高等數(shù)學課件：第四章 習題課

1、積分法積分法原原 函函 數(shù)數(shù)選選擇擇u u有有效效方方法法基基本本積積分分表表第一換元法第一換元法 第二換元法第二換元法直接直接積分法積分法分部分部積分法積分法不不 定定 積積 分分幾種特殊類型幾種特殊類型函數(shù)的積分函數(shù)的積分一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容第四章第四章 習題課習題課1 1、原函數(shù)、原函數(shù) 如如果果在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)，可可導導函函數(shù)數(shù))(xF的的導導函函數(shù)數(shù)為為)(xf， 即即Ix ， 都都 有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函數(shù)數(shù))(xF就就稱稱為為)(xf或或dxxf)(在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)原原函函數(shù)數(shù).定義定義原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理 如果函數(shù)如果函

2、數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)，那內(nèi)連續(xù)，那么在區(qū)間么在區(qū)間I內(nèi)存在可導函數(shù)內(nèi)存在可導函數(shù))(xF，使，使Ix ，都有，都有)()(xfxF .即：即：2 2、不定積分、不定積分(1) 定義定義 在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)，函函數(shù)數(shù))(xf的的帶帶有有任任意意常常數(shù)數(shù)項項的的原原函函數(shù)數(shù)稱稱為為)(xf在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)的的不不定定積積分分，記記為為 dxxf)(CxFdxxf )()(函函數(shù)數(shù))(xf的的原原函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形稱稱為為)(xf的的積積分分曲曲線線. dxxgxf)()(10 dxxgdxxf)()(2) 微分運算與求不定積分的運算是微分運算與求不定積分的運算是的的. dxxkf)(

3、20 dxxfk)(（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k(3) 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) )()(xfdxxfdxd dxxfdxxfd)()( CxFdxxF)()( CxFxdF)()(3 3、基本積分表、基本積分表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù))1(1)2(1 Cxdxx Cxxdxln)3( dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx cos xdxxtansec)10(Cx sec xdxxcotcsc)11(Cx csc dxex)12(Cex xdx2cos)8( xdx2secCx tan

4、xdx2sin)9( xdx2cscCx cot dxax)13(Caax ln Cxxdxcoslntan)16( Cxxdxsinlncot)17( Cxxxdx)tanln(secsec)18( Cxxxdx)cotln(csccsc)19(Caxadxxa arctan11)20(22Cxaxaadxxa ln211)22(22Caxdxxa arcsin1)23(22Caxxdxax )ln(1)24(2222Caxaxadxax ln211)21(22Cx sh)14( xdxch xdxCx ch)15(sh5 5、第一類換元法、第一類換元法4 4、直接積分法、直接積分法定理定理

5、 1 設(shè)設(shè))(uf具有原函數(shù)，具有原函數(shù)，)(xu 可導，可導，則有換元公式則有換元公式 dxxxf)()( )()(xuduuf 第一類換元公式（第一類換元公式（）由定義直接利用基本積分表與積分的性質(zhì)求不由定義直接利用基本積分表與積分的性質(zhì)求不定積分的方法定積分的方法.;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln. 3dxxxf;)1(. 42dxxxf;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx常見類型常見類型:;sec)(tan. 72xdxxf;1)(arctan. 82dxxxf 6 6、第二類換元法、第二類換元法定理定理 設(shè)設(shè))(tx 是單調(diào)的、可

6、導的函數(shù)，并是單調(diào)的、可導的函數(shù)，并且且0)( t ，又設(shè)，又設(shè))()(ttf 具有原函數(shù)，具有原函數(shù)，則有換元公式則有換元公式 )()()()(xtdtttfdxxf 其中其中)(x 是是)(tx 的反函數(shù)的反函數(shù).第二類換元公式第二類換元公式常用代換常用代換:.,)(. 1Rbatx .sin,)(. 222taxxaxf 令令如如三角函數(shù)代換三角函數(shù)代換.,)(. 322ashtxxaxf 令令如如雙曲函數(shù)代換雙曲函數(shù)代換.1. 4tx 令令倒置代換倒置代換7 7、分部積分法、分部積分法分部積分公式分部積分公式dxvuuvdxvu duvuvudv 8.8.選擇選擇u u的有效方法的有效

7、方法: :LIATELIATE選擇法選擇法L-對數(shù)函數(shù)；對數(shù)函數(shù)；I-反三角函數(shù)；反三角函數(shù)；A-代數(shù)函數(shù)；代數(shù)函數(shù)；T-三角函數(shù)；三角函數(shù)；E-指數(shù)函數(shù)；指數(shù)函數(shù)； 哪哪個在前哪個選作個在前哪個選作u.9 9、幾種特殊類型函數(shù)的積分、幾種特殊類型函數(shù)的積分（1）有理函數(shù)的積分）有理函數(shù)的積分定義定義兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其中其中m、n都是非負整數(shù)；都是非負整數(shù)；naaa,10及及mbbb,10都是實數(shù)，并且都是實數(shù)，并且00 a，00 b.真分式化為部分分式之和的真分式化為部分分

8、式之和的待定系數(shù)法待定系數(shù)法四種類型分式的不定積分四種類型分式的不定積分;ln. 1CaxAaxAdx ;)(1()(. 21CaxnAaxAdxnn ;arctanln2. 342422222CqxqNqpxxMdxqpxxNMxpppMp dxqpxxNqpxxdxpxMdxqpxxNMxnMpnn)()()2(2)(. 42222此兩積分都可積此兩積分都可積,后者有遞推公式后者有遞推公式令令2tanxu 212sinuux 2211cosuux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sinduuuuuuR22221211,12 （2） 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有

9、理式的積分定義定義 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為)cos,(sinxxR（3） 簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分討論類型：討論類型：),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解決方法：解決方法：作代換去掉根號作代換去掉根號;necxbaxt 令令;nbaxt 令令例例1 1 dxxx1)23()23(2原式原式解解.4932 dxxxxx求求 1)23()23(23ln12xxd 123ln12tdt dttt)1111(23ln21Ctt 11ln)2ln3(ln21.2323ln)2ln3(ln21

10、Cxxxx tx )23(令令dxxxdxxxdxxxdxxxdxxxx 243321032cossin)5(cossin)4()1sin()3()12()2(sincos2cos)1(計計算算下下列列不不定定積積分分：練練習習二、典型例題二、典型例題例例1 1 dxxx1)23()23(2原式原式解解.4932 dxxxxx求求 1)23()23(23ln12xxd 123ln12tdt dttt)1111(23ln21Ctt 11ln)2ln3(ln21.2323ln)2ln3(ln21Cxxxx tx )23(令令例例2 2解解.cos1)sin1( dxxxex求求 dxxxxex2c

11、os2)2cos2sin21(2原式原式 dxxexexx)2tan2cos21(22tan)2(tan( xxdexxde )2tan(xedx.2tanCxex 例例3 3解解.15)1ln(22 dxxxx求求5)1ln(2 xx,112x 5)1ln(5)1ln(22 xxdxx原式原式.5)1ln(32232Cxx )1221(1122xxxx 例例4 4解解.1122 dxxxx求求,1tx 令令dttttt)1(1)1(111222 原式原式dttt 211 22212)1(11ttddttCtt 21arcsin.1arcsin12Cxxx (倒代換倒代換)例例5 5解解.16

12、32 xxxeeedx求求,6tex 令令,ln6tx ,6dttdx dttttt61123 原式原式dtttt )1)(1(622211)1)(1(6tDCttBtAttt 設(shè)設(shè))1()()1()1)(1(622 ttDCttBtttA解得解得. 3, 3, 3, 6 DCBAdttttt)133136(2 原式原式Ctttt arctan3)1ln(23)1ln(3ln62.arctan3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx .;ln)6(;arctan)5(;)4(;1)3(;)2(;ln1)1( xdxxdxxdxexdxxxeedtdxxxxtt練練習習計計算算下下列列

13、積積分分例例6 6解解.)1ln(arctan2 dxxxx求求dxxx)1ln(2 )1()1ln(2122xdx .21)1ln()1(21222Cxxx 21)1ln()1(21arctan222xxxxd 原式原式xxxxarctan)1ln()1(21222 dxxxx1)1ln(21222 例例7 7解解.)2(10 xxdx求求 )2(10109xxdxx原式原式 )2()(101101010 xxxdCxx )2ln(ln2011010.)2ln(201ln2110Cxx .2)1ln(23)1ln()1(arctan212222Cxxxxxxx 例例8 8解解.)1()1(3

14、42 xxdx求求.)1()11()1()1(234342 xxxxx,11 xxt令令,)1(22dxxdt 則有則有 原原式式 234)1()11(xxxdxdtt 3421Ct 3123.11233Cxx 例例9 9解解.cos1sin dxxxx求求dxxxxx 2cos22cos2sin22原式原式dxxdxxx 2tan2cos22dxxdxxxx 2tan2tan2tan.2tanCxx dxxbxax cossinsin10計計算算例例21)cossinln(cossin)cossin(cossinsincos,cossincos,cossinsinCxbxaxbxaxbxad

15、dxxbxaxbxabIaJCxdxbJaIdxxbxaxJdxxbxaxI 則則解：設(shè)解：設(shè)CxbxaxbaJCxbxaxbaI )cossinln(1)cossinln(12222例例1111解解 dxxfxfxfxfxf)()()()()(322原式原式.)()()()()(32 dxxfxfxfxfxf求求 dxxfxfxfxfxfxf)()()()()()(22 )()()()(xfxfdxfxf.)()(212Cxfxf 例例1212解解., 1max dxx求求, 1max)(xxf 設(shè)設(shè),1,11,11,)( xxxxxxf則則,),()(上連續(xù)上連續(xù)在在xf).(xF則必存在

16、原函數(shù)則必存在原函數(shù)須處處連續(xù)，有須處處連續(xù)，有又又)(xF.1,2111,1,21)(32212 xCxxCxxCxxF)21(lim)(lim12121CxCxxx ,21112CC 即即)(lim)21(lim21321CxCxxx ,12123CC 即即.1,12111,211,21, 1max22 xCxxCxxCxdxx故故.1,2132CCCC 可得可得,1CC 聯(lián)立并令聯(lián)立并令).(,)()(lim, 1)(lim, 0)(), 0()()2002(13110 xfexfhxxfxfxfxfxhhx求求且且滿滿足足內(nèi)內(nèi)可可導導，在在已已知知函函數(shù)數(shù)例例 )()(ln1ln,)(

17、)(1xfhxxfhyxfhxxfyh 則則解解：設(shè)設(shè)hxxfhxxfxxfhxxfhyhhh)(ln)(lnlim)()(ln1limlnlim000 )(ln xfxxxfxee1 )(ln 由由已已知知條條件件得得,1 )(ln2xxf )(ln10)()(lim xfxhhexfhxxfxCexf1)( , 11)(lim Cxfxxexf1)( xxfxxxxxfd)(1,sin)(sin)6 ,2002(142 求求設(shè)設(shè)例例,arcsin,sin,sin2uxuxxu 解解：令令xxxfuuufarcsin)(,arcsin)( 即即dxxxxxfxx 1arcsind)(1)1(

18、1arcsinxdxx xdxxxxxdx 1112arcsin121arcsin2Cxxx 2arcsin12 )1(15xxdx計算積分計算積分例例 CtdttxCxxxdxdxxxdx2sin21) 12arcsin() 12(1) 12()21(41)1 (22法法一一：Cxxxdxxdxxxdx arcsin2)(1212)1 (2法法二二：Cxxxdxxdx 1arcsin2)1(112)1 (2法法三三：CxCtdtttttttxxxdx arcsin22cossinsincos2)20(sin)1 (2法法六六：Cxxtdttxxxxxdxxxdx 1arctan212112)

19、1 (2法法五五：Cxxdttdttxxxxxdxxxdx 1arctan21211)1 (2)1 (2法法四四：由此例可見不定積分方法的靈活性。由此例可見不定積分方法的靈活性。n 10證證明明：dxxxxxxxxdxxdx 2sincossinsinsin1sinsinsincos證證：計計算算積積分分dxxx sincos110 dxxxndxxx sincossincos1n 0問題在那里？問題在那里？例例8 8 求積分求積分.sin14 dxx解（一）解（一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318

20、133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 解解可以不用萬能置換公式可以不用萬能置換公式. dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc )(cot xd .cot31cot3Cxx 5 .)15.(14 . 4204BP課本課本節(jié)節(jié)練習冊練習冊.11)1()1)(1(3235 xxxdxxxdx解解.)1(61111232333dtttdxttxtxx ，則，則令令Cttdtdttttt 2232234323)1(64)1(Cxx 231143解 將根號內(nèi) 的二次三項式配方，得 1)1()1(d22)1(d2222xx

21、xxxxx.1dtdxtx ，令令6 .)5.(14 . 4204BP課課本本節(jié)節(jié)練練習習冊冊21tan222sectansec1t xtudtuduuutt 22(sin )122sinsin1duxxCCuux 6)12.(14 . 4205P課課本本節(jié)節(jié)練練習習冊冊 dxxxx33cossinsin. 6233tan sectan(tan )1ln 1tan3tan1tan1xxdxxdxxxx 213tan1ln tantan1arctan633xxxC duuuux1,tan3令令 11111223 uuCBuuAuuuuuu11311131123 uuuuuu于是于是 dxxx11

22、)6(42 2)1()1(11111222242xxxxddxxxxdxxx解：解： dxx11)13(42222244)2()1(21212xxxxxx ：解解)21)(21(22xxxx 121211224 xxDCxxxBAxx222211121arctanln(21)(21)2 224 221xdxxxxCxxxxxx.21)13.(14 . 4205P課課本本節(jié)節(jié)練練習習冊冊 dxx11)13(4 2)1()1(2)1()1(21111121111211112242424224xxxxdxxxxddxxxdxxxdxxxxdxx：解解 dxxxxxex23sincossincos.3

23、2.)15.(14 . 4205P課課本本節(jié)節(jié)練練習習冊冊 xdexdexdxexdxedxxxexdxxexxxxxx2sinsin2sinsin2sinsincos1coscos1sincossincos.)sec(sinCexxx xxdx44cossin)1().1.(2練練習習冊冊第第四四章章測測驗驗題題 xdx2sin164dxx 4csc16xdx2cot)2cot1(82 .)2cot312(cot83Cxx ).4.(2練練習習冊冊第第四四章章測測驗驗題題 xdxxxdxx3sin)4cos1(213sin2sin2 xdxxxdx4cos3sin213sin21 dxxxx

24、)sin7(sin21213cos3121Cxxx cos417cos2813cos61.39),10.(2206，課課本本練練習習冊冊第第四四章章測測驗驗題題P dxeexx2arctan)10()()1(11arctan21)1()(arctan21)(arctan21arctan22222222xxxxxxxxxxxxxxedeeeeeeedeeededxee Ceeeexxxx arctan2121arctan212測測 驗驗 題題一、一、 選擇題：選擇題：1 1、 設(shè)設(shè))(, )(21xFxF是區(qū)間是區(qū)間I內(nèi)連續(xù)函數(shù)內(nèi)連續(xù)函數(shù))(xf的兩個不的兩個不 同的原函數(shù)，且同的原函數(shù)，且0)

25、( xf, ,則在區(qū)間則在區(qū)間I內(nèi)必有內(nèi)必有（ ）（A A） CxFxF )()(21；（B B） CxFxF )()(21；（C C） )()(21xCFxF ；（D D） CxFxF )()(21. .2 2、若、若, )()(xfxF 則則 )(xdF= =（ ）（A A） )(xf； （B B） )(xF；（C C） Cxf )(； （D D） CxF )(. .3 3、)(xf在某區(qū)間內(nèi)具備了條件在某區(qū)間內(nèi)具備了條件（ ）就可保證它的）就可保證它的 原函數(shù)一定存在原函數(shù)一定存在（A A） 有極限存在；有極限存在； （B B）連續(xù)；）連續(xù)；（B B） 有界；有界； （D D）有有限個間

26、斷點）有有限個間斷點 4 4、下列結(jié)論正確的是、下列結(jié)論正確的是（ ）（A A） 初等函數(shù)必存在原函數(shù)；初等函數(shù)必存在原函數(shù)；（B B） 每個不定積分都可以表示為初等函數(shù)；每個不定積分都可以表示為初等函數(shù)；（C C） 初等函數(shù)的原函數(shù)必定是初等函數(shù)；初等函數(shù)的原函數(shù)必定是初等函數(shù)；（D D） CBA,都不對都不對 . .5 5、函函數(shù)數(shù)2)()(xxxf 的的一一個個原原函函數(shù)數(shù) )(xF( ( ) )（A A）334x; ; （B B）234xx; ;（C C) )(3222xxx ; ; （D D）)(322xxx . .6 6 、 已已 知知 一一 個個 函函 數(shù)數(shù) 的的 導導 數(shù)數(shù) 為

27、為xy2 ，21 yx時時且且, ,這這個個函函數(shù)數(shù)是是（ ） （A A）;2Cxy （B B）;12 xy （C C）Cxy 22; ; （D D）.1 xy7 7、下列積分能用初等函數(shù)表出的是、下列積分能用初等函數(shù)表出的是（ ） （A A） dxex2； （B B） 31xdx； （C C） dxxln1； （D D） dxxxln. .8 8、 ,)()(CxFdxxf且且,batx 則則 dttf)(（ ） （A A）CxF )(； （B B） CtF )(; ; （C C）CbatFa )(1; ; （D D）CbatF )( . . 9 9、 dxxx2ln（） （A A）Cxxx 1ln1; ; （B B）Cxxx 1ln1; ; （C C）Cxxx 1ln1； （D D）Cxxx 1ln1. . 10 1