河南省頂級名校2015屆高三數學入學定位考試試題文(含解析)

1、河南省頂級名校2015屆高三年級入學定位考試理科數學試卷（時間：120分鐘 滿分：150分） 【試卷綜析】本試卷是高三理科試卷，考查了高中全部內容.以基礎知識和基本技能為載體，以能力測試為主導，在注重考查學科核心知識的同時，突出考查考綱要求的基本能力，重視學生科學素養(yǎng)的考查.知識考查注重基礎、注重常規(guī)、注重主干知識，兼顧覆蓋面.試題重點考查：集合、不等式性質、基本不等式、導數的綜合應用、函數的性質及圖象、圓錐曲線、解三角形、概率、隨機變量的分布列與期望、程序框圖、空間向量的應用、二項式定理、絕對值不等式、參數方程極坐標、幾何證明選講、數列、命題及命題之間的關系、復數等；考查學生解決實際問題的綜

2、合能力，是份較好的試卷.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分1.【題型】選擇題【題號】1【分值】5分【題文】已知集合，則 （A） （B） （C） （D）【答案】A【考點】集合的表示及集合的交集【分析】在進行集合的運算時，能結合集合的元素特征進行轉化的應先對集合進行轉化再進行運算.【解析】因為，所以，則選A .【點評】【專題】【難度】【結束】2.【題型】選擇題【題號】2【分值】5分【題文】已知復數，則的虛部是（A） （B） （C） （D） 【答案】B【考點】復數的運算及復數的概念【分析】復數的代數運算是?？嫉闹R點，應熟練掌握，注意復數的虛部是i的系數，而不是.【解析】因為，所以的

3、虛部是，則選B.【點評】【專題】【難度】【結束】3.【題型】選擇題【題號】3【分值】5分【題文】某學生在一門功課的22次考試中，所得分數如下莖葉圖所示，則此學生該門功課考試分數的極差與中位數之和為（A）117 （B）118 （C） 1185 （D）1195 【答案】B【考點】莖葉圖、極差、中位數【分析】正確認識莖葉圖，理解極差與中位數的概念是解題的關鍵.【解析】由所給的莖葉圖可知：最小的數為56，最大的數為98，所以極差為9856=42，又中位數為76，所以此學生該門功課考試分數的極差與中位數之和為42+76=118，則選B.【點評】【專題】【難度】【結束】4.【題型】選擇題【題號】4【分值】

4、5分【題文】已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，則該雙曲線的漸近線方程為（A） （B）（C）（D）【答案】A【考點】雙曲線與橢圓的幾何性質【分析】在由橢圓和雙曲線方程求其焦點和漸近線方程時，若方程不是標準形式，應把方程先化成標準形式，再進行解答.【解析】因為橢圓的焦點坐標為(0，±2)，由雙曲線方程得，則得m=，所以其漸近線方程為則選A.【點評】【專題】【難度】【結束】5.【題型】選擇題【題號】5【分值】5分【題文】有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為 （A） （B） （C） （D）【答案】A【考點】古

5、典概型【分析】求古典概型的概率，可分別求出隨機試驗一次的所有可能種數，及所求的事件所包含的種數，代入概率計算公式即可.【解析】因為兩位同學參加同一個興趣小組有3種情況，3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，一共有3×3=9種情況，所以所求的概率為，則選A.【點評】【專題】【難度】【結束】6.【題型】選擇題【題號】6【分值】5分【題文】在各項均為正數的等比數列中，若，數列的前項積為，若，則的值為（A）4（B）5 （C） 6 （D） 7 【答案】B【考點】等比數列的性質【分析】在客觀題中遇到等比數列問題時，一般先觀察其項數是否有性質特征，有性質特征的用性質解題，無性質特征的用

6、公式轉化求解.【解析】由得，得，所以，得2m1=9，所以m=5，則選B.【點評】【專題】【難度】【結束】7.【題型】選擇題【題號】7【分值】5分【題文】設偶函數（的部分圖象如圖所示， 為等腰直角三角形，則的值為 （A） （B） （C） （D） 【答案】D【考點】三角函數的圖像【分析】本題可先由圖像求出函數的解析式再求值，在求解析式時應抓住圖像特征和解析式中對應的系數的關系求解.【解析】由函數為偶函數，且0，得，又由得最小正期為2，所以，由為等腰直角三角形得A=，所以，則選D .【點評】【專題】【難度】【結束】8.【題型】選擇題【題號】8【分值】5分【題文】執(zhí)行如圖中的程序框圖，若輸出的結果為2

7、1,則判斷框中應填（A） （B） （C） （D） 【答案】C【考點】【分析】本題主要考查的是程序框圖及其應用，程序框圖是高考?？嫉闹R點，對于循環(huán)結構的程序框圖，可一一列舉出每次循環(huán)的結果直到跳出循環(huán)，即可得到解答.【解析】依次執(zhí)行程序框圖中的循環(huán)結構，第一次執(zhí)行循環(huán)體得S=1，i=2；第二次執(zhí)行循環(huán)體得S=3，i=3；第三次執(zhí)行循環(huán)體得S=6，i=4；第四次執(zhí)行循環(huán)體得S=10，i=5；第五次執(zhí)行循環(huán)體得S=15，i=6；第六次執(zhí)行循環(huán)體得S=21，i=7；因為輸出的結果為21，所以i=7不滿足判斷框條件，則選C.【點評】【專題】【難度】【結束】9.【題型】選擇題【題號】9【分值】5分【題文

8、】如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（A）54 （B）27 （C）18 （D） 9【答案】【考點】 幾何體的三視圖、棱錐的體積【分析】本題主要考查的是幾何體的三視圖，由幾何體的三視圖求體積關鍵是分析出原幾何體的特征.【解析】由三視圖可知該幾何體一個倒放的四棱錐，其底面面積為3×6=18，高為3，所以其體積為，則選C.【點評】【專題】【難度】【結束】10.【題型】選擇題【題號】10【分值】5分【題文】拋物線的焦點為，點在拋物線上，且，弦中點在其準線上的射影為，則的最大值為（A） （B） （C） （D）【答案】A【考點】 拋物線的定義、余弦定理、基本不等式【分析】在圓錐曲線中，

9、一般遇到圓錐曲線上的點與其焦點的關系時，注意利用其定義尋求等量關系進行解答.【解析】設 ，則x+y=2m，由余弦定理得 ，則，所以選C.【點評】【專題】【難度】【結束】 11.【題型】選擇題【題號】11【分值】5分【題文】四面體的四個頂點都在球的表面上，平面，是邊長為3的等邊三角形.若，則球的表面積為（A） （B） （C） （D）【答案】C【考點】球的截面性質，球的表面積公式【分析】 【解析】 如圖，取CD的中點E，連結AE，BE，在四面體ABCD中，AB平面BCD，BCD是邊長為3的等邊三角形RtABCRtABD，ACD是等腰三角形，BCD的中心為G，作OGAB交AB的中垂線HO于O，O為外

10、接球的中心，因為 , ,所以球半徑，則球的表面積為16，所以選C.【點評】一般遇到幾何體的外接球問題，一是結合幾何體特征尋求球心位置，進而求其半徑，二是用補形法把幾何體補成規(guī)則幾何體求球半徑.【專題】【難度】【結束】 12.【題型】選擇題【題號】12【分值】5分【題文】 函數在上的最大值為2，則的取值范圍是（A） （B） （C） （D）【答案】D【考點】導數的綜合應用，指數函數的性質【分析】求分段函數在所給區(qū)間上的最值，可分別確定在各段上的最值，再進行比較，即可得到最值.【解析】當x2,0時，因為所以在2, 1)導數大于0，在(1,0上導數小于0，則當x2,0函數值最大為f(1)=2，當a0時

11、，若x0，顯然，此時函數在上的最大值為2，當a0時，若函數上的最大值為2，則 ，得 ，綜上可知a的取值范圍是所以選D.【點評】【專題】【難度】【結束】 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13.【題型】填空題【題號】13【分值】5分【題文】若點滿足線性約束條件，則 的取值范圍是 _ 【答案】2,0)【考點】簡單的線性規(guī)劃【分析】【解析】不等式組表示的平面區(qū)域為如圖中的三角形ABO表示的區(qū)域，因為A、B的坐標分別為(2,0)、將A、B、O三點坐標分別代入目標函數得z的值為2， ，0，所以的取值范圍是2,0).【點評】一般由線性約束條件求目標函數的最值，其最值點必存在于區(qū)域的頂點，可把

12、區(qū)域頂點坐標代入目標函數即可得到其最大值與最小值，進而得其值域。【專題】【難度】【結束】14【題型】填空題【題號】14【分值】5分【題文】若 二項展開式中的第5項是常數項，則中間項的系數為 【答案】160【考點】二項式定理【分析】一般遇到二項展開式中的項或其系數問題，通常利用展開式的通項公式進行解答.【解析】因為 ，則有2n12=0，n=6，所以展開式的中間項為 ，則中間項的系數為160.【點評】【專題】【難度】【結束】15.【題型】填空題【題號】15【分值】5分【題文】設是的三邊中垂線的交點,分別為角對應的邊,已知,則的范圍是_ 【答案】【考點】平面向量及其應用【分析】【解析】設O是ABC的

13、三邊中垂線的交點，故O是三角形外接圓的圓心，如圖所示，延長AO交外接圓于D AD是O的直徑，ACD=ABD=90°cosCAD，cosBAD所以 =，c2=2b-b20，解得0b2所以當時取得最小值為，又f（0）=0，f（2）=2所以的范圍是.【點評】本題考查了三角形的外接圓的性質、向量的運算法則、數量積運算、二次函數的單調性等基礎知識與基本方法.【專題】【難度】【結束】16.【題型】填空題【題號】16【分值】5分【題文】已知有限集.如果中元素滿足，就稱為“復活集”，給出下列結論：集合是“復活集”；是“復活集”，則；不可能是“復活集”；若，則“復活集”有且只有一個，且.其中正確的結論

14、是_（填上你認為所有正確的結論序號）【答案】【考點】集合的應用【分析】本題考查的知識點是元素與集合的關系，正確理解已知中的新定義“復活集”的含義是解答的關鍵.【解析】因為 ，所以正確；不妨設a1+a2=a1a2=t，則由韋達定理知a1，a2是一元二次方程x2-tx+t=0的兩個根，由0，可得t0，或t4，故錯；不妨設A中a1a2a3an，由a1a2an=a1+a2+annan，得a1a2an-1n，當n=2時，即有a12，a1=1，于是1+a2=a2，a2無解，即不存在滿足條件的“復活集”A，故正確當n=3時，a1a23，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是“復活集”A只有一個，為1，

15、2，3當n4時，由a1a2an-11×2×3××（n-1），即有n（n-1）!，也就是說“復活集”A存在的必要條件是n（n-1）!，事實上，（n-1）!（n-1）（n-2）=n2-3n+2=（n-2）2-2+n2，矛盾，當n4時不存在復活集A，故正確故答案為：.【點評】【專題】【難度】【結束】三、解答題：本大題共6小題，共70 分，解答應寫出說明文字，證明過程或演算步驟17.【題型】解答題【題號】17【分值】12分【題文】在中，角對的邊分別為，已知.（1）若，求的取值范圍；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）（2，4） （2）【考點】正弦定理、余弦定

16、理、三角形面積公式、基本不等式【分析】求范圍時可利用正弦定理把邊化成角，再利用角的范圍求三角函數的取值范圍，因為已知夾角，可用夾角的面積公式解決三角形面積問題.【解析】（1） （ 2分）. （ 6分）（2） （8分） （ 10分）當且僅當時,的面積取到最大值為. （12分）.【點評】【專題】【難度】【結束】18.【題型】解答題【題號】18【分值】12分【題文】如圖，四棱錐中，底面為菱形， ，是的中點.（1）若，求證：；（2）若平面，且點在線段上，試確定點的位置，使二面角的大小為，并求出的值. 【答案】（1）證明過程見解析 （2）【考點】兩面垂直的判定、二面角的應用【分析】證明兩面垂直通常結合兩

17、面垂直的判定定理進行解答，涉及到二面角問題，可通過建立適當坐標系，利用空間向量解答.【解析】（1），為的中點，又底面為菱形， , 又平面，又平面,平面平面;-6分（2）平面平面,平面平面,平面.以為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系如圖.則,設(),所以，平面的一個法向量是，設平面的一個法向量為，所以取，-9分由二面角大小為，可得：，解得，此時-12分.【點評】【專題】【難度】【結束】19.【題型】解答題【題號】19【分值】12分【題文】生產，兩種元件，其質量按測試指標劃分為：指標大于或等于82為正品，小于82為次品，現隨機抽取這兩種元件各100件進行檢測，檢測結果統(tǒng)計如下：測試指標元件8

18、1240328元件71840296（）試分別估計元件、元件為正品的概率；（）生產一件元件，若是正品可盈利50元，若是次品則虧損10元；生產一件元件，若是正品可盈利100元，若是次品則虧損20元，在（）的前提下（i）求生產5件元件所獲得的利潤不少于300元的概率； （ii）記為生產1件元件和1件元件所得的總利潤，求隨機變量的分布列和期望【答案】（）（）（i）（ii）108【考點】頻率與概率的關系，n次重復獨立試驗發(fā)生k次的概率、分布列和期望【分析】若每次試驗發(fā)生的概率都相等，求n次試驗中發(fā)生次數的概率問題，可利用n次重復獨立試驗發(fā)生k次的概率計算公式直接計算，求離散隨機變量的期望問題，一般先確定

19、隨機變量的取值，再計算每一個取值對應的概率，得分布列求期望即可.【解析】（I）由題可知元件為正品的概率為，元件為正品的概率為（2分）（II）（i）設生產的5件元件中正品數為，則有次品件，由題意知,解得，設“生產的5件元件所獲得的利潤不少于300元”為事件，則（6分）（ii）隨機變量的所有取值為150,90,30，-30則所以隨機變量的分布列為：1509030-30所以，隨機變量的期望為：（12分）【點評】【專題】【難度】【結束】20.【題型】解答題【題號】20【分值】12分【題文】橢圓過點，離心率為，左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點（1）求橢圓的方程；（2）當的面積為時，求直線的方程.【

20、答案】(1) (2) 或【考點】 圓錐曲線綜合應用【分析】一般遇到直線與圓錐曲線位置關系問題，通常設方程，聯立方程，利用韋達定理建立等量關系進行解答.【解析】 解析：（1）因為橢圓過點，所以，又因為離心率為，所以，所以，解得所以橢圓的方程為： （4分）（2）當直線的傾斜角為時，不適合題意。 （6分）當直線的傾斜角不為時，設直線方程，代入得： （7分）設，則，所以直線方程為：或 （12分）.【點評】【專題】【難度】【結束】21.【題型】解答題【題號】21【分值】12分【題文】已知（）當時，若在上為減函數，在上是增函數，求值；（）對任意恒成立，求的取值范圍.【答案】（）（）【考點】導數的綜合應用【

21、分析】函數單調性問題就是導數恒正或恒負問題，利用不等式恒成立進行解答，由不等式恒成立求參數的范圍，可轉化為函數的最值問題進行解答.【解析】（）當時， 在上為減函數，則，在上是增函數，則(6分)（）設則，設則（1）當時，所以在上是減函數，在不恒成立；（2）當時，所以在上是增函數，的函數值由負到正，必有即，兩邊取自然對數得，所以，在上是減函數，上是增函數，所以，因此，即的取值范圍是.(12分).【點評】【專題】【難度】【結束】四、請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.【題型】解答題【題號】22【分值】10分【題文】已知，在中，是上一點，的外接圓交于， （）求證：；（）若平分，且，求的長.【答案】（）證明過程見