最全最詳細(xì)抽象函數(shù)的對(duì)稱性、奇偶性與周期性常用結(jié)論

1、抽象函數(shù)的對(duì)稱性、奇偶性與周期性常用結(jié)論一.概念：抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，只給出一些函 數(shù)符號(hào)及其滿足的條件的函數(shù)，如函數(shù)的定義域，解析遞推式，特定點(diǎn)的函數(shù)值, 特定的運(yùn)算性質(zhì)等，它是高中函數(shù)部分的難點(diǎn)，也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一 個(gè)銜接點(diǎn)，由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達(dá)式作為載體，因此理解研究起來比 較困難，所以做抽象函數(shù)的題目需要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力以及函數(shù)知識(shí)靈活運(yùn)用的能力1、周期函數(shù)的定義：對(duì)于f(x)定義域內(nèi)的每一個(gè) x,都存在非零常數(shù) t,使得f(x t) f(x)恒成立，則稱函數(shù)f(x)具有周期性，t叫做f (x)的一個(gè)周期，則kt (k z,

2、k 0)也是f(x)的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫f(x)的最小正周期。分段函數(shù)的周期： 設(shè)y f(x)是周期函數(shù)，在任意一個(gè)周期內(nèi)的圖像為c：y f(x),x a,b,t b a。把y f(x)沿x軸平移kt k(b a)個(gè)單位即按向量a (kt,0)平移，即得yf(x)在其他周期的圖像：y f (x kt), x kt a, kt b。f (x) x a,bf (x)f (x kt) x kt a,kt b2、奇偶函數(shù)：設(shè) y f (x), x a,b 或x b, a a,b若f( x)f(x)，則稱yf(x)為奇函數(shù)；若f ( x) f(x)則稱y f(x)為偶函數(shù)。分段函數(shù)的奇偶性3、

3、函數(shù)的對(duì)稱性：(1)中心對(duì)稱即點(diǎn)對(duì)稱：點(diǎn)a(x, y)與b(2a x,2b y)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱；點(diǎn)a(a x,b y)與b(a x,b y)關(guān)于(a,b)對(duì)稱；函數(shù)y f(x)與2b y f (2a x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)成中心對(duì)稱；函數(shù)b y f (a x)與b y f (a x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)成中心對(duì)稱；函數(shù)f (x, y) 0與f(2a x,2b y) 0關(guān)于點(diǎn)(a,b)成中心對(duì)稱。(2)軸對(duì)稱：對(duì)稱軸方程為：ax by c 00點(diǎn) a(x, y)與b(x/, y/)b(x2a(ax by c) 2b(ax by c)關(guān)于直線ax by c 0成軸對(duì)稱；函數(shù)y f(x)與y如7嗎c

4、) f(x 2az2 by2 c)關(guān)于直線 a2 b2a2 b2ax by c 0成軸對(duì)稱。 f(x,y) 0與 f(x 2 a(空 by2 c),y 如(ax by2 c) 0 關(guān)于直線 a ba bax by c 0成軸對(duì)稱。二、函數(shù)對(duì)稱性的幾個(gè)重要結(jié)論(一)函數(shù)y f(x)圖象本身的對(duì)稱性(自身對(duì)稱)若f(x a) f(x b),則f(x)具有周期性；若f(a x) f(b x),則f(x)具有對(duì)稱性：”內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對(duì)稱性1、f (a x)f (b x)yf(x)圖象關(guān)于直線x(a x) (b x)a_b對(duì)稱22推論1： f(a x) f (a x) y f (x)的圖象關(guān)于

5、直線 x a對(duì)稱推論2、f (x) f (2a x) y f(x)的圖象關(guān)于直線 x a對(duì)稱推論3、f ( x) f (2a x) y f(x)的圖象關(guān)于直線 x a對(duì)稱2、f (a x) f (b x) 2c yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(>a_b c)對(duì)稱2，推論1、f (a x) f (a x) 2b y f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱推論2、f (x) f (2a x) 2by f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱推論3、f ( x) f(2a x) 2byf (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱(二)兩個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)稱性(相互對(duì)稱)(利用解析幾何中的對(duì)稱曲線軌跡方程理解)1、偶函數(shù)y

6、f(x)與y f ( x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱2、奇函數(shù)y f(x)與y f ( x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)3、函數(shù)y f(x)與yf(x)圖象關(guān)于x軸對(duì)稱4、互為反函數(shù)y f(x)與函數(shù)y f 1(x)圖象關(guān)于直線y x對(duì)稱.一. ba5.函數(shù)y f (a x)與y f(b x)圖象關(guān)于直線x 對(duì)稱2推論1：函數(shù)y f (a x)與y f (a x)圖象關(guān)于直線x 0對(duì)稱推論2:函數(shù)y ”*)與丫 f (2a x)圖象關(guān)于直線x a對(duì)稱推論3:函數(shù)y f ( x)與y f (2a x)圖象關(guān)于直線x a對(duì)稱(三)抽象函數(shù)的對(duì)稱性與周期性 1、抽象函數(shù)的對(duì)稱性性質(zhì)1若函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a軸

7、對(duì)稱，則以下三個(gè)式子成立且等價(jià)：(1) f(a + x) = f(a x)(2) f(2a x)=f(x)(3) f(2a + x) = f( -x)性質(zhì)2若函數(shù)y = f(x)關(guān)于點(diǎn)(a, 0)中心對(duì)稱，則以下三個(gè)式子成立且等價(jià)：(1) f(a + x) = f(a x)(2) f(2a -x) = f(x)(3) f(2a +x) = f( -x)易知，y=f(x)為偶(或奇)函數(shù)分別為性質(zhì)1 (或2)當(dāng)a = 0時(shí)的特例。2、復(fù)合函數(shù)的奇偶性定義1、若對(duì)于定義域內(nèi)的任一變量 x,均有fg( x) =fg(x), 則復(fù)數(shù)函數(shù)y=fg(x)為偶函數(shù)。定義2、若對(duì)于定義域內(nèi)的任一變量 x,均有

8、fg( x) = fg(x), 則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)為奇函數(shù)。說明：(1)復(fù)數(shù)函數(shù)fg(x)為偶函數(shù)，則fg( x) =fg(x)而不是f g(x) = fg(x),復(fù)合函數(shù)y = fg(x)為奇函數(shù)，則fg( x) = fg(x)而不是 f -g(x) = fg(x)。(2)兩個(gè)特例：y=f(x + a)為偶函數(shù)，則 f(x +a)=f( x + a)；y =f(x + a)為奇函數(shù)，則 f( x + a)= f(a +x)(3) y = f(x +a)為偶(或奇)函數(shù)，等價(jià)于單層函數(shù)y = f(x)關(guān)于直線x=a軸對(duì)稱(或關(guān)于點(diǎn)(a, 0)中心對(duì)稱)3、復(fù)合函數(shù)的對(duì)稱性性質(zhì)3復(fù)合函數(shù)y

9、 = f(a +x)與y=f(b x)關(guān)于直線x= (b a) /2軸對(duì)稱性質(zhì)4、復(fù)合函數(shù)y = f(a +乂)與丫= f(b x)關(guān)于點(diǎn)(b-a) /2 , 0)中 心對(duì)稱推論1、復(fù)合函數(shù)y = f(a +x)與y = f(a x)關(guān)于y軸軸對(duì)稱推論2、復(fù)合函數(shù)y = f(a +乂)與丫= f(a x)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱4、函數(shù)的周期性若a是非零常數(shù)，若對(duì)于函數(shù)y = f(x)定義域內(nèi)的任一變量x點(diǎn)有下列條件 之一成立，則函數(shù)y = f(x)是周期函數(shù)，且2|a|是它的一個(gè)周期。 f(x +a)=f(x a) f(x + a) = f(x) f(x +a) = 1/f(x) f(x + a)

10、= 1/f(x)5、函數(shù)的對(duì)稱性與周期性性質(zhì)5若函數(shù)y = f(x)同時(shí)關(guān)于直線x = a與x = b軸對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必 為周期函數(shù)，且t= 2|a-b|性質(zhì)6、若函數(shù)y = f(x)同時(shí)關(guān)于點(diǎn)(a, 0)與點(diǎn)(b, 0)中心對(duì)稱，則函 數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且t= 2|a-b|性質(zhì)7、若函數(shù)y = f(x)既關(guān)于點(diǎn)(a, 0)中心對(duì)稱，又關(guān)于直線x = b軸對(duì) 稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且t= 4|a-b|6、函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用(1)若 yf(x)關(guān)于點(diǎn)(h,k)對(duì)稱，則 x x/ 2h, y y/ 2k ,即f(x) f(x/) f(x) f(2h x) 2kf(xi) f(x

11、2)f(xn) f(2h xn) f (2h 4 1) f (2h 不)2nk(2)例題ax11、1、f (x)尸關(guān)于點(diǎn)(一,一)對(duì)稱：f (x) f (1 x) 1 ；ax a2 24x 1f(x) 4x 1l 2x 1 關(guān)于(0,1)對(duì)稱：f(x) f( x) 2f(x) -(r,x 0)關(guān)于( j)對(duì)稱：f (x) f(-) 1x 12 2x2 、奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)(0, 0)對(duì)稱：f (x) f ( x) 0。3 、若f(x) f(2a x)或f(a x) f(a x),則y f(x)的圖像關(guān)于直線 x a對(duì)稱。設(shè)f (x) 0有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則x1x2xnx1 (2ax1)x2

12、(2ax2)xn(2axn) na.22(當(dāng) n 2k 1時(shí)，必有 x1 2a x1,x1a)(四)常用函數(shù)的對(duì)稱性三、函數(shù)周期性的幾個(gè)重要結(jié)論1、f(x t) f(x)( t 0)y f (x)的周期為t , kt( k z)也是函數(shù)的周期2、f(x a)3、f (x a)4、f (x a)5、f (x a)6、f (x a)7、 f (x a)8、f (x a)f (x b)f(x)1而1f(x)1 f(x)1 f(x)1f(x) 11 f(x)1 f(x)y f(x)的周期為t b ay f (x)的周期為t 2ay f(x)的周期為t 2ay f (x)的周期為t 2ay f(x)的周

13、期為t 3ay f(x)的周期為t 2ay f(x)的周期為t 4a9、f (x 2a)f (x a) f (x)y "刈的周期為丁 6a10、若 p 0, f (px) f ( px -p),則t py f(x)有兩條對(duì)稱軸x a和x b (b a) y f(x)周期t 2(b a)推論：偶函數(shù)y f(x)滿足f (a x) f (a x) y f (x)周期t 2a12、y f(x)有兩個(gè)對(duì)稱中心(a,0)和(b,0) (b a) y f (x)周期 t 2(b a)推論：奇函數(shù)y f(x)滿足f(a x) f(a x) y f(x)周期t 4a13、y f(x)有一條對(duì)稱軸 x

14、 a和一個(gè)對(duì)稱中心(b,0) (b a) ”*)的丁 4(b a)四、用函數(shù)奇偶性、周期性與對(duì)稱性解題的常見類型靈活應(yīng)用函數(shù)奇偶性、周期性與對(duì)稱性，可巧妙的解答某些數(shù)學(xué)問題，它對(duì)訓(xùn)練學(xué)生分析問題與解決問題的能力有重要作用.下面通過實(shí)例說明其應(yīng)用類型。1 .求函數(shù)值例1. ( 1996年高考題)設(shè) “*)是(,)上的奇函數(shù)，f(2 x)f(x)，當(dāng)0 x 1 時(shí)，f(x) x ,則 f (7.5)等于(-0.5 )(a) 0.5;(b) -0.5;(c) 1.5;(d) -1.5.例2. (1989年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)已知f(x)是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且f(x 2) 1 f (x)1 f

15、(x), f (1) 2 73,求 f (1989)的值.f (1989) 案 2。2、比較函數(shù)值大小198“演、101f(h、例3.若f(x)(x r)是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng) x 0,1時(shí)，f(x) x詢，試比較104 二,f ()的大小.15解： f(x)(x r)是以2為周期的偶函數(shù)，又f (x)11998 x11716 1419 151,11614101f(-) f(-) f (匕)，即 f (山17191517在0,1上是增函數(shù)，且f(r.15f3、求函數(shù)解析式例4. ( 1989年高考題)設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(，)上且以2為周期的函數(shù)，對(duì)2k z,用ik表示區(qū)間(2k 1,2k

16、 1),已知當(dāng)x i。時(shí)，f (x) x.求f(x)在ik上的解析式.解：設(shè) x (2k 1,2k1), 2k1x2k11x 2k1x i0 時(shí)，有 f (x)x2,由1x2k1 得 f(x2k) (x 2k)2f (x)是以 2 為周期的函數(shù)，f(x 2k) f (x), f (x) (x 2k)2.例5.設(shè)f(x)是定義在(，)上以2為周期的周期函數(shù)，且 f(x)是偶函數(shù)，在區(qū)間 2,3 上，f(x) 2(x 3)2 4.求 x 1,2 時(shí)，f(x)的解析式.解：當(dāng) x 3, 2 ,即 x 2,3 , 2_ 2f (x) f ( x) 2( x 3)42( x 3)4又f(x)是以2為周期

17、的周期函數(shù)，于是當(dāng) x 1,2 ,即 3x42時(shí),有f (x) f (x 4)_ 2_2_f(x)2(x4) 342(x1)24(1 x 2).-2一f (x)2(x 1)4(1 x 2).4、判斷函數(shù)奇偶性例6.已知f(x)的周期為4,且等式f(2 x) f(2 x)對(duì)任意x r均成立，判斷函數(shù)f (x)的奇偶性.解：由f (x)的周期為4,得f (x) f (4 x),由f(2 x) f (2 x)得f( x) f(4 x) , f( x)f (x)，故 f(x)為偶函數(shù).5、確定函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)例7.設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x滿足f(2 x) f (2 x), f (7 x)f(

18、7 x)且f (0) 0,判斷函數(shù)f (x)圖象在區(qū)間30,30上與x軸至少有多少個(gè)交點(diǎn)解：由題設(shè)知函數(shù) f(x)圖象關(guān)于直線x 2和x 7對(duì)稱，又由函數(shù)的性質(zhì)得f(0) 0且f(x)不能恒為零，f(x)是以10為周期的函數(shù).在一個(gè)周期區(qū)間 0,10上,f (0) qf(4) f (2 2)f(2 2)故f (x)圖象與x軸至少有2個(gè)交點(diǎn).而區(qū)間 30,30有6個(gè)周期，故在閉區(qū)間30,30上f (x)圖象與x軸至少有13個(gè)交與 八、.6、在數(shù)列中的應(yīng)用例8.在數(shù)列an中,、3,anaan-l(n 2),求數(shù)列的通項(xiàng)公式 an 1aa5a9a1997 .分析：此題的思路與例2思路類似.解：令a1

19、 tg ,則a21a11a1tg1 tgtg(4)a31 a?1 a21tg(4)1tg(4)tg(2 4an1tg (n 1) 4，于是an1 an 11 an 1tg (n1)4不難用歸納法證明數(shù)列的通項(xiàng)為：an tg(n ),且以4為周期.44于是有1, 5, 91997是以4為公差的等差數(shù)列，a1a5 a9 a1997 ,由 1997 1 (n 1) 4 得總項(xiàng)數(shù)為 500 項(xiàng)，a a5 a9a1997500 a1 500 3.7、在二項(xiàng)式中的應(yīng)用例9.今天是星期三，試求今天后的第9292天是星期幾？分析：轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的展開式后，利用一周為七天這個(gè)循環(huán)數(shù)來進(jìn)行計(jì)算即可9292 (91

20、1)92 c0 9192 c1 9191 c90 9 1 2 c91 91 1()92c> 92c>92929292 (7 13 1)92 c92(7 13)92 c92(7 13)910990(7 13)2c92(7 13) 1因?yàn)檎归_式中前92項(xiàng)中土有7這個(gè)因子，最后一項(xiàng)為 1,即為余數(shù)，故9292天為星期四.8、復(fù)數(shù)中的應(yīng)用z,例10.(上海市1994年高考題)設(shè)z 1 y3i(i是虛數(shù)單位)，則滿足等式zn 22且大于1的正整數(shù)n中最小的是(a) 3;(b) 4;(c) 6;(d) 7.1 3.分析：運(yùn)用z - i方帚的周期性求值即可.2 2解：zn z, z(zn 1 1

21、) 0 zn1 1,z3 1, n 1必須是3的倍數(shù)，即n 1 3k(k n),n 3k 1(k n).k 1時(shí),n最小，(n)min4.故選擇(b)9、解“立幾”題例11.abca a1b1c1d1是單位長(zhǎng)方體，黑白二蟻都從點(diǎn)a出發(fā)，沿棱向前爬行，每走一條棱稱為“走完一段”。白蟻爬行的路線是aaia1d1，黑蟻爬行的路線是abbbi.它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i2段所在直線與第i段所在直線必須是異面直線(其中i n).設(shè)黑白二蟻?zhàn)咄甑?990段后，各停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處， 這時(shí)黑白蟻的距離是(a) 1;(b)中夕；(c) j3;(d) 0.解：依條件列出白蟻的路線aa1a1d1 d1

22、c1c1ccbba aa1，立即可以發(fā)現(xiàn)白蟻?zhàn)咄炅魏笥只氐搅薬點(diǎn).可驗(yàn)證知：黑白二蟻?zhàn)咄炅魏蟊鼗氐狡瘘c(diǎn)，可以判斷每六段是一個(gè)周期1990=6 331 4,因此原問題就轉(zhuǎn)化為考慮黑白二蟻?zhàn)咄晁亩魏蟮奈恢?，不難計(jì)算出在走完四段后黑蟻在d1點(diǎn)，白蟻在c點(diǎn)，故所求距離是 j2.例題與應(yīng)用例 1 : f(x) 是 r上的奇函數(shù) f(x)= f(x+4), xc 0 , 2時(shí) f(x)=x ,求 f(2007) 的值例2:已知f(x)是定義在r上的函數(shù)，且滿足 f(x+2)1 f(x)=1+f(x), f(1)=2 ,求f(2009) 的值。故 f(2009)= f(251 x8+1)=f(1)=2例

23、3:已知f(x)是定義在r上的偶函數(shù)，f(x)= f(4-x),且當(dāng)x 2,0時(shí)，f(x)二2x+1，則當(dāng)x 4,6時(shí)求f(x)的解析式例4:已知f(x)是定義在 r上的函數(shù)，且滿足 f(x+999)=- , f(999+x)=f(999x),f(x)試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.例5:已知f(x)是定義在r上的偶函數(shù)，f(x)= f(4-x),且當(dāng)x 2,0時(shí)，f(x)是減函數(shù)，求證當(dāng)x 4,6時(shí)f(x)為增函數(shù)例 6: f(x)滿足 f(x) =-f(6-x), f(x)= f(2-x),若 f(a) =-f(2000) , a 5 , 9且 f(x)在5 , 9上單調(diào).求a的值.例 7:已

24、知 f(x)是定義在 r上的函數(shù)，f(x)= f(4x) , f(7+x)= f(7-x),f(0)=0,求在區(qū)間 1000, 1000上f(x)=0 至少有幾個(gè)根？解：依題意f(x)關(guān)于x=2, x=7對(duì)稱，類比命題 2 (2)可知f(x)的一個(gè)周期是10故 f(x+10)=f(x)f(10)=f(0)=0 又 f(4)=f(0)=0即在區(qū)間(0, 10上，方程f(x)=0至少兩個(gè)根又f(x)是周期為10的函數(shù)，每個(gè)周期上至少有兩個(gè)根, 因此方程f(x)=0在區(qū)間 1000, 1000上至少有1 + 2 2000 =401個(gè)根.10例1、函數(shù)y = f(x)是定義在實(shí)數(shù)集r上的函數(shù)，那么y= f(x +4)與丫 = f(6 x)的圖象之間(d )a.關(guān)于直線x = 5對(duì)稱b.關(guān)于直線x=1對(duì)稱c.關(guān)于點(diǎn)(