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文檔簡介
1、三角形全等之截長補短(講義)一、知識點睛截長補短:題目中出現(xiàn)_時,考慮截長補短;截長補短的作用是_二、精講精練1. 已知:如圖,在ABC中,1=2,B=2C求證:AC=AB+BD2. 如圖,在四邊形ABCD中,A=B=90°,點E為AB邊上一點,且DE平分ADC,CE平分BCD求證:CD=AD+BC3. 已知:如圖,在正方形ABCD中,AD=AB,B=D=BAD=90°,E,F(xiàn)分別為CD,BC邊上的點,且EAF=45°,連接EF求證:EF=BF+DE4. 已知:如圖,在ABC中,ABC=60°,ABC的角平分線AD,CE交于點O求證:AC=AE+CD5.
2、 已知:如圖,在ABC中,A=90°,AB=AC,BD平分ABC,CEBD交BD的延長線于點E求證:CE=BD【參考答案】【知識點睛】線段間的和差倍分;把幾條線段間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)為兩條線段的等量關(guān)系【精講精練】1. 補短法:證明:如圖,延長AB到E,使BE=BD,連接DEABD是BDE的一個外角ABD=EBDEBE=BDE=BDEABD=2EABD=2CE=C在ADE和ADC中ADEADC(AAS)AE=ACAC=ABBE=ABBD截長法:證明:如圖,在AC上截取AF=AB,連接DF在ABD和AFD中ABDAFD(SAS)B=AFD,BD=FDB=2CAFD=2CAFD是DFC的一個外
3、角AFD=C +FDCFDC=CDF=FCBD=FCAC=AF+FC=AB+BD2. 證明:如圖,在CD上截取CF=CBCE平分CBD1=2在CFE和CBE中CFECBE(SAS)CFE=BB=90°CFE=DFE =90°A=90°DFE=ADE平分ADC3=4在DEF和DEA中DEFDEA(AAS)DF=ADCD=DF+CF =AD+BC3. 證明:如圖,延長FB到G,使BG=DE,連接AGD=ABC=90°ABG=D=90°在ABG和ADE中ABGADE(SAS)AG=AE,1=2BAD=90°,EAF=45°2+3=
4、45°1+3=45°即GAF=45°GAF=EAF在AGF和AEF中AGFAEF(SAS)GF=EFGF=BF+BGEF=BF+DE4. 證明:如圖,在AC上截取AF=AE,連接OFAD,CE為ABC的角平分線1=2,3=4在AEO和AFO中AEOAFO(SAS)5=6ABC=60°1+2+3+4=180°-B =180°-60° =120°2+3=60°AOC=180°-60° =120°5=6=7=8=60°在OFC和ODC中OFCODC(ASA)CF=CDAC
5、=AF+FC =AE+CD5. 證明:如圖,延長CE,交BA的延長線于點FCEBDBEF=BEC=90°BAC=90°CAF=BAD=90°3=41=5在BAD和CAF中BADCAF(ASA)BD=CFBE平分ABC1=2在BEF和BEC中BEFBEC(ASA)EF=ECCE=CFCE=BD三角形全等之截長補短每日一題1. (4月28日)在ABC中,ADBC于D,B=2C求證:CD=AB+BD2. (4月29日)如圖,在ABC中,AB>AC,1=2,P為AD上任意一點,連接BP,CP求證:AB-AC>PB-PC3. (4月30日)已知:如圖,1=2,P
6、為BN上一點,且PDBC于點D,A+C=180°求證:BD=AB+CD4. (5月2日)如圖,在正方形ABCD中,E為BC邊上任意一點,AF平分DAE,連接EF求證:AE=BE+DF【參考答案】1. 證明:如圖,在線段DC上截取DE=BD,連接AEADBCADB=ADE=90°在ABD和AED中ABDAED(SAS)B=1,AB=AEB=2C1=2C1是AEC的一個外角1=C+2C=2AE=CECD=CE+ED=AE+BD=AB+BD(如果延長DB到點F,使BF=AB,連接AF也可進行證明)2. 證明:如圖,在線段AB上截取AE=AC,連接PE則AB-AC=AB-AE=EB
7、在AEP和ACP中AEPACP(SAS)PE=PC在PEB中,PB-PE<EBPB-PC<EBAB-AC>PB-PC(延長AC到點F,使AF=AB,連接PF,也可證明結(jié)論)3. 證明:如圖,在BC上截取BE=BA,連接PE在ABP和EBP中ABPEBP(SAS)A=3A+C=180°,3+4=180°4=CPDBCPDE=PDC=90°在PDE和PDC中PDEPDC(AAS)DE=DCBD=BE+ED=AB+CD(過點P作PFBA于F,也可進行證明)4. 證明:如圖,延長EB到點G,使BG=DF,連接AG四邊形ABCD為正方形AB=AD,D=AB
8、C=BAD=90°ABG=D=90°在ABG和ADF中ABGADF(SAS)1=2,5=GAF平分DAE1=31+5=90°3+G=90°1+3+4=90°2+3+4=90°2+4=GAE=EGEG=BE+BGAE=BE+DF三角形全等之截長補短(隨堂測試)6. 已知:如圖,在四邊形ABCD中,BC>AB,AD=DC,C=60°,BD平分ABC求證:BC=AB+AD【參考答案】1. 證明略提示:在BC上截取BE=AB,證明ABDEBD,再證明CE=AD三角形全等之截長補短(作業(yè))1. 如圖,在ABC中,BAC=60
9、176;,ABC=80°,AD是BAC的平分線求證:AC=AB+BD2. 如圖,AC平分BAD,CEAB于E,B+D=180°求證:AE=AD+BE3. 如圖,在ABC中,A=100°,ABC=40°,BD是ABC的平分線,延長BD至E,使DE=AD,連接EC求證:BC=AB+CE4. 如圖,在梯形ABCD中,ADBC,CEAB于E,BDC為等腰直角三角形,BDC=90°,BD=CD,CE與BD交于F,連接AF求證:CF=AB+AF【參考答案】1. 證明略提示:方法一:在AC上截取AE=AB,連接DE,證明ABDAED,再證明CE=DE;方法二
10、:延長AB到E,使BE=BD,證明ADEADC2. 證明略提示:在AE上截取AF=AD,證明CDACFA,再證明BE=FE3. 證明略提示:在BC上截取BF=BA,連接DF,證明ABDFBD,再證明DFCDEC4. 截長法:證明:如圖,在CF上截取CM=BA,連接DMBDC為等腰直角三角形,BD=CD1=DCB=45°CEAB,BDC=90°CEB=BDC=90°2=34=5在ABD和MCD中ABDMCD(SAS)DA=DM,6=7ADBC7=1=45°6=45°8=45°7=8在ADF和MDF中ADFMDF(SAS)AF=MFCF=CM+MF=AB+AF補短法:證明:如圖,延長BA交CD的延長線于點GBDC為等腰直
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