功課考試分?jǐn)?shù)的極差與中位數(shù)之和為42+76=118，則選B.【點(diǎn)評(píng)】【專題】【難度】【結(jié)束】4.【題型】選擇題【題號(hào)】4【分值】

4、5分【題文】已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線方程為（A） （B）（C）（D）【答案】A【考點(diǎn)】雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)【分析】在由橢圓和雙曲線方程求其焦點(diǎn)和漸近線方程時(shí)，若方程不是標(biāo)準(zhǔn)形式，應(yīng)把方程先化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再進(jìn)行解答.【解析】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±2)，由雙曲線方程得，則得m=，所以其漸近線方程為則選A.【點(diǎn)評(píng)】【專題】【難度】【結(jié)束】5.【題型】選擇題【題號(hào)】5【分值】5分【題文】有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為 （A） （B） （C） （D）【答案】A【考點(diǎn)】古

5、典概型【分析】求古典概型的概率，可分別求出隨機(jī)試驗(yàn)一次的所有可能種數(shù)，及所求的事件所包含的種數(shù)，代入概率計(jì)算公式即可.【解析】因?yàn)閮晌煌瑢W(xué)參加同一個(gè)興趣小組有3種情況，3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，一共有3×3=9種情況，所以所求的概率為，則選A.【點(diǎn)評(píng)】【專題】【難度】【結(jié)束】6.【題型】選擇題【題號(hào)】6【分值】5分【題文】在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，數(shù)列的前項(xiàng)積為，若，則的值為（A）4（B）5 （C） 6 （D） 7 【答案】B【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)【分析】在客觀題中遇到等比數(shù)列問(wèn)題時(shí)，一般先觀察其項(xiàng)數(shù)是否有性質(zhì)特征，有性質(zhì)特征的用性質(zhì)解題，無(wú)性質(zhì)特征的用

6、公式轉(zhuǎn)化求解.【解析】由得，得，所以，得2m1=9，所以m=5，則選B.【點(diǎn)評(píng)】【專題】【難度】【結(jié)束】7.【題型】選擇題【題號(hào)】7【分值】5分【題文】設(shè)偶函數(shù)（的部分圖象如圖所示， 為等腰直角三角形，則的值為 （A） （B） （C） （D） 【答案】D【考點(diǎn)】三角函數(shù)的圖像【分析】本題可先由圖像求出函數(shù)的解析式再求值，在求解析式時(shí)應(yīng)抓住圖像特征和解析式中對(duì)應(yīng)的系數(shù)的關(guān)系求解.【解析】由函數(shù)為偶函數(shù)，且0，得，又由得最小正期為2，所以，由為等腰直角三角形得A=，所以，則選D .【點(diǎn)評(píng)】【專題】【難度】【結(jié)束】8.【題型】選擇題【題號(hào)】8【分值】5分【題文】執(zhí)行如圖中的程序框圖，若輸出的結(jié)果為2

7、1,則判斷框中應(yīng)填（A） （B） （C） （D） 【答案】C【考點(diǎn)】【分析】本題主要考查的是程序框圖及其應(yīng)用，程序框圖是高考常考的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，可一一列舉出每次循環(huán)的結(jié)果直到跳出循環(huán)，即可得到解答.【解析】依次執(zhí)行程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，第一次執(zhí)行循環(huán)體得S=1，i=2；第二次執(zhí)行循環(huán)體得S=3，i=3；第三次執(zhí)行循環(huán)體得S=6，i=4；第四次執(zhí)行循環(huán)體得S=10，i=5；第五次執(zhí)行循環(huán)體得S=15，i=6；第六次執(zhí)行循環(huán)體得S=21，i=7；因?yàn)檩敵龅慕Y(jié)果為21，所以i=7不滿足判斷框條件，則選C.【點(diǎn)評(píng)】【專題】【難度】【結(jié)束】9.【題型】選擇題【題號(hào)】9【分值】5分【題文

8、】如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（A）54 （B）27 （C）18 （D） 9【答案】【考點(diǎn)】 幾何體的三視圖、棱錐的體積【分析】本題主要考查的是幾何體的三視圖，由幾何體的三視圖求體積關(guān)鍵是分析出原幾何體的特征.【解析】由三視圖可知該幾何體一個(gè)倒放的四棱錐，其底面面積為3×6=18，高為3，所以其體積為，則選C.【點(diǎn)評(píng)】【專題】【難度】【結(jié)束】10.【題型】選擇題【題號(hào)】10【分值】5分【題文】拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且，弦中點(diǎn)在其準(zhǔn)線上的射影為，則的最大值為（A） （B） （C） （D）【答案】A【考點(diǎn)】 拋物線的定義、余弦定理、基本不等式【分析】在圓錐曲線中，

9、一般遇到圓錐曲線上的點(diǎn)與其焦點(diǎn)的關(guān)系時(shí)，注意利用其定義尋求等量關(guān)系進(jìn)行解答.【解析】設(shè) ，則x+y=2m，由余弦定理得 ，則，所以選C.【點(diǎn)評(píng)】【專題】【難度】【結(jié)束】 11.【題型】選擇題【題號(hào)】11【分值】5分【題文】四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，平面，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形.若，則球的表面積為（A） （B） （C） （D）【答案】C【考點(diǎn)】球的截面性質(zhì)，球的表面積公式【分析】 【解析】 如圖，取CD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，BE，在四面體ABCD中，AB平面BCD，BCD是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形RtABCRtABD，ACD是等腰三角形，BCD的中心為G，作OGAB交AB的中垂線HO于O，O為外

10、接球的中心，因?yàn)?, ,所以球半徑，則球的表面積為16，所以選C.【點(diǎn)評(píng)】一般遇到幾何體的外接球問(wèn)題，一是結(jié)合幾何體特征尋求球心位置，進(jìn)而求其半徑，二是用補(bǔ)形法把幾何體補(bǔ)成規(guī)則幾何體求球半徑.【專題】【難度】【結(jié)束】 12.【題型】選擇題【題號(hào)】12【分值】5分【題文】 函數(shù)在上的最大值為2，則的取值范圍是（A） （B） （C） （D）【答案】D【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【分析】求分段函數(shù)在所給區(qū)間上的最值，可分別確定在各段上的最值，再進(jìn)行比較，即可得到最值.【解析】當(dāng)x2,0時(shí)，因?yàn)樗栽?, 1)導(dǎo)數(shù)大于0，在(1,0上導(dǎo)數(shù)小于0，則當(dāng)x2,0函數(shù)值最大為f(1)=2，當(dāng)a0時(shí)

11、，若x0，顯然，此時(shí)函數(shù)在上的最大值為2，當(dāng)a0時(shí)，若函數(shù)上的最大值為2，則 ，得 ，綜上可知a的取值范圍是所以選D.【點(diǎn)評(píng)】【專題】【難度】【結(jié)束】 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13.【題型】填空題【題號(hào)】13【分值】5分【題文】若點(diǎn)滿足線性約束條件，則 的取值范圍是 _ 【答案】2,0)【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃【分析】【解析】不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D中的三角形ABO表示的區(qū)域，因?yàn)锳、B的坐標(biāo)分別為(2,0)、將A、B、O三點(diǎn)坐標(biāo)分別代入目標(biāo)函數(shù)得z的值為2， ，0，所以的取值范圍是2,0).【點(diǎn)評(píng)】一般由線性約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最值，其最值點(diǎn)必存在于區(qū)域的頂點(diǎn)，可把

12、區(qū)域頂點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)即可得到其最大值與最小值，進(jìn)而得其值域。【專題】【難度】【結(jié)束】14【題型】填空題【題號(hào)】14【分值】5分【題文】若 二項(xiàng)展開(kāi)式中的第5項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則中間項(xiàng)的系數(shù)為 【答案】160【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理【分析】一般遇到二項(xiàng)展開(kāi)式中的項(xiàng)或其系數(shù)問(wèn)題，通常利用展開(kāi)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行解答.【解析】因?yàn)?，則有2n12=0，n=6，所以展開(kāi)式的中間項(xiàng)為 ，則中間項(xiàng)的系數(shù)為160.【點(diǎn)評(píng)】【專題】【難度】【結(jié)束】15.【題型】填空題【題號(hào)】15【分值】5分【題文】設(shè)是的三邊中垂線的交點(diǎn),分別為角對(duì)應(yīng)的邊,已知,則的范圍是_ 【答案】【考點(diǎn)】平面向量及其應(yīng)用【分析】【解析】設(shè)O是ABC的

13、三邊中垂線的交點(diǎn)，故O是三角形外接圓的圓心，如圖所示，延長(zhǎng)AO交外接圓于D AD是O的直徑，ACD=ABD=90°cosCAD，cosBAD所以 =，c2=2b-b20，解得0b2所以當(dāng)時(shí)取得最小值為，又f（0）=0，f（2）=2所以的范圍是.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓的性質(zhì)、向量的運(yùn)算法則、數(shù)量積運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法.【專題】【難度】【結(jié)束】16.【題型】填空題【題號(hào)】16【分值】5分【題文】已知有限集.如果中元素滿足，就稱為“復(fù)活集”，給出下列結(jié)論：集合是“復(fù)活集”；是“復(fù)活集”，則；不可能是“復(fù)活集”；若，則“復(fù)活集”有且只有一個(gè)，且.其中正確的結(jié)論

14、是_（填上你認(rèn)為所有正確的結(jié)論序號(hào)）【答案】【考點(diǎn)】集合的應(yīng)用【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是元素與集合的關(guān)系，正確理解已知中的新定義“復(fù)活集”的含義是解答的關(guān)鍵.【解析】因?yàn)?，所以正確；不妨設(shè)a1+a2=a1a2=t，則由韋達(dá)定理知a1，a2是一元二次方程x2-tx+t=0的兩個(gè)根，由0，可得t0，或t4，故錯(cuò)；不妨設(shè)A中a1a2a3an，由a1a2an=a1+a2+annan，得a1a2an-1n，當(dāng)n=2時(shí)，即有a12，a1=1，于是1+a2=a2，a2無(wú)解，即不存在滿足條件的“復(fù)活集”A，故正確當(dāng)n=3時(shí)，a1a23，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是“復(fù)活集”A只有一個(gè)，為1，

15、2，3當(dāng)n4時(shí)，由a1a2an-11×2×3××（n-1），即有n（n-1）!，也就是說(shuō)“復(fù)活集”A存在的必要條件是n（n-1）!，事實(shí)上，（n-1）!（n-1）（n-2）=n2-3n+2=（n-2）2-2+n2，矛盾，當(dāng)n4時(shí)不存在復(fù)活集A，故正確故答案為：.【點(diǎn)評(píng)】【專題】【難度】【結(jié)束】三、解答題：本大題共6小題，共70 分，解答應(yīng)寫(xiě)出說(shuō)明文字，證明過(guò)程或演算步驟17.【題型】解答題【題號(hào)】17【分值】12分【題文】在中，角對(duì)的邊分別為，已知.（1）若，求的取值范圍；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）（2，4） （2）【考點(diǎn)】正弦定理、余弦定

16、理、三角形面積公式、基本不等式【分析】求范圍時(shí)可利用正弦定理把邊化成角，再利用角的范圍求三角函數(shù)的取值范圍，因?yàn)橐阎獖A角，可用夾角的面積公式解決三角形面積問(wèn)題.【解析】（1） （ 2分）. （ 6分）（2） （8分） （ 10分）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),的面積取到最大值為. （12分）.【點(diǎn)評(píng)】【專題】【難度】【結(jié)束】18.【題型】解答題【題號(hào)】18【分值】12分【題文】如圖，四棱錐中，底面為菱形， ，是的中點(diǎn).（1）若，求證：；（2）若平面，且點(diǎn)在線段上，試確定點(diǎn)的位置，使二面角的大小為，并求出的值. 【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析 （2）【考點(diǎn)】?jī)擅娲怪钡呐卸?、二面角的?yīng)用【分析】證明兩面垂直通常結(jié)合兩

17、面垂直的判定定理進(jìn)行解答，涉及到二面角問(wèn)題，可通過(guò)建立適當(dāng)坐標(biāo)系，利用空間向量解答.【解析】（1），為的中點(diǎn)，又底面為菱形， , 又平面，又平面,平面平面;-6分（2）平面平面,平面平面,平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.則,設(shè)(),所以，平面的一個(gè)法向量是，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以取，-9分由二面角大小為，可得：，解得，此時(shí)-12分.【點(diǎn)評(píng)】【專題】【難度】【結(jié)束】19.【題型】解答題【題號(hào)】19【分值】12分【題文】生產(chǎn)，兩種元件，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于82為正品，小于82為次品，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種元件各100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：測(cè)試指標(biāo)元件8

18、1240328元件71840296（）試分別估計(jì)元件、元件為正品的概率；（）生產(chǎn)一件元件，若是正品可盈利50元，若是次品則虧損10元；生產(chǎn)一件元件，若是正品可盈利100元，若是次品則虧損20元，在（）的前提下（i）求生產(chǎn)5件元件所獲得的利潤(rùn)不少于300元的概率； （ii）記為生產(chǎn)1件元件和1件元件所得的總利潤(rùn)，求隨機(jī)變量的分布列和期望【答案】（）（）（i）（ii）108【考點(diǎn)】頻率與概率的關(guān)系，n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)發(fā)生k次的概率、分布列和期望【分析】若每次試驗(yàn)發(fā)生的概率都相等，求n次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)的概率問(wèn)題，可利用n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)發(fā)生k次的概率計(jì)算公式直接計(jì)算，求離散隨機(jī)變量的期望問(wèn)題，一般先確定

19、隨機(jī)變量的取值，再計(jì)算每一個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，得分布列求期望即可.【解析】（I）由題可知元件為正品的概率為，元件為正品的概率為（2分）（II）（i）設(shè)生產(chǎn)的5件元件中正品數(shù)為，則有次品件，由題意知,解得，設(shè)“生產(chǎn)的5件元件所獲得的利潤(rùn)不少于300元”為事件，則（6分）（ii）隨機(jī)變量的所有取值為150,90,30，-30則所以隨機(jī)變量的分布列為：1509030-30所以，隨機(jī)變量的期望為：（12分）【點(diǎn)評(píng)】【專題】【難度】【結(jié)束】20.【題型】解答題【題號(hào)】20【分值】12分【題文】橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求直線的方程.【

20、答案】(1) (2) 或【考點(diǎn)】 圓錐曲線綜合應(yīng)用【分析】一般遇到直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題，通常設(shè)方程，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理建立等量關(guān)系進(jìn)行解答.【解析】 解析：（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以，又因?yàn)殡x心率為，所以，所以，解得所以橢圓的方程為： （4分）（2）當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，不適合題意。 （6分）當(dāng)直線的傾斜角不為時(shí)，設(shè)直線方程，代入得： （7分）設(shè)，則，所以直線方程為：或 （12分）.【點(diǎn)評(píng)】【專題】【難度】【結(jié)束】21.【題型】解答題【題號(hào)】21【分值】12分【題文】已知（）當(dāng)時(shí)，若在上為減函數(shù)，在上是增函數(shù)，求值；（）對(duì)任意恒成立，求的取值范圍.【答案】（）（）【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【

21、分析】函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題就是導(dǎo)數(shù)恒正或恒負(fù)問(wèn)題，利用不等式恒成立進(jìn)行解答，由不等式恒成立求參數(shù)的范圍，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題進(jìn)行解答.【解析】（）當(dāng)時(shí)， 在上為減函數(shù)，則，在上是增函數(shù)，則(6分)（）設(shè)則，設(shè)則（1）當(dāng)時(shí)，所以在上是減函數(shù)，在不恒成立；（2）當(dāng)時(shí)，所以在上是增函數(shù)，的函數(shù)值由負(fù)到正，必有即，兩邊取自然對(duì)數(shù)得，所以，在上是減函數(shù)，上是增函數(shù)，所以，因此，即的取值范圍是.(12分).【點(diǎn)評(píng)】【專題】【難度】【結(jié)束】四、請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.【題型】解答題【題號(hào)】22【分值】10分【題文】已知，在中，是上一點(diǎn)，的外接圓交于， （）求證：；（）若平分，且，求的長(zhǎng).【答案】（）證明過(guò)程見(jiàn)