全等三角形的經(jīng)典模型(一)

1、全等三角形的經(jīng)典模型（一）3滿分晉級(jí)三角形9級(jí)全等三角形的經(jīng)典模型（二）三角形8級(jí)全等三角形的經(jīng)典模型（一）三角形7級(jí)倍長中線與截長補(bǔ)短秋季班第四講秋季班第三講秋季班第二講漫畫釋義 作弊？知識(shí)互聯(lián)網(wǎng) 題型一：等腰直角三角形模型思路導(dǎo)航等腰直角三角形數(shù)學(xué)模型思路：利用特殊邊特殊角證題（AC=BC或）.如圖1；常見輔助線為作高，利用三線合一的性質(zhì)解決問題.如圖2；補(bǔ)全為正方形.如圖3，4. 圖1 圖2 圖3 圖4 典題精練【例1】 已知：如圖所示，RtABC中，AB=AC，O為BC的中點(diǎn)，寫出點(diǎn)O到ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C 的距離的關(guān)系（不要求證明）如果點(diǎn)M、N分別在線段AC、AB上移動(dòng)，且在移

2、動(dòng)中保持AN=CM.試判斷OMN的形狀，并證明你的結(jié)論.如果點(diǎn)M、N分別在線段CA、AB的延長線上移動(dòng)，且在移動(dòng)中保持AN=CM，試判斷中結(jié)論是否依然成立，如果是請(qǐng)給出證明【解析】 OA=OB=OC連接OA,OA=OC AN=CMANOCMO ON=OM OMN是等腰直角三角形ONM依然為等腰直角三角形，證明：BAC=90°，AB=AC，O為BC中點(diǎn)BAO=OAC=ABC=ACB=45°，AO=BO=OC，在ANO和CMO中，ANOCMO（SAS）ON=OM，AON=COM，又COMAOM=90°，OMN為等腰直角三角形【例2】 兩個(gè)全等的含，角的三角板和三角板，

3、如圖所示放置，三點(diǎn)在一條直線上，連接，取的中點(diǎn)，連接，試判斷的形狀，并說明理由【解析】是等腰直角三角形證明：連接由題意，得 為等腰直角三角形.，又，是等腰直角三角形【例3】 已知：如圖，中，是的中點(diǎn)，于，交于，連接求證：【解析】 證法一：如圖，過點(diǎn)作于，交于，在和中，在和中，證法二：如圖，作交的延長線于，在和中，在和中，【例4】 如圖，等腰直角中，為內(nèi)部一點(diǎn)，滿足，求證：【解析】 補(bǔ)全正方形，連接DP，易證是等邊三角形，【探究對(duì)象】等腰直角三角形添補(bǔ)成正方形的幾種常見題型 在解有關(guān)等腰直角三角形中的一些問題，若遇到不易解決或解法比較復(fù)雜時(shí)，可將等腰直角三角形引輔助線轉(zhuǎn)化成正方形，再利用正方形的

4、一些性質(zhì)來解，常?？梢云鸬交y為易的效果，從而順利地求解。例4為求角度的應(yīng)用，其他應(yīng)用探究如下：【探究一】證角等【備選1】如圖，RtABC中，BAC=90°，AB=AC，M為AC中點(diǎn)，連結(jié)BM，作ADBM交BC于點(diǎn)D，連結(jié)DM，求證:AMB=CMD【解析】 作等腰RtABC關(guān)于BC對(duì)稱的等腰RtBFC，延長AD交CF于點(diǎn)N，ANBM，由正方形的性質(zhì)，可得AN=BM，易證RtABM RtCAN，AMB=CND，CN=AM，M為AC中點(diǎn)，CM=CN，1=2，可證得CMDCND，CND=CMD，AMB=CMD【探究二】判定三角形形狀【備選2】如圖，RtABC中，BAC= 90°，

5、AB=AC，AD=CE，ANBD于點(diǎn)M，延長BD交NE的延長線于點(diǎn)F，試判定DEF的形狀【解析】 作等腰RtABC關(guān)于BC對(duì)稱的等腰RtBHC，可知四邊形ABHC為正方形，延長AN交HC于點(diǎn)K，AKBD，可知AK=BD，易證:RtABDRtCAK，ADB=CKN，CK=AD，AD=EC，CK=CE，易證CKNCEN，CKN=CEN，易證EDF=DEF，DEF為等腰三角形【探究三】利用等積變形求面積【備選3】如圖，RtABC中，A=90°，AB=AC，D為BC上一點(diǎn)，DEAC，DFAB，且BE=4，CF=3，求S矩形DFAE【解析】 作等腰RtABC關(guān)于BC的對(duì)稱的等腰RtGCB，可知

6、四邊形ABGC為正方形，分別延長FD、ED交BG、CG于點(diǎn)N、M，可知DN=EB=4，DM=FC=3，由正方形對(duì)稱性質(zhì)，可知S矩形DFAE=S矩形DMGN=DM·DN=34=12【探究四】求線段長【備選4】如圖，ABC中，ADBC于點(diǎn)D，BAC=45°，BD=3，CD=2，求AD的長【分析】此題若用面積公式結(jié)合勾股定理再列方程組求解是可以的，但解法太繁瑣，本題盡管已知條件不是等腰直角三角形，但BAC=45°，若分別以AB、AC為對(duì)稱軸作RtADB的對(duì)稱直角三角形和RtADC的對(duì)稱直角三角形，這樣就出現(xiàn)兩邊相等且夾角為90°的圖形，滿足等腰直角三角形的條件

7、，然后再引輔助線使之轉(zhuǎn)化為正方形【解析】 以AB為軸作RtADB的對(duì)稱的RtAEB，再以AC為軸作RtADC的對(duì)稱的RtAFC可知BE=BD=3，F(xiàn)C=CD=2，延長EB、FC交點(diǎn)G，BAC=45°，由對(duì)稱性，可得EAF=90°，且AE=AD=AF，易證四邊形AFGE為正方形，且邊長等于AD，設(shè)AD=x，則BG=x3，CG=x2，在RtBCG中，由勾股定理，得，解得x=6，即AD=6【探究五】求最小值【備選5】如圖，RtABC中，ACB=90°，AC=BC=4，M為AC的中點(diǎn)，P為斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，求PM+PC的最小值【解析】 將原圖形通過引輔助線化歸為正方形，即

8、作RtACB關(guān)于AB對(duì)稱的RtADB，可知四邊形ACBD為正方形，連接CD，可知點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接MD交AB于點(diǎn)P，連接CP，則PM+PC的值為最小，最小值為:PM+PC=DM=題型二：三垂直模型思路導(dǎo)航常見三垂直模型例題精講【引例】 已知ABBD，EDBD，AB=CD，BC=DE，求證：ACCE；若將CDE沿CB方向平移得到等不同情形， 其余條件不變，試判斷ACC1E這一結(jié)論是否成立？若成立，給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由. 【解析】 ABBD，EDBD 在與中（SAS）,即ACCE 圖四種情形中，結(jié)論永遠(yuǎn)成立，證明方法與完全類似，只要證明 ACC1E典題精練【例5】 正方形中，點(diǎn)

9、、的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)在第一象限求正方形邊長及頂點(diǎn)的坐標(biāo)（計(jì)算應(yīng)用：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.）【解析】 過點(diǎn)C作CGx軸于G，過B作BEy軸于E，并反向延長交CG于F點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，BE=8， AE=6，AB=10四邊形ABCD是正方形，AB=BC AEBBFCCF=BE=8，BF=AE=6 CG=12 EF=14C(14，12)，正方形的邊長為10【點(diǎn)評(píng)】 此題中三垂直模型：【例6】 如圖所示，在直角梯形中，是的中點(diǎn)， 求證：； 求證：是線段的垂直平分線； 是等腰三角形嗎？請(qǐng)說明理由 【解析】，是中點(diǎn)，由得：，由等腰三角形的性質(zhì)，得：即是線段的垂直平分線是等腰三角形，

10、由得：，由得：，是等腰三角形【例7】 如圖1，ABC是等邊三角形，D、E分別是AB、BC上的點(diǎn)，且BD=CE，連接AE、CD相交于點(diǎn)P請(qǐng)你補(bǔ)全圖形，并直接寫出APD的度數(shù)= ；如圖2，RtABC中，B=90°，M、N分別是AB、BC上的點(diǎn)，且AM=BC、BM=CN，連接AN、CM相交于點(diǎn)P請(qǐng)你猜想APM= °，并寫出你的推理過程（2013平谷一模）【解析】 圖略，60°45°證明：作AEAB且.可證， 是等腰直角三角形, 又AEC CAN（SAS） ECAN. 思維拓展訓(xùn)練(選講)訓(xùn)練1. 已知：如圖，中，AC=BC，是上一點(diǎn)，AEBD的延長線于E，并且

11、，求證：BD平分.【解析】 延長AE交BC的延長線于FBEAF ， 在AFC和BDC中，AFCBDC（ASA）AF=BD又 BE是AF的中垂線BA=BF BD平分訓(xùn)練2. 已知，在正方形ABCD中，E在BD上，DGCE于G，DG交AC于F.求證：OE=OF【解析】 ABCD是正方形OD=OC DGCE 在DOF和COE中，DOFCOE（ASA） OE=OF訓(xùn)練3. 已知：如圖，中，是的中點(diǎn)，于求證：【解析】 ，是的中點(diǎn)AD=BD=CD， ADBC在BDH和ADF中，BDHADF（ASA）DH=DF訓(xùn)練4. 如圖，已知矩形ABCD中，E是AD上的一點(diǎn)，F(xiàn)是AB上的一點(diǎn)，EFEC，且EF=EC，D

12、E=4cm，矩形ABCD的周長為32cm，求AE的長【解析】 在RtAEF和RtDEC中， EFCE， FEC=90°， AEF+DEC=90°，而ECD+DEC=90°，AEF=ECD 又FAE=EDC=90°EF=ECRtAEFRtDCE AE=CD AD=AE+4矩形ABCD的周長為32 cm， 2（AE+AE+4）=32 解得AE=6 cm 復(fù)習(xí)鞏固題型一 等腰直角三角形模型 鞏固練習(xí)【練習(xí)1】 如圖，ACB、ECD均為等腰直角三角形，則圖中與BDC全等的三角形為_.【解析】 AEC【練習(xí)2】 如圖，已知中，是的中點(diǎn)，垂足為，交的延長線于點(diǎn)求證：

13、【解析】 ，又，是的中點(diǎn)，即題型二 三垂直模型 鞏固練習(xí)【練習(xí)3】 已知：如圖，四邊形ABCD是矩形（ADAB），點(diǎn)E在BC上，且AE =AD，DFAE，垂足為F請(qǐng)?zhí)角驞F與AB有何數(shù)量關(guān)系？寫出你所得到的結(jié)論并給予證明FADCEB【解析】 經(jīng)探求，結(jié)論是：DF = AB 證明如下：四邊形ABCD是矩形， B = ， ADBC， DAF = AEB DFAE， AFD = ， AE = AD ， AB = DF【練習(xí)4】 如圖，中，是上任意一點(diǎn)，交延長線于，于求證：【解析】 根據(jù)條件，、都與互余，在和中，則，【練習(xí)5】 四邊形ABCD是正方形如圖1，點(diǎn)G是BC邊上任意一點(diǎn)(不與B、C兩點(diǎn)重合)

14、，連接AG，作BFAG于點(diǎn)F，DEAG于點(diǎn)E求證：ABF DAE；在中，線段EF與AF、BF的等量關(guān)系是 (直接寫出結(jié)論即可，不需要證明)；如圖2，點(diǎn)G是CD邊上任意一點(diǎn)(不與C、D兩點(diǎn)重合)，連接AG，作BFAG于點(diǎn)F，DEAG于點(diǎn)E那么圖中全等三角形是 ，線段EF與AF、BF的等量關(guān)系是 (直接寫出結(jié)論即可，不需要證明)【解析】 在正方形ABCD中，AB=AD，在ABF和DAE中（AAS）ABFDAE課后測(cè)測(cè)試1. 問題：已知中，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，且，探究與度數(shù)的比值請(qǐng)你完成下列探究過程：先將圖形特殊化，得出猜想，再對(duì)一般情況進(jìn)行分析并加以證明當(dāng)時(shí)，依問題中的條件補(bǔ)全右圖觀察圖形，與的數(shù)量關(guān)系為_；當(dāng)推出時(shí)，可進(jìn)一步推出的度數(shù)