43泰勒公式97857

1、上頁下頁鈴結束返回首頁)(xf)()(000 xxxfxf)(1xtx 的一次多項式需要解決的問題如何提高精度 ?如何估計誤差 ?點可導時，則有在當函數(shù)0)(xxfy )(xf).(*)()()()(00000 xxxxoxxxfxf近似公式:所產生的誤差)(0 xxo)()()()(000 xxxfxfxfxr.)(0的高階的無窮小量僅是比xx4-3 泰勒公式泰勒公式上頁下頁鈴結束返回首頁點有二階導數(shù)，在假定0)(xxf得）式應用于將（),(*xf )(xf ).()()()(00000 xxxxoxxxfxf )(tf )()()(0000 xtoxtxfxf xxdttf0)(dtxto

2、dtxtxfdtxfxxxxxx)()()(0000000 )(xf)()(000 xxxfxf.)(00dtxtoxx得換成將上式, tx)()(2000 xxodtxtoxx希望200)(21xxxf )(2xt若上式成立，則有),()(2xtxf其誤差：)(20 xxo200)(21xxxf )(xf)()(000 xxxfxf)(20 xxo(*)上頁下頁鈴結束返回首頁 要證明上述公式成立，實際上就是要證明. 0)()()(lim2020 xxxtxfxx證證202)()()(lim0 xxxtxfxx20200000)()(21)()()(lim0 xxxxxfxxxfxfxfxx

3、)(2)()()(lim00000 xxxxxfxfxfxx )00()(2)()(lim000 xxxfxfxx2)(0 xf 2)(0 xf 2)(0 xf . 0上頁下頁鈴結束返回首頁即證明了：).()()()(0202xxxxoxtxf點有三階導數(shù)，在假定0)(xxf得）式應用于將（),(*xf )(xf ).()()(21)()(020200000 xxxxo xxxfxxxfxf 的積分，不難發(fā)現(xiàn)到式作一次自跟前面一樣，我們對此xx0的三次多項式應當是逼近)(0 xx)()(000 xxxfxf200)(21xxxf .)(! 31300 xxxf )(3xt可得到點三階導數(shù)的存在

4、性在注意到兩次使用洛必達法則并0)(xxf上頁下頁鈴結束返回首頁303)()()(lim0 xxxtxfxx203)(3)()(lim0 xxxtxfxx)00()00()(6)()(lim030 xxxtxfxx )(61)(6)()(lim0000 xfxxxfxfxx )(61)(61lim000 xfxfxx . 0即證明了：).()()()(0303xxxxoxtxf應當成立：階導數(shù)時，下面的結果點有在當nxf0).()()()(00nxxxxoxtxfn其中)(xtn)(! 1)()(000 xxxfxf200)(! 21xxxf .)(!100)(nnxxxfn (n階泰勒多項式

5、) 展開式稱為f(x)按(xx0)的冪展開的n階泰勒公式泰勒公式 定理 1 (泰勒公式) 設 y = f(x) 在 點的某個鄰域內有定義，并在 點具有 n 階導數(shù) 則在 點附近有下列展開式：0 x0 x1n 0 x 000001!nnfxfxf xf xxxxxn00.noxxxx 證證連續(xù)地使用(n-1)次洛必達法則,則有nnxxxxxtxf)()()(lim00)00(10)()()(lim0nnxxxxnxtxf)00( (*)上頁下頁鈴結束返回首頁)( !)()(lim0)1()1(0 xxnxtxfnnnxx)( !)()(lim00)1()1(0 xxnxfxfnnxx)(!10)

6、(xfnn)(!1lim0)(0 xfnnxx)(!10)(xfnn. 0證畢.(*)稱為n階泰勒公式泰勒公式 )(0nxxo稱為皮亞諾型余項.在泰勒公式中若取,00 x則有)(xf)0(fxf)0( ).0()(xxon2!2)0(xf nnxnf!)0()(稱為馬克勞林（馬克勞林（ maclaurin ）公式）公式 .上頁下頁鈴結束返回首頁 幾個初等函數(shù)的馬克勞林公式幾個初等函數(shù)的馬克勞林公式,)()(xkexf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn!22x)(nxo).0( x例例1解解xxfsin)(2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2,

7、1(m例例2解解.)(xexf)sin( x)()(xfk2k)(xf) 0( fxf) 0( ).0()(xxon2!2) 0(xf nnxnf!) 0()(上頁下頁鈴結束返回首頁xsinx!33x!55x! ) 12(12kxk).0()(12xxokk) 1(類似可得xxfcos)(例例3解解!)2(2kxkxcos1!22x!44x)(12 kxok) 1().0( x或者認為展開式結束于偶數(shù)項：xsinx!33x!55x! ) 12(12kxkk) 1().0()(22xxok上頁下頁鈴結束返回首頁例例4) 1()1 ()(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx).0()(xx

8、onkxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n)(xf) 0( fxf) 0( ).0()(xxon2!2) 0(xf nnxnf!) 0()(上頁下頁鈴結束返回首頁已知)1ln(xx22x33xnxn).0()(xxon1) 1(n類似可得)()(xfnnnxn)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(n) 1()1ln()(xxxf例例5)(xf) 0( fxf) 0( ).0()(xxon2!2) 0(xf nnxnf!) 0()(定理定理設在設在 點附近有定義點附近有定義,且在且在 點點階導數(shù)存在，假如有個常數(shù)階導

9、數(shù)存在，假如有個常數(shù)使得下式成立：使得下式成立： yf x0 xn1n01,na aa0 x 0100nnf xaa xxaxx00.noxxxx 則有則有 0,0,1, .!kkfxaknk 其中其中 000.fxf x泰勒公式的唯一性.上頁下頁鈴結束返回首頁證證對上式去極限得令,0 xx ).()(lim000 xfxfaxx時，當0 xx 1002100)()()()( nnxxaxxaaxxxfxf. )(nnxxo對上式去極限得令再,0 xx .)(10axf200002)()()()(lim0 xxxxxfxfxfaxx)(2)()(lim000 xxxfxfxx)00()00(2

10、)(lim0 xfxx ).(210 xf 由連續(xù)性上頁下頁鈴結束返回首頁例例 6 求求.2的馬克勞林公式xeyxe已知1x!33x!nxn!22x)(nxo).0( x解解則2xe1)(2x22)(!21xnxn)(!12)(2nxo12x4!21xnnxn2!) 1()(2nxo).0( x依次類推，最后可以通過(n-1)次洛必達法則證明.!)(0)(nxfann定理得證.上頁下頁鈴結束返回首頁例例 7 求求.cossinsin21lim0 xxxxxxexx解解xxxexsin21)(621332xoxxxx1)(61(233xoxxxxxxcossin)(6133xoxx)(21 (3

11、2xoxx).(3133xox )()(1263443xoxoxx),(633xox)00(上頁下頁鈴結束返回首頁xxxxxxexxcossinsin21lim0)(31)(61lim33330 xoxxoxx.21例例 8 設m1,求極限.)()(lim1111mmmmmmxxxxx解解,)11 ()(111mmmmxxxx. 01xx，注意到的泰勒公式有由)1 (x).()1(111)11 (1xxoxmxm),() 1 (1x)11 (1xomxxm.) 1 ( 代表一個無窮小量其中o上頁下頁鈴結束返回首頁),() 1 (1x)11 (1xomxxmmxx1)11 ( 類似地，有mmmx

12、x11)(),() 1 (1xxom)()(lim1111mmmmmmxxxxxmmmxx11)()1 (2limomx.2m)1 (x1x2xnx).0()(xxon!2 ) 1(! n) 1() 1(n上頁下頁鈴結束返回首頁思考與練習思考與練習 例3計算.3cos2lim402xxexx)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(lim4441270 xxoxx解解:原式上頁下頁鈴結束返回首頁例例4 求.43443lim20 xxxx解解:由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21

13、) 1(2121243)( x)(2xo用洛必塔法則不方便 !2x用泰勒公式將分子展到項,11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(x3421)1 (243x220 limxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 上頁下頁鈴結束返回首頁泰勒公式的應用（1）利用泰勒公式確定無窮小的階及求未定式的極限.有泰勒公式，若)(0)(limxfxfax)()()(!1)()(axaxoaxafkxfkkk)(0)()()(等于零的系數(shù)是泰展開式中第一個不即其中afafkk.)(階無窮小的是則kaxxf有泰勒公式和，若)()(0g(x)lim)(limxgxfxfaxax)()(!1)()(nnnaxoaxafnxf)()(!1)()(mmmaxoaxafmxg則，其中, 0)(0)()()(agafmn上頁下頁鈴結束返回首頁., 0,)()()()(lim)()(mnmnmnagafxgxfnnax(2)利用泰勒公式