多面體歐拉公式的發(fā)現(xiàn)

1、多面體歐拉公式的發(fā)現(xiàn)多面體歐拉公式的發(fā)現(xiàn)研究性課題：制作：錢曉萍一些定義：一些定義：若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫多面體若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫多面體 。圍成多面體的各個(gè)多邊形叫多面體的面圍成多面體的各個(gè)多邊形叫多面體的面 (face)。兩個(gè)面的公共邊叫多面體的棱兩個(gè)面的公共邊叫多面體的棱 (edge)。若干個(gè)面的公共頂點(diǎn)叫多面體的頂點(diǎn)若干個(gè)面的公共頂點(diǎn)叫多面體的頂點(diǎn) (vertex)。多面體的面數(shù)多面體的面數(shù)f 4，棱數(shù)，棱數(shù)e 6，頂點(diǎn)數(shù)，頂點(diǎn)數(shù)v 4。 一個(gè)多面體至少有一個(gè)多面體至少有 個(gè)面，個(gè)面， 條棱，條棱， 個(gè)頂點(diǎn)個(gè)頂點(diǎn)464回顧知識(shí)回顧知識(shí)問(wèn)題一：?jiǎn)栴}一：?jiǎn)栴}二：?jiǎn)栴}二：

2、我們知道正多邊形有無(wú)限多種，前面我們學(xué)習(xí)過(guò)，正我們知道正多邊形有無(wú)限多種，前面我們學(xué)習(xí)過(guò)，正多面體只有多面體只有5種：正四面體、正六面體、正八面體、種：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。這是為什么呢？正十二面體、正二十面體。這是為什么呢？ 小明想用小明想用90根相同火柴棒拼出一個(gè)形如足球的多面根相同火柴棒拼出一個(gè)形如足球的多面體，他連續(xù)拼了體，他連續(xù)拼了n次次,仍然沒(méi)有合理地拼出此多面體仍然沒(méi)有合理地拼出此多面體.你能幫助他設(shè)計(jì)出來(lái)嗎？你能幫助他設(shè)計(jì)出來(lái)嗎？ 多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)和棱數(shù)之間有什么關(guān)系呢？多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)和棱數(shù)之間有什么關(guān)系呢？ 瑞士數(shù)學(xué)家歐拉早在瑞士數(shù)學(xué)

3、家歐拉早在1750年就研究過(guò)這個(gè)問(wèn)題，并得出年就研究過(guò)這個(gè)問(wèn)題，并得出自己的結(jié)論，下面我們就沿著歐拉的足跡來(lái)探索這個(gè)關(guān)系。自己的結(jié)論，下面我們就沿著歐拉的足跡來(lái)探索這個(gè)關(guān)系。 1、觀察下面有、觀察下面有5個(gè)多面體，分別數(shù)出它們的頂點(diǎn)數(shù)個(gè)多面體，分別數(shù)出它們的頂點(diǎn)數(shù)v、 面數(shù)面數(shù)f和棱數(shù)和棱數(shù)e，并填出下表；，并填出下表；圖形編號(hào)圖形編號(hào) 頂點(diǎn)數(shù)頂點(diǎn)數(shù)v 面數(shù)面數(shù) f 棱數(shù)棱數(shù) e(1)(2)(3)(4)(5) (1) (2) (3) (4) (5)468126898159916觀察表中填出的各組觀察表中填出的各組數(shù)據(jù)中，數(shù)據(jù)中，v、f和和e 之之間有什么規(guī)律嗎？間有什么規(guī)律嗎？4612vfe+

4、_+_=2圖形編號(hào)圖形編號(hào) 頂點(diǎn)數(shù)頂點(diǎn)數(shù)v 面數(shù)面數(shù)f棱數(shù)棱數(shù)e(1)(2)(3)5581212247812觀察表中數(shù)據(jù)，這些圖形的觀察表中數(shù)據(jù)，這些圖形的v、f和和e 符合前面所找出的規(guī)律嗎？符合前面所找出的規(guī)律嗎？出現(xiàn)這些區(qū)別的原因是什么？出現(xiàn)這些區(qū)別的原因是什么？下面有下面有3個(gè)多面體，分別數(shù)出它們的個(gè)多面體，分別數(shù)出它們的頂點(diǎn)數(shù)頂點(diǎn)數(shù)v、面數(shù)、面數(shù)f和棱數(shù)和棱數(shù)e。比較前面問(wèn)題比較前面問(wèn)題1 1和問(wèn)題和問(wèn)題2 2中的圖形，中的圖形， 如果這些多面體的如果這些多面體的表面都是用橡皮薄膜制作的，并且可以向它們內(nèi)部充表面都是用橡皮薄膜制作的，并且可以向它們內(nèi)部充氣，那么其中哪些多面體能夠連續(xù)

5、氣，那么其中哪些多面體能夠連續(xù)( (不破裂不破裂) )變形，最變形，最后其表面可變?yōu)橐粋€(gè)球面？后其表面可變?yōu)橐粋€(gè)球面？定義：表面經(jīng)過(guò)連續(xù)變形能變?yōu)橐粋€(gè)球面的多面體定義：表面經(jīng)過(guò)連續(xù)變形能變?yōu)橐粋€(gè)球面的多面體 叫做簡(jiǎn)單多面體叫做簡(jiǎn)單多面體問(wèn)題問(wèn)題1 1：我們所熟悉的棱柱、棱錐、正多面體等一切：我們所熟悉的棱柱、棱錐、正多面體等一切凸多面體是簡(jiǎn)單多面體嗎？凸多面體是簡(jiǎn)單多面體嗎？問(wèn)題問(wèn)題2：五種正多面體是簡(jiǎn)單多面體嗎？：五種正多面體是簡(jiǎn)單多面體嗎？圖形圖形頂點(diǎn)數(shù)頂點(diǎn)數(shù)v v面數(shù)面數(shù)f f棱數(shù)棱數(shù)e e正十二面體正十二面體正二十面體正二十面體202012123030121220203030問(wèn)題問(wèn)題3

6、 3：五種正多面體都滿足：五種正多面體都滿足v+f-2=ev+f-2=e嗎？嗎？問(wèn)題問(wèn)題4 4：簡(jiǎn)單多面體都滿足：簡(jiǎn)單多面體都滿足v+v+f-2=ef-2=e嗎？嗎？猜想：簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)猜想：簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)v、面數(shù)、面數(shù)f、棱數(shù)、棱數(shù)e之間存在之間存在規(guī)律：規(guī)律：v+fe=2 。 歐拉歐拉（公元（公元1707-1783年）年） 出生在出生在瑞士的巴塞爾（瑞士的巴塞爾（basel）城，）城，13歲就進(jìn)歲就進(jìn)巴塞爾大學(xué)讀書，他從巴塞爾大學(xué)讀書，他從19歲開始發(fā)表歲開始發(fā)表論文，直到論文，直到76歲，共寫下了歲，共寫下了886本書本書籍和論文，彼得堡科學(xué)院為了整理他籍和論文，彼得堡科學(xué)院為了

7、整理他的著作，足足忙碌了四十七年他是的著作，足足忙碌了四十七年他是科學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家?？茖W(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家。這是由歐拉在1750年發(fā)現(xiàn)的，故稱為歐拉公式。歐拉公式的背后是一門新的幾何學(xué)，這種新的幾何學(xué)只研究圖形各部分位置的相對(duì)次序，而不考慮圖形尺寸大小，如今這門學(xué)科已經(jīng)發(fā)展成數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的分支拓樸學(xué)。 歐拉著作的驚人多產(chǎn)并不是偶然的，他可歐拉著作的驚人多產(chǎn)并不是偶然的，他可以在任何不良的環(huán)境中工作，他常常抱著孩子以在任何不良的環(huán)境中工作，他常常抱著孩子在膝上完成論文，也不顧孩子在旁邊喧嘩過(guò)在膝上完成論文，也不顧孩子在旁邊喧嘩過(guò)度的工作使他得了眼病，不幸右眼失明了，這度的工作使他得了眼病

8、，不幸右眼失明了，這時(shí)他才時(shí)他才28歲不料沒(méi)有多久，左眼視力衰退，歲不料沒(méi)有多久，左眼視力衰退，最后完全失明仍然以驚人的毅力與黑暗搏斗，最后完全失明仍然以驚人的毅力與黑暗搏斗，憑著記憶和心算進(jìn)行研究，直到逝世。憑著記憶和心算進(jìn)行研究，直到逝世。 歐拉的一生，是為數(shù)學(xué)發(fā)展而奮斗的一生，他那杰出歐拉的一生，是為數(shù)學(xué)發(fā)展而奮斗的一生，他那杰出的智慧，頑強(qiáng)的毅力，孜孜不倦的奮斗精神和高尚的科學(xué)的智慧，頑強(qiáng)的毅力，孜孜不倦的奮斗精神和高尚的科學(xué)道德，永遠(yuǎn)是值得我們學(xué)習(xí)的道德，永遠(yuǎn)是值得我們學(xué)習(xí)的 以歐拉名字命名的數(shù)學(xué)公式、定理等在數(shù)學(xué)書籍中隨處可見(jiàn)以歐拉名字命名的數(shù)學(xué)公式、定理等在數(shù)學(xué)書籍中隨處可見(jiàn),

9、, 歐拉還創(chuàng)設(shè)了許多數(shù)學(xué)符號(hào)，例如歐拉還創(chuàng)設(shè)了許多數(shù)學(xué)符號(hào)，例如，i i，e e，sinsin和和coscos，tantan，x x，f(x) f(x) 等他還在物理、天文、建筑以至音樂(lè)、哲學(xué)等他還在物理、天文、建筑以至音樂(lè)、哲學(xué)方面取得了輝煌的成就。方面取得了輝煌的成就。17351735年，歐拉解決了天文學(xué)中計(jì)算慧年，歐拉解決了天文學(xué)中計(jì)算慧星軌道的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題經(jīng)幾個(gè)著名數(shù)學(xué)家?guī)讉€(gè)月的努力才得星軌道的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題經(jīng)幾個(gè)著名數(shù)學(xué)家?guī)讉€(gè)月的努力才得到解決，而歐拉卻用自己發(fā)明的方法，三天便完成了到解決，而歐拉卻用自己發(fā)明的方法，三天便完成了基礎(chǔ)知識(shí)形成性練習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)形成性練習(xí)下列說(shuō)法中正確的是

10、下列說(shuō)法中正確的是（1）只有正多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足歐拉定理；（2）所有凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足歐拉定理；（3）所有簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足歐拉定理；（4）所有多面體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)滿足歐拉定理。a （1）（）（2） b（1）（）（4） c（2）（）（3） d（3）（）（4）小明想用小明想用90根相同火柴棒拼出一個(gè)形如足球的多面根相同火柴棒拼出一個(gè)形如足球的多面體，他連續(xù)拼了體，他連續(xù)拼了n次次,仍然沒(méi)有合理地拼出此多面體仍然沒(méi)有合理地拼出此多面體.現(xiàn)在你能幫助他設(shè)計(jì)出來(lái)嗎？現(xiàn)在你能幫助他設(shè)計(jì)出來(lái)嗎？解：解：設(shè)足球中形狀為五邊形和六邊形的面各設(shè)足球中形狀為五邊形和六邊形的面各有有x個(gè)和個(gè)和y個(gè)，個(gè)，棱數(shù)棱數(shù)e=90，面數(shù)面數(shù)f=x+y,根據(jù)歐拉公式，得：根據(jù)歐拉公式，得： 29060 yx另一方面，棱數(shù)也可由多邊形的邊數(shù)來(lái)表示另一方面，棱數(shù)也可由多邊形的邊數(shù)來(lái)表示 yx6521 由以上兩方程可解出由以上兩方程可解出20,12 yx答：這個(gè)形如足球的多面體中五邊形和六邊形的答：這個(gè)形如足球的多面體中五邊形和六邊形的 面分別有面分別有12個(gè)和個(gè)和20個(gè)。個(gè)。一個(gè)頂點(diǎn)有三條棱，一個(gè)頂點(diǎn)有三條棱