三角形全等之截長補短 (整理)

1、三角形全等之截長補短（講義）一、知識點睛截長補短：題目中出現(xiàn)_時，考慮截長補短；截長補短的作用是_二、精講精練1. 已知：如圖，在ABC中，1=2，B=2C求證：AC=AB+BD2. 如圖，在四邊形ABCD中，A=B=90°，點E為AB邊上一點，且DE平分ADC，CE平分BCD求證：CD=AD+BC3. 已知：如圖，在正方形ABCD中，AD=AB，B=D=BAD=90°，E，F(xiàn)分別為CD，BC邊上的點，且EAF=45°，連接EF求證：EF=BF+DE4. 已知：如圖，在ABC中，ABC=60°，ABC的角平分線AD，CE交于點O求證：AC=AE+CD5.

2、 已知：如圖，在ABC中，A=90°，AB=AC，BD平分ABC，CEBD交BD的延長線于點E求證：CE=BD【參考答案】【知識點睛】線段間的和差倍分；把幾條線段間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)為兩條線段的等量關(guān)系【精講精練】1. 補短法：證明：如圖，延長AB到E，使BE=BD，連接DEABD是BDE的一個外角ABD=EBDEBE=BDE=BDEABD=2EABD=2CE=C在ADE和ADC中ADEADC（AAS）AE=ACAC=ABBE=ABBD截長法：證明：如圖，在AC上截取AF=AB，連接DF在ABD和AFD中ABDAFD（SAS）B=AFD，BD=FDB=2CAFD=2CAFD是DFC的一個外

3、角AFD=C +FDCFDC=CDF=FCBD=FCAC=AF+FC=AB+BD2. 證明：如圖，在CD上截取CF=CBCE平分CBD1=2在CFE和CBE中CFECBE（SAS）CFE=BB=90°CFE=DFE =90°A=90°DFE=ADE平分ADC3=4在DEF和DEA中DEFDEA（AAS）DF=ADCD=DF+CF =AD+BC3. 證明：如圖，延長FB到G，使BG=DE，連接AGD=ABC=90°ABG=D=90°在ABG和ADE中ABGADE（SAS）AG=AE，1=2BAD=90°，EAF=45°2+3=

4、45°1+3=45°即GAF=45°GAF=EAF在AGF和AEF中AGFAEF（SAS）GF=EFGF=BF+BGEF=BF+DE4. 證明：如圖，在AC上截取AF=AE，連接OFAD，CE為ABC的角平分線1=2，3=4在AEO和AFO中AEOAFO（SAS）5=6ABC=60°1+2+3+4=180°-B =180°-60° =120°2+3=60°AOC=180°-60° =120°5=6=7=8=60°在OFC和ODC中OFCODC（ASA）CF=CDAC

5、=AF+FC =AE+CD5. 證明：如圖，延長CE，交BA的延長線于點FCEBDBEF=BEC=90°BAC=90°CAF=BAD=90°3=41=5在BAD和CAF中BADCAF（ASA）BD=CFBE平分ABC1=2在BEF和BEC中BEFBEC（ASA）EF=ECCE=CFCE=BD三角形全等之截長補短每日一題1. （4月28日）在ABC中，ADBC于D，B=2C求證：CD=AB+BD2. （4月29日）如圖，在ABC中，AB>AC，1=2，P為AD上任意一點，連接BP，CP求證：AB-AC>PB-PC3. （4月30日）已知：如圖，1=2，P

6、為BN上一點，且PDBC于點D，A+C=180°求證：BD=AB+CD4. （5月2日）如圖，在正方形ABCD中，E為BC邊上任意一點，AF平分DAE，連接EF求證：AE=BE+DF【參考答案】1. 證明：如圖，在線段DC上截取DE=BD，連接AEADBCADB=ADE=90°在ABD和AED中ABDAED（SAS）B=1，AB=AEB=2C1=2C1是AEC的一個外角1=C+2C=2AE=CECD=CE+ED=AE+BD=AB+BD（如果延長DB到點F，使BF=AB，連接AF也可進行證明）2. 證明：如圖，在線段AB上截取AE=AC，連接PE則AB-AC=AB-AE=EB

7、在AEP和ACP中AEPACP（SAS）PE=PC在PEB中，PB-PE<EBPB-PC<EBAB-AC>PB-PC（延長AC到點F，使AF=AB，連接PF，也可證明結(jié)論）3. 證明：如圖，在BC上截取BE=BA，連接PE在ABP和EBP中ABPEBP（SAS）A=3A+C=180°，3+4=180°4=CPDBCPDE=PDC=90°在PDE和PDC中PDEPDC（AAS）DE=DCBD=BE+ED=AB+CD（過點P作PFBA于F，也可進行證明）4. 證明：如圖，延長EB到點G，使BG=DF，連接AG四邊形ABCD為正方形AB=AD，D=AB

8、C=BAD=90°ABG=D=90°在ABG和ADF中ABGADF（SAS）1=2，5=GAF平分DAE1=31+5=90°3+G=90°1+3+4=90°2+3+4=90°2+4=GAE=EGEG=BE+BGAE=BE+DF三角形全等之截長補短（隨堂測試）6. 已知：如圖，在四邊形ABCD中，BC>AB，AD=DC，C=60°，BD平分ABC求證：BC=AB+AD【參考答案】1. 證明略提示：在BC上截取BE=AB，證明ABDEBD，再證明CE=AD三角形全等之截長補短（作業(yè)）1. 如圖，在ABC中，BAC=60&#

9、176;，ABC=80°，AD是BAC的平分線求證：AC=AB+BD2. 如圖，AC平分BAD，CEAB于E，B+D=180°求證：AE=AD+BE3. 如圖，在ABC中，A=100°，ABC=40°，BD是ABC的平分線，延長BD至E，使DE=AD，連接EC求證：BC=AB+CE4. 如圖，在梯形ABCD中，ADBC，CEAB于E，BDC為等腰直角三角形，BDC=90°，BD=CD，CE與BD交于F，連接AF求證：CF=AB+AF【參考答案】1. 證明略提示：方法一：在AC上截取AE=AB，連接DE，證明ABDAED，再證明CE=DE；方法二

10、：延長AB到E，使BE=BD，證明ADEADC2. 證明略提示：在AE上截取AF=AD，證明CDACFA，再證明BE=FE3. 證明略提示：在BC上截取BF=BA，連接DF，證明ABDFBD，再證明DFCDEC4. 截長法：證明：如圖，在CF上截取CM=BA，連接DMBDC為等腰直角三角形，BD=CD1=DCB=45°CEAB，BDC=90°CEB=BDC=90°2=34=5在ABD和MCD中ABDMCD（SAS）DA=DM，6=7ADBC7=1=45°6=45°8=45°7=8在ADF和MDF中ADFMDF（SAS）AF=MFCF=CM+MF=AB+AF補短法：證明：如圖，延長BA交CD的延長線于點GBDC為等腰直