不等式選講導(dǎo)學(xué)案

1、選修4-5 §1.1 不等式基本性質(zhì)【自主學(xué)習(xí)】一、 學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 理解并掌握不等式的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用實(shí)數(shù)的性質(zhì)2. 掌握比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的一般步驟二、 知識梳理1實(shí)數(shù)大小的比較 （1）數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng)，可以利用數(shù)軸上點(diǎn)的左右位置關(guān)系來規(guī)定實(shí)數(shù)的 在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù) （2）如果ab0，則 ；如果ab0，則 ；如果ab0，則 . （3）比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b的大小，歸結(jié)為判斷它們的 ；比較兩個(gè)代數(shù)式的大小，實(shí)際上是比較它們的值的大小，而這又歸結(jié)為判斷它們的 2不等式的基本性質(zhì) 由兩數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)，可以得到不等式的一些基本性質(zhì)：（1）如果ab，那么ba；如果ba，那

2、么ab.即 .（2）如果ab，bc，那么 .即ab，bc .（3）如果ab，那么ac> .（4）如果ab，c>0，那么ac bc；如果a>b，c<0，那么ac bc.（5）如果ab，那么（6）如果，那么（7）如果a>b>0，那么an bn(nN，n2)（8）如果a>b>0，那么 (nN，n2)3對上述不等式的理解 使用不等式的性質(zhì)時(shí)，一定要清楚它們成立的前提條件，不可強(qiáng)化或弱化它們成立的條件，盲目套用，例如：（1）等式兩邊同乘以一個(gè)數(shù)仍為等式，但不等式兩邊同乘以同一個(gè)數(shù)c(或代數(shù)式)結(jié)果有三種：c0時(shí)得 不等式；c0時(shí)得 ；c<0時(shí)得 不等

3、式（2）ab，cdac>bd，即兩個(gè)同向不等式可以相加，但不可以 ；而a>b>0，c>d>0ac>bd，即已知的兩個(gè)不等式同向且兩邊為 時(shí)，可以相乘，但不可以 （3）性質(zhì)(5)、(6)成立的條件是已知不等式兩邊均為 ，并且nN，n2，否則結(jié)論不成立而當(dāng)n取正奇數(shù)時(shí)可放寬條件，a>ban>bn(n2k1，kN)，a>b>(n2k1，kN)【課堂檢測】例1比較例2已知a>b>0，c>d>0，求證：.例3已知：1ab1,1a2b3，求a3b的范圍【拓展探究】1. 已知x，y均為正數(shù)，設(shè)m，n，試比較m和n的大小2判斷

4、下列命題的真假，并簡述理由（1）若a>b，c>d，則ac>bd；（2）若a>b，c<d，則ac>bd；3已知14，21，求2的取值范圍【當(dāng)堂訓(xùn)練】1設(shè)，且，則下列結(jié)論正確的是()A B C D2下列不等式成立的是()Alog32<log25<log23 Blog32<log23<log25 Clog23<log32<log25 Dlog23<log25<log323已知，則的取值范圍是.【學(xué)習(xí)小結(jié)】1. 比較兩個(gè)數(shù)(式子)的大不，一般用作差法，其步驟是：作差變形判斷差的符號結(jié)論2. 進(jìn)行簡單的不等式的證明，一定

5、要建立在記準(zhǔn)、記熟不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)之上，如果不能直接由不等式的性質(zhì)得到，可以先分析需要證明的不等式的結(jié)構(gòu)，利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行逆推，尋找使其成立的充分條件3. 求代數(shù)式的取值范圍要嚴(yán)格依據(jù)不等式的性質(zhì)和運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，在使用不等式的性質(zhì)中，如果是由兩個(gè)變量的范圍求其差的范圍，一定不能直接作差，而要轉(zhuǎn)化為同向不等式后作和【課外拓展】1設(shè),若，則下列不等式正確的是()A B C D2若，則下列各式中恒成立的是()A B C D3設(shè)，則下列不等式中恒成立的是()A B C D4已知且,比較與的大小.5已知且，求的取值范圍.選修4-5 §1.2 基本不等式【自主學(xué)習(xí)】二、 學(xué)習(xí)目標(biāo)3. 掌

6、握基本不等式并會用基本不等式求最值4. 掌握基本不等式的應(yīng)用條件，體會用基本不等式求最值的過程三、 知識梳理定理1 如果a、b都為實(shí)數(shù)，那么a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立定理2 （基本不等式）如果a、b都為正數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立1基本不等式的理解重要不等式a2b22ab和基本不等式，成立的條件是不同的前者成立的條件是 a與b都為實(shí)數(shù)，并且a與b都為實(shí)數(shù)是不等式成立的 ；而后者成立的條件是a與b都為正實(shí)數(shù)，并且a與b都為正實(shí)數(shù)是不等式成立的 ，如a0，b0仍然能使成立兩個(gè)不等式中等號成立的充要條件都是 2由基本不等式可推出以下幾種常見的變形形式（1）a2b2；（2）ab；

7、（3）ab()2；（4）()2；（5）(ab)24ab.【課堂檢測】例 1 已知a、bR，且ab3.求a b的最大值。例 2 求證：（1）在所有周長相同的矩形中，正方形的面積最大；（2）在所有面積相同的矩形中，正方形的周長最短。例3 圍建一個(gè)面積為360的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修)，其他三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個(gè)寬度為2 m的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m，新墻的造價(jià)為180元/m，設(shè)利用的舊墻的長度為x (單位：元) （1）將y表示為x的函數(shù)； （2）試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用【拓展探究】1若正

8、數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是 ()AB C5 D62已知x>0，y>0且x2y3，求xy的最大值3若正數(shù)a、b滿足abab3，（1）求ab的取值范圍；（2）求ab的取值范圍【當(dāng)堂訓(xùn)練】1設(shè)，且滿足，則的最大值為()A40B10C4D22設(shè)且，則的最小值為()A10 B6 C4 D183若正數(shù)滿足，則的取值范圍是.4已知都是正數(shù),且，求證:【學(xué)習(xí)小結(jié)】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)， 分以下三步進(jìn)行：1.首先看式子能否出現(xiàn)和(或積)的定值，若不具備，需對式子變形，湊出需要的定值；2.其次，看所用的兩項(xiàng)是否同正，若不滿足，通過分類解決，同負(fù)時(shí)，可提取(1)變?yōu)橥?.利用

9、已知條件對取等號的情況進(jìn)行驗(yàn)證若滿足，則可取最值，若不滿足，則可通過函數(shù)單調(diào)性或?qū)?shù)解決【課外拓展】1一商店經(jīng)銷某種貨物，根據(jù)銷售情況，年進(jìn)貨量為5萬件，分若干次等量進(jìn)貨(設(shè)每次進(jìn)貨x件)，每進(jìn)一次貨運(yùn)費(fèi)50元，且在銷售完該貨物時(shí)，立即進(jìn)貨，現(xiàn)以年平均件貨儲存在倉庫里，庫存費(fèi)以每件20元計(jì)算，要使一年的運(yùn)費(fèi)和庫存費(fèi)最省，每次進(jìn)貨量x應(yīng)是多少？選修4-5 §1.3 三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式【自主學(xué)習(xí)】四、 學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能利用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式證明一些簡單的不等式，解決最值問題2.了解基本不等式的推廣形式二、 知識梳理1定理3如果a，b，cR，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立

10、，用文字語言可敘述為：三個(gè)正數(shù)的 不小于它們的 （1）不等式成立的條件是： ，而等號成立的條件是：當(dāng)且僅當(dāng) .（2）定理3可變形為：abc()3；a3b3c33abc.（3）三個(gè)及三個(gè)以上正數(shù)的算術(shù)幾何平均值不等式的應(yīng)用條件與前面基本不等式的應(yīng)用條件是一樣的，即“一正，二定，三相等”2定理3的推廣對于n個(gè)正數(shù)a1，a2，an，它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號成立【課堂檢測】例1 已知x、y、zR，求證：27xyz.例2如圖，把一塊邊長是的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿著虛線折轉(zhuǎn)作成一個(gè)無蓋方底的盒子，問切去的正方形邊長是多少時(shí)，才能使盒子的容積

11、最大？【拓展探究】1已知a，b，cR，求證：3.2求函數(shù)y(x1)2(32x)(1<x<)的最大值3已知長方體的表面積為定值S，試問這個(gè)長方體的長、寬、高各是多少時(shí)，它的體積最大，求出這個(gè)最大值【當(dāng)堂訓(xùn)練】1設(shè)且，則lgx+lgy+lgz的取值范圍是()A(,lg6 B(,3lg2 Clg6,+) D3lg2,+)2若為正數(shù)，且，則的最小值為()A9 B8 C3 D3已知，則的最小值為()A3 B2 C12 D12 4若且，則的最小值為.【學(xué)習(xí)小結(jié)】1.不等式的證明方法較多，關(guān)鍵是從式子的結(jié)構(gòu)入手進(jìn)行分析2.運(yùn)用三個(gè)正數(shù)的平均值不等式證明不等式時(shí)，仍要注意“一正、二定、三相等”，在

12、解題中，若兩次用平均值不等式，則只有在“相等”條件相同時(shí)，才能取到等號【課外拓展】1. 設(shè)a、b、cR，求證：(abc)9.2已知都是正數(shù)，且，求證：3設(shè)x>0，則f(x)4x的最大值為 ()A4B4 C不存在 D選修4-5 §2.1絕對值三角不等式【自主學(xué)習(xí)】五、 學(xué)習(xí)目標(biāo)1了解絕對值三角不等式的含義，理解絕對值三角不等式公式及推導(dǎo)方法， 會進(jìn)行簡單的應(yīng)用。2充分運(yùn)用觀察、類比、猜想、分析證明的數(shù)學(xué)思維方法，體會轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，并能運(yùn)用絕對值三角不等式公式進(jìn)行推理和證明。二、 知識梳理絕對值三角不等式 （1）定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)

13、，等號成立 幾何解釋：用向量a，b分別替換a，b. 當(dāng)a與b不共線時(shí)，有|ab|<|a|b|，其幾何意義為： 若a，b共線，當(dāng)a與b 時(shí)，|ab|a|b|，當(dāng)a與b 時(shí)，|ab|<|a|b|. 由于定理1與三角形之間的這種聯(lián)系，故稱此不等式為絕對值三角不等式 定理1的推廣：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|a|b|a±b|a|b|.（2）定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|ac|ab|bc|.當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號成立 幾何解釋：在數(shù)軸上，a，b，c所對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C， 當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間時(shí)，|ac| |ab|bc|. 當(dāng)點(diǎn)B不在點(diǎn)A，C之間時(shí)：點(diǎn)B在A或C上時(shí)，|ac| |a

14、b|bc|； 點(diǎn)B不在A，C上時(shí)，|ac| |ab|bc|. 應(yīng)用：利用該定理可以確定絕對值函數(shù)的值域和最值【課堂檢測】例1已知>0，|xa|<，|yb|<，求證：|2 x +3 y -2 a -3 b |<5.例2 求函數(shù)y|x3|x1|的最大值和最小值 【拓展探究】1已知|Aa|<，|Bb|<，|Cc|<.求證：|(ABC)(abc)|<s.2設(shè)a、b是滿足ab<0的實(shí)數(shù)，則下列不等式中正確的是 () A|ab|>|ab|B|ab|<|ab| C|ab|<|a|b| D|ab|<|a|b|3設(shè)>0，|xa|

15、<，|ya|<.求證：|2x3y2a3b|<.【當(dāng)堂訓(xùn)練】1已知實(shí)數(shù)滿足，下列不等式成立的是()A B C D2若關(guān)于的不等式的解集為,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A(,1 B(,1) C(,5 D(,5)3不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A,4 B(,4,+) C(,5,+) D,54若不等式對于一切實(shí)數(shù)均成立,則實(shí)數(shù)的最大值是()A7 B9 C5 D11【學(xué)習(xí)小結(jié)】含絕對值不等式的證明題主要分兩類：一類是比較簡單的不等式，往往可通過平方法、換元法去掉絕對值轉(zhuǎn)化為常見的不等式證明，或利用絕對值三角不等式|a|b|a±b|a|b|，通過適當(dāng)?shù)奶怼⒉痦?xiàng)證明；另

16、一類是綜合性較強(qiáng)的函數(shù)型含絕對值的不等式，往往可考慮利用一般情況成立，則特殊情況也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法來證明選修4-5 §2.1絕對值三角不等式【課外拓展】1設(shè)，則與2的大小關(guān)系是()A B C D不能比較大小2若關(guān)于的不等式存在實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.3兩個(gè)加油站位于某城市東和處(),一卡車從該城市出發(fā),由于某種原因,它需要往返兩加油站,問它行駛在什么情況下到兩加油站的路程之和是一樣的?選修4-5 §2.2絕對值不等式的解法【自主學(xué)習(xí)】六、 學(xué)習(xí)目標(biāo)1理解并掌握和型不等式的解法。2充分運(yùn)用觀察、類比、猜想、分析證明的數(shù)學(xué)思維方法，體會轉(zhuǎn)化和數(shù)

17、形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，并能運(yùn)用絕對值三角不等式公式進(jìn)行推理和證明。二、 知識梳理1|axb|c，|axb|c(c>0)型不等式的解法 只需將axb看成一個(gè)整體，即化成|x|a，|x|a(a>0)型不等式求解 |axb|c(c>0)型不等式的解法：先化為 ，再由不等式的性質(zhì)求出原不等式的解集 不等式|axb|c(c>0)的解法：先化為 或 ，再進(jìn)一步利用不等式性質(zhì)求出原不等式的解集2|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法 利用絕對值不等式的 求解，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，理解絕對值的幾何意義，給絕對值不等式以準(zhǔn)確的幾何解釋是解題關(guān)鍵以絕對值的 為分界點(diǎn)，將數(shù)軸分為幾個(gè)區(qū)間

18、，利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)分類討論的思想確定各個(gè)絕對值符號內(nèi)多項(xiàng)式的正、負(fù)性，進(jìn)而去掉絕對值符號是解題關(guān)鍵 通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖像求解，體現(xiàn)函數(shù)與方程的思想，正確求出函數(shù)的零點(diǎn)并畫出函數(shù)圖像(有時(shí)需要考查函數(shù)的增減性)是解題關(guān)鍵【課堂檢測】例1解下列不等式： （1）|3x1|2；（2）|2-3x|7.例2解不等式|x1|+|x2|5. 【拓展探究】1解下列不等式：（1）|32x|<9；（2）|x2|>3x4；（3）|3x4|>x1（4） （5） （6） .2已知，且，求實(shí)數(shù)的范圍3已知不等式|x2|x3|>m.（1）若不等式有解；（2）若不等式解集為R；（3）

19、若不等式解集為，分別求出m的范圍【當(dāng)堂訓(xùn)練】1 2 3. 4. 5 6. 7 8 9 10【學(xué)習(xí)小結(jié)】1. |axb|c和|axb|c型不等式的解法： 當(dāng)c>0時(shí)，|axb|caxbc或axbc，|axb|ccaxbc. 當(dāng)c0時(shí)，|axb|c的解集為R，|axb|<c的解集為. 當(dāng)c<0時(shí)，|axb|c的解集為R，|axb|c的解集為.2. |xa|xb|c、|xa|xb|c(c>0)型不等式的三種解法：分區(qū)間(分類)討論法、圖像法和幾何法分區(qū)間討論的方法具有普遍性，但較麻煩；幾何法和圖像法直觀，但只適用于數(shù)據(jù)較簡單的情況【課外拓展】1若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A(,

20、0) B,0 C(, )(0,) D(0,2若，則不等式的解集是()A B C D3已知集合，則等于()A B C D4已知關(guān)于x的不等式|x+2|+|x-3|<a的解集是非空集合，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.選修4-5 §2.1比較法【自主學(xué)習(xí)】一、學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 了解用作差比較法證明不等式2. 了解用作商比較法證明式不等3. 提高綜合應(yīng)用知識解決問題的能力二、 知識梳理1作差比較法 （1）作差比較法的理論依據(jù)ab>0 ，ab<0 ，ab0 . （2）作差比較法解題的一般步驟：作差；變形整理，判定符號，得出結(jié)論 其中變形整理是解題的關(guān)鍵，變形整理的目的是為了能夠直接判

21、定 ，常用的手段有：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等2作商比較法 （1）作商比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：b>0，若 ，則a>b；若 則a<b；b<0，若 則a<b；若 則a>b. （2）作商比較法解題的一般步驟：判定a，b符號；作商；變形整理；判定 ；得出結(jié)論【課堂檢測】例1 設(shè)ABC的三邊長分別是a、b、c，求證：例2 設(shè)a>0，b>0，求證： 例3 甲、乙二人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)，甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走如果mn，問甲、乙二人誰先到達(dá)指定地點(diǎn)？【拓

22、展探究】1. 求證：2設(shè)，求證：.3某人乘出租車從A地到B地，有兩種方案；第一種方案：乘起步價(jià)為10元每千米1.2元的出租車，第二種方案：乘起步價(jià)為8元，每千米1.4元的出租車按出租車管理?xiàng)l例，在起步價(jià)內(nèi)不同型號的出租車行駛的路程是相等的，則此人從A地到B地選擇哪一種方案比較合適？【當(dāng)堂訓(xùn)練】1設(shè)都是正數(shù),且,則下列不等式中恒成立的是()A B C D2“”是“”的()A充分但不必要條件 B必要但不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件3已知，則其中最大的是.4若是正數(shù)，且，則與的大小關(guān)系為.【學(xué)習(xí)小結(jié)】.作差比較法中，變形具有承上啟下的作用，變形的目的在于判斷差的符號，而不用考慮差能否

23、化簡或值是多少.變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法.因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷“差式”的符號，常將“差式”變形為一個(gè)常數(shù)，或幾個(gè)因式積的形式，當(dāng)所得的“差式”是某字母的二次三項(xiàng)式時(shí)，常用配方法判斷符號有時(shí)會遇到結(jié)果符號不能確定，這時(shí)候要對差式進(jìn)行分類討論. 當(dāng)欲證的不等式兩端是乘積形式或冪指數(shù)形式時(shí)，常采用作商比較法，用作商比較法時(shí)，如果需要在不等式兩邊同乘某個(gè)數(shù)，要注意該數(shù)的正負(fù)，且最后結(jié)果進(jìn)行比較. 應(yīng)用不等式解決實(shí)際問題時(shí)， 關(guān)鍵是如何把等量關(guān)系、不等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式的問題來解決也即建立數(shù)學(xué)模型是解應(yīng)用題的關(guān)鍵，最后利

24、用不等式的知識來解在實(shí)際應(yīng)用不等關(guān)系問題時(shí)，常用比較法來判斷數(shù)的大小關(guān)系，若是選擇題或填空題則可用特殊值加以判斷4. 選修4-5 §2.1比較法【課外拓展】1設(shè)，則的大小關(guān)系是()A B C D 2已知下列不等式：;.其中正確的個(gè)數(shù)為()A0B1C2D33設(shè)，下列不等式中不正確的是()A B C D4在等比數(shù)列和等差數(shù)列中，則與的大小關(guān)系為()A B C D不確定5設(shè)則的大小關(guān)系為.6已知，求證：7若都為正實(shí)數(shù)，且求證：8已知函數(shù)，當(dāng)滿足時(shí),證明：對于任意實(shí)數(shù)都成立的充要條件是. 選修4-5 §2.2綜合法與分析法【自主學(xué)習(xí)】一、學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解

25、直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；2. 會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.3. 根據(jù)問題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法的思考過程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法二、 知識梳理1綜合法 （1）證明的特點(diǎn)： 綜合法又叫順推證法或 法，是由 和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的 ，最后推出所要證明的結(jié)論成立（2）證明的框圖表示：用P表示已知條件或已有的不等式，用Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為2分析法（1）證明的特點(diǎn)：分析法又叫逆推證法或 法，是從要證明的不等式出發(fā)，逐步尋找使它成立的 條件直到最后把要證明的不等式轉(zhuǎn)化為判定一個(gè)已知或明顯成立的不等式為止（2）證明過程的框圖表示：用Q表

26、示要證明的不等式，則分析法可用框圖表示為【課堂檢測】 例1已知x>0，y>0，且xy1，求證：(1)·(1)9 例2已知x>0，y>0，求證 例2設(shè)a>0，b>0，且ab1，求證：【拓展探究】1. 已知a，b，cR，證明不明式：abc，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號2求證：<23已知a，b，c都是正數(shù)，求證：23【當(dāng)堂訓(xùn)練】1設(shè)且，則()A B C D2若，下面不等式中正確的是()A BC D3下列三個(gè)不等式中:；，其中能使立的充分條件有()A B C D4等式“”的證明過程:“等式兩邊同時(shí)乘以得,左邊，右邊=1,左邊=右邊,故原不等式成立”,應(yīng)用了

27、的證明方法.(填“綜合法”或“分析法”)5設(shè)為正實(shí)數(shù),滿足，則的最小值是.【學(xué)習(xí)小結(jié)】 1.綜合法證明不等式，揭示出條件和結(jié)論之間的因果聯(lián)系，為此要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵 .當(dāng)所證不等式與重要不等式、基本不等式?jīng)]有什么直接聯(lián)系，或條件與結(jié)論之間的關(guān)系不明顯時(shí)，可用分析法來尋找證明途徑 .有些不等式的證明，需要一邊分析一邊綜合，稱之為分析綜合法，或稱“兩頭擠”法5. 選修4-5 §2.2綜合法與分析法【課外拓展】1要證，只要證()A2 BC D2已知為三角形的三邊且，則()A B C D3設(shè)和是方程的兩個(gè)

28、不相等的實(shí)數(shù)根,則()A且 B C D且4設(shè)都是正實(shí)數(shù)，則的最大值為.5用分析法證明:當(dāng)時(shí),.6已知均為正數(shù),求證：7在某兩個(gè)正數(shù)之間,若插入一個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列，若插入兩個(gè)數(shù)，使成等比數(shù)列,求證：選修4-5 §2.3反證法和放縮法【自主學(xué)習(xí)】一、學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 了解用反正法證明不等式2. 了解用放縮法證明式不等3. 提高綜合應(yīng)用知識解決問題的能力二、 知識梳理1不等式的證明方法反證法 （1）反證法證明的定義：先假設(shè)要證明的命題不成立，然后由 出發(fā)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行 ，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說明 不成立

29、，從而證明原命題成立 （2）反證法證明不等式的一般步驟：假設(shè)命題不成立；依據(jù)假設(shè)推理論證；推出矛盾以說明 ，從而斷定原命題成立2不等式的證明方法放縮法 放縮法證明的定義：證明不等式時(shí)，通常把不等式中的某些部分的值 或 ，簡化不等式，從而達(dá)到證明的目的 3放縮法的理論依據(jù)主要有 （1）不等式的傳遞性； （2）等量加不等量為 ； （3）同分子(分母)異分母(分子)的兩個(gè)分式大小的比較【課堂檢測】例1 已知f(x)x2pxq求證：（1）f(1)f(3)2f(2)2（2）|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于. 例2 已知實(shí)數(shù)x、y、z不全為零求證：>(xyz)【拓展探究】1

30、. 實(shí)數(shù)a，b，c不全為0的等價(jià)條件為 ()Aa，b，c均不為0 Ba，b，c中至多有一個(gè)為0Ca，b，c中至少有一個(gè)為0 Da，b，c中至少有一個(gè)不為02證明：三個(gè)互不相等的正數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，則a，b，c不可能成等比數(shù)列3設(shè)n是正整數(shù)，求證：1.【當(dāng)堂訓(xùn)練】1命題“任意多面體的面至少有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形”的結(jié)論的否定形式是()A任意多面體沒有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形的面 B任意多面體沒有一個(gè)是三角形的面C任意多面體沒有一個(gè)是四邊形的面 D任意多面體沒有一個(gè)是五邊形的面2設(shè)都是正實(shí)數(shù)，則三個(gè)數(shù)()A至少有一個(gè)不大于2 B都小于2 C至少有一個(gè)不小于2 D都大于23設(shè)，則的

31、大小關(guān)系是()A B C D不確定4用反證法證明命題“若,則且”時(shí)應(yīng)假設(shè).【學(xué)習(xí)小結(jié)】 .反證法適用范圍：凡涉及不等式為否定性命題，唯一性、存在性命題可考慮反證法如證明中含“至多”，“至少”，“不能”等詞語的不等式（注意：在對原命題進(jìn)行否定時(shí)，應(yīng)全面、準(zhǔn)確，不能漏掉情況，反證法體現(xiàn)了“正難則反”的策略，在解題時(shí)要靈活應(yīng)用） .利用放縮法證明不等式，要根據(jù)不等式兩端的特點(diǎn)及已知條件(條件不等式)，審慎地采 取措施，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s，任何不適宜的放縮都會導(dǎo)致推證的失?。ㄒ欢ㄒ煜し趴s法的具體措施及操作方法，利用放縮法證明不等式，就是采取舍掉式中一些正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)，或者在分式中放大或縮小分子、分母，或者把

32、和式中各項(xiàng)或某項(xiàng)換以較大或較小的數(shù)，從而達(dá)到證明不等式的目的）6. 選修4-5 §2.3反證法和放縮法【課外拓展】1不全為零等價(jià)為()A均不為0 B中至多有一個(gè)為0C中至少有一個(gè)為0 D中至少有一個(gè)不為02設(shè)是正數(shù)，則“”是“”同時(shí)大于零”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件3若，且，則的取值范圍是()A B C D4在中,若是內(nèi)一點(diǎn)，,求證:,用反證法證明時(shí)應(yīng)分:假設(shè)和兩類.5log23與log34的大小關(guān)系是.6關(guān)于復(fù)數(shù)的方程，證明對任意的實(shí)數(shù)，原方程不可能有純虛根.7若是大于1的自然數(shù),求證：8設(shè)是正數(shù)，求證： 選修4-5 §2

33、.1比較法【自主學(xué)習(xí)】一、學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 了解用作差比較法證明不等式2. 了解用作商比較法證明式不等3. 提高綜合應(yīng)用知識解決問題的能力二、 知識梳理1作差比較法 （1）作差比較法的理論依據(jù)ab>0 ，ab<0 ，ab0 . （2）作差比較法解題的一般步驟：作差；變形整理，判定符號，得出結(jié)論 其中變形整理是解題的關(guān)鍵，變形整理的目的是為了能夠直接判定 ，常用的手段有：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等2作商比較法 （1）作商比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：b>0，若 ，則a>b；若 則a<b；b<0，若 則a<b；若 則a>b. （2）

34、作商比較法解題的一般步驟：判定a，b符號；作商；變形整理；判定 ；得出結(jié)論【課堂檢測】例1 設(shè)ABC的三邊長分別是a、b、c，求證：例2 設(shè)a>0，b>0，求證： 例3 甲、乙二人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)，甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走如果mn，問甲、乙二人誰先到達(dá)指定地點(diǎn)？【拓展探究】1. 求證：2設(shè)，求證：.3某人乘出租車從A地到B地，有兩種方案；第一種方案：乘起步價(jià)為10元每千米1.2元的出租車，第二種方案：乘起步價(jià)為8元，每千米1.4元的出租車按出租車管理?xiàng)l例，在起步價(jià)內(nèi)不同型號的出租車行駛的路程是相等的

35、，則此人從A地到B地選擇哪一種方案比較合適？【當(dāng)堂訓(xùn)練】1設(shè)都是正數(shù),且,則下列不等式中恒成立的是()A B C D2“”是“”的()A充分但不必要條件 B必要但不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件3已知，則其中最大的是.4若是正數(shù)，且，則與的大小關(guān)系為.【學(xué)習(xí)小結(jié)】.作差比較法中，變形具有承上啟下的作用，變形的目的在于判斷差的符號，而不用考慮差能否化簡或值是多少.變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法.因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷“差式”的符號，常將“差式”變形為一個(gè)常數(shù)，或幾個(gè)因式積的形式，當(dāng)所得的“差式”是某字母的二

36、次三項(xiàng)式時(shí)，常用配方法判斷符號有時(shí)會遇到結(jié)果符號不能確定，這時(shí)候要對差式進(jìn)行分類討論. 當(dāng)欲證的不等式兩端是乘積形式或冪指數(shù)形式時(shí)，常采用作商比較法，用作商比較法時(shí)，如果需要在不等式兩邊同乘某個(gè)數(shù)，要注意該數(shù)的正負(fù)，且最后結(jié)果進(jìn)行比較. 應(yīng)用不等式解決實(shí)際問題時(shí)， 關(guān)鍵是如何把等量關(guān)系、不等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式的問題來解決也即建立數(shù)學(xué)模型是解應(yīng)用題的關(guān)鍵，最后利用不等式的知識來解在實(shí)際應(yīng)用不等關(guān)系問題時(shí)，常用比較法來判斷數(shù)的大小關(guān)系，若是選擇題或填空題則可用特殊值加以判斷7. 選修4-5 §2.1比較法【課外拓展】1設(shè)，則的大小關(guān)系是()A B C D 2已知下列不等式：;.其中正確的

37、個(gè)數(shù)為()A0B1C2D33設(shè)，下列不等式中不正確的是()A B C D4在等比數(shù)列和等差數(shù)列中，則與的大小關(guān)系為()A B C D不確定5設(shè)則的大小關(guān)系為.6已知，求證：7若都為正實(shí)數(shù)，且求證：8已知函數(shù)，當(dāng)滿足時(shí),證明：對于任意實(shí)數(shù)都成立的充要條件是. 選修4-5 §2.2綜合法與分析法【自主學(xué)習(xí)】一、學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；2. 會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.3. 根據(jù)問題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法的思考過程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法二、 知識梳理1綜合法 （1）證明的特點(diǎn)： 綜合法又叫順推證法或 法，是由 和某些

38、數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的 ，最后推出所要證明的結(jié)論成立（2）證明的框圖表示：用P表示已知條件或已有的不等式，用Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為2分析法（1）證明的特點(diǎn)：分析法又叫逆推證法或 法，是從要證明的不等式出發(fā)，逐步尋找使它成立的 條件直到最后把要證明的不等式轉(zhuǎn)化為判定一個(gè)已知或明顯成立的不等式為止（2）證明過程的框圖表示：用Q表示要證明的不等式，則分析法可用框圖表示為【課堂檢測】 例1已知x>0，y>0，且xy1，求證：(1)·(1)9 例2已知x>0，y>0，求證 例2設(shè)a>0，b>0，且ab1，求證：【拓展探究】

39、1. 已知a，b，cR，證明不明式：abc，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號2求證：<23已知a，b，c都是正數(shù)，求證：23【當(dāng)堂訓(xùn)練】1設(shè)且，則()A B C D2若，下面不等式中正確的是()A BC D3下列三個(gè)不等式中:；，其中能使立的充分條件有()A B C D4等式“”的證明過程:“等式兩邊同時(shí)乘以得,左邊，右邊=1,左邊=右邊,故原不等式成立”,應(yīng)用了的證明方法.(填“綜合法”或“分析法”)5設(shè)為正實(shí)數(shù),滿足，則的最小值是.【學(xué)習(xí)小結(jié)】 1.綜合法證明不等式，揭示出條件和結(jié)論之間的因果聯(lián)系，為此要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，

40、這是證明的關(guān)鍵 .當(dāng)所證不等式與重要不等式、基本不等式?jīng)]有什么直接聯(lián)系，或條件與結(jié)論之間的關(guān)系不明顯時(shí)，可用分析法來尋找證明途徑 .有些不等式的證明，需要一邊分析一邊綜合，稱之為分析綜合法，或稱“兩頭擠”法8. 選修4-5 §2.2綜合法與分析法【課外拓展】1要證，只要證()A2 BC D2已知為三角形的三邊且，則()A B C D3設(shè)和是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則()A且 B C D且4設(shè)都是正實(shí)數(shù)，則的最大值為.5用分析法證明:當(dāng)時(shí),.6已知均為正數(shù),求證：7在某兩個(gè)正數(shù)之間,若插入一個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列，若插入兩個(gè)數(shù)，使成等比數(shù)列,求證：選修4-5 §2.3反證法和放縮法【自主學(xué)習(xí)】一、學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 了解用反正法證明不等式2.