第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念77024

1、第二章第二章微積分學(xué)的創(chuàng)始人微積分學(xué)的創(chuàng)始人: 德國(guó)數(shù)學(xué)家德國(guó)數(shù)學(xué)家 leibniz 微分學(xué)微分學(xué)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢描述函數(shù)變化快慢微分微分描述函數(shù)變化程度描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具 (從微觀上研究函數(shù)從微觀上研究函數(shù))導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)思想最早由法國(guó)導(dǎo)數(shù)思想最早由法國(guó)數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家 ferma 在研究在研究極值問(wèn)題中提出極值問(wèn)題中提出.英國(guó)數(shù)學(xué)家英國(guó)數(shù)學(xué)家 newton一、引例一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)第一節(jié)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的

2、概念導(dǎo)數(shù)的概念 1. 1. 變速直線運(yùn)動(dòng)的速度變速直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿直線作非勻速運(yùn)動(dòng)設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿直線作非勻速運(yùn)動(dòng),其走過(guò)的路程其走過(guò)的路程s 與時(shí)間與時(shí)間 t 的函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為關(guān)系式為: s=s (t ) .求某一時(shí)刻求某一時(shí)刻 t0 的瞬時(shí)速度的瞬時(shí)速度 .一、引例一、引例0tts vttstts )()(00)(tss so)(0ts)(0ttstt0解解: 設(shè)從時(shí)刻設(shè)從時(shí)刻 t0 到到 t0+t這段時(shí)間這段時(shí)間質(zhì)點(diǎn)走過(guò)的路程質(zhì)點(diǎn)走過(guò)的路程 s = s (t0+t ) - s (t0) 從從 t0 到到 t0+t 這段時(shí)間內(nèi)這段時(shí)間內(nèi) , 平均速度平均速度對(duì)非勻速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)來(lái)說(shuō)對(duì)非勻速

3、運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)來(lái)說(shuō) , 平均速度平均速度可作為可作為 t0 這時(shí)刻的這時(shí)刻的瞬時(shí)速度的近似值瞬時(shí)速度的近似值 , (t很小時(shí)很小時(shí))vvtt 0(t越小越小) ,0越接近越接近與與vvtt (當(dāng)當(dāng)t 0時(shí)時(shí)) ,v極限存在極限存在, 我們就有我們就有vvttt0lim0 即即vvttt0lim0 ttsttst )()(lim0002.2.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.2.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.2.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.2.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位

4、置2.2.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置 t0 xxxoxy)(xfy cnm 若若 n m 時(shí)時(shí), 割線割線 mn 的極限位置的極限位置 mt , 稱稱為曲線在點(diǎn)為曲線在點(diǎn)m處的處的切線切線.的的斜斜率率為為割割線線mnxy tan,)()(00 xxfxxf , 0, xmnc沿曲線沿曲線的的斜斜率率為為切切線線 mt.)()(limtan000 xxfxxfkx ),(,(00 xfxm設(shè)設(shè)).(,(00 xxfxxn 兩個(gè)問(wèn)題的兩個(gè)問(wèn)題的共性共性:so0t)(0ts)(tst瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度 lim0ttv)()(0tsts 0tt 切線斜率切線斜率xyo

5、)(xfy cnt0 xmx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 .類似問(wèn)題還有類似問(wèn)題還有:加速度加速度角速度角速度線密度線密度電流強(qiáng)度電流強(qiáng)度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限是電量增量與時(shí)間增量之比的極限是電量增量與時(shí)間增量之比的極限變化率問(wèn)題變化率問(wèn)題二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義定義定義1 1 . . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x0limxxxf

6、xxf )()(00 xyx 0lim存在存在, ,)(xf并稱此極限為并稱此極限為)(xfy 記作記作: :;0 xxy ;)(0 xf ;dd0 xxxy 0d)(dxxxxf 即即0 xxy )(0 xf xyx 0limxxfxxfx )()(lim000hxfhxfh)()(lim000 則稱函數(shù)則稱函數(shù)若若的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義 , , 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處可導(dǎo)處可導(dǎo), , 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). . 導(dǎo)數(shù)定義的另外一種形式導(dǎo)數(shù)定義的另外一種形式,0 xxx )(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx 若記若記)(0 xf xxfxxfx )()(lim000

7、,0 xxx 當(dāng)當(dāng)x0 0 時(shí)時(shí), , x x 0 0lim xxxfxxf )()(00 xyx 0lim若上述極限不存在若上述極限不存在 ,在點(diǎn)在點(diǎn) 不可導(dǎo)不可導(dǎo). 0 x若若,lim0 xyx也稱也稱)(xf在在0 x若函數(shù)在開區(qū)間若函數(shù)在開區(qū)間 i 內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo)內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù).記作記作:;y;)(xf ;ddxy.d)(dxxf就說(shuō)函數(shù)就說(shuō)函數(shù)就稱函數(shù)就稱函數(shù)在在 i 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo). 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大無(wú)窮大 .注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0例例1. 常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù)cxf )(解解:ycc 0

8、即即0)( c)()(xfxxf 求初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式求初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式xxyxfx 00lim)( xyxfx 0lim)( 00lim0 xx步驟步驟: :);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求極限求極限解解:y )()(xfxxf 例例2. 冪函數(shù)冪函數(shù))n()( nxxfnnnxxx )(nnnxxxnnxnx)()(! 2)1(221 xyxfx 0lim)( xxxxnnxnxnnnx )()(! 2)1(lim22101nnx 說(shuō)明：對(duì)一般冪函數(shù)對(duì)一般冪函數(shù) xy ( 為常數(shù)為常數(shù)) 1)( xx例

9、如，例如，)( x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后將證明）（以后將證明）xxxysin)sin( 例例3. 三角函數(shù)三角函數(shù)xxfsin)( 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解解:xxxxx )2cos()2sin(2lim0即即xxcos)(sin 類似可證得類似可證得xxsin)(cos xcosxyxfx 0lim)( )2cos()2sin(2xxx 例例4.)1, 0(log的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0

10、 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa 例例5. 設(shè)設(shè))(0 xf 存在存在, 求極限求極限.2)()(lim000hhxfhxfh 解解: 原式原式 0lim hhhxf2)(0 )(0 xfhhxf2)( 0 )(0 xf)()(lim21000hxfhxfh )()(lim21000hxfhxfh )(210 xf )(210 xf )(0 xf 三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義,.1作變速運(yùn)動(dòng)作變速運(yùn)動(dòng)物體物體 g, )(tss 已已知知運(yùn)運(yùn)行行的的路路程程為為, )(0tv瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度000)()(lim)(0tttststvtt . )

11、(0ts:0得得為為換換tt. )()(tstv . )()()(tvts速率速率的導(dǎo)數(shù)為瞬時(shí)速度的導(dǎo)數(shù)為瞬時(shí)速度即路程函數(shù)即路程函數(shù), )(g.2tvv 的速度的速度物體物體中速度中速度在時(shí)段在時(shí)段則則,g0tt, )()(0tvtv 增量為增量為上上在時(shí)段在時(shí)段為為比值比值,g)()(000tttttvtv ,速度的平均增加率速度的平均增加率, )(,000tattt時(shí)刻的加速度時(shí)刻的加速度則得則得讓讓 0000tttvtvtatt)()(lim)(. )(0tv:0得得為為換換tt. )()(tvta. )()(tatv的導(dǎo)數(shù)為加速度的導(dǎo)數(shù)為加速度即速度即速度,.3非均勻的金屬絲非均勻的

12、金屬絲ox0 x,xxo段的長(zhǎng)度為段的長(zhǎng)度為, )(xmmxo 段的質(zhì)量段的質(zhì)量,)()(00段的質(zhì)量段的質(zhì)量為為則則xxxmxm .)()(000段上的平均密度段上的平均密度為為xxxxxmxm )(單單位位長(zhǎng)長(zhǎng)度度上上的的質(zhì)質(zhì)量量, )(,000 xxxx 點(diǎn)的質(zhì)量密度點(diǎn)的質(zhì)量密度得到得到讓讓0000 xxxmxmxxx)()(lim)( . )(0 xm. )()(xmx 或或. )()()(xmxxmx 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)長(zhǎng)度對(duì)長(zhǎng)度是質(zhì)量是質(zhì)量即線密度即線密度 幾何意義幾何意義xyo)(xfy ct0 xm曲線曲線)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的的切線斜率切線斜率為為)(tan0 xf

13、 曲線在點(diǎn)曲線在點(diǎn)處的處的),(00yx切線方程切線方程:)(000 xxxfyy 法線方程法線方程:)()(1000 xxxfyy )0)(0 xf,)(0時(shí) xf,)(0時(shí) xf注意注意: 若若切線方程切線方程: x = x 0 表示切線垂直于表示切線垂直于x 軸軸,法線方程法線方程: y = y 0 例例6. 問(wèn)曲線問(wèn)曲線3xy 哪一點(diǎn)有垂直切線哪一點(diǎn)有垂直切線 ? 哪一點(diǎn)處哪一點(diǎn)處的切線與直線的切線與直線131xy平行平行 ? 寫出其切線方程寫出其切線方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令令,3113132x得得,1x對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng),1y則在點(diǎn)則在點(diǎn)(1,1) ,

14、(1,1) 處與直線處與直線131xy平行的切線方程分別為平行的切線方程分別為),1(131xy) 1(131xy即即023 yx故在原點(diǎn)故在原點(diǎn) (0 , 0) 有垂直切線有垂直切線1111處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)xxf)(四、四、 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理定理1.處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)xxf)(證證: 設(shè)設(shè))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) x 處可導(dǎo)處可導(dǎo),)(lim0 xfxyx存在存在 , 因此必有因此必有,)(xfxy其中其中0lim0 x故故xxxfy)(0 x0所以函數(shù)所以函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) x 連續(xù)連續(xù) .即即可導(dǎo)可導(dǎo)連續(xù)連續(xù)連續(xù)連續(xù)可導(dǎo)可導(dǎo)證證:.0不不可

15、可導(dǎo)導(dǎo)在在即即 xx注意注意: 函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn) x 連續(xù)未必可導(dǎo)連續(xù)未必可導(dǎo).例例7:xy 在在 x = 0 處連續(xù)處連續(xù) , 但不可導(dǎo)但不可導(dǎo).xyoxy 2xxy為初等函數(shù)為初等函數(shù) , 所以在所以在r上連續(xù)上連續(xù),xfxfxy)0()0(xx0 x,10 x,1xyx0lim不存在不存在 , 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某個(gè)的某個(gè)右右 鄰域內(nèi)鄰域內(nèi)五、五、 單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù))(xfy 若極限若極限xxfxxfxyxx)()(limlim0000則稱此極限值為則稱此極限值為)(xf在在 處的處的右右 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù),0 x記作記作)(0 xf即即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左左)(左左

16、)0( x)0( x)(0 xf0 x例如例如,xxf)(在在 x = 0 處有處有,1)0(f1)0(fxyoxy 定義定義2 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)有定義有定義,存在存在,定理定理2. 函數(shù)函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)0 x)(xfy ,)()(00存在與xfxf且且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在存在)(0 xf)(0 xf簡(jiǎn)寫為簡(jiǎn)寫為在點(diǎn)在點(diǎn)處處右右 導(dǎo)數(shù)存在導(dǎo)數(shù)存在0 x定理定理3. 函數(shù)函數(shù))(xf)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x必必 右右 連續(xù)連續(xù).(左左)(左左)若函數(shù)若函數(shù))(xf)(af)(bf與與都存在都存在 , 則稱則稱)(xf顯然顯然:)(xf在在閉區(qū)間閉區(qū)間 a , b 上可導(dǎo)上可導(dǎo)

17、,)(bacxf在開區(qū)間在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),),(ba在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上可導(dǎo)上可導(dǎo).,ba可導(dǎo)的可導(dǎo)的充分必要條件充分必要條件是是且且內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4. 可導(dǎo)必連續(xù)可導(dǎo)必連續(xù), 但連續(xù)不一定可導(dǎo)但連續(xù)不一定可導(dǎo);5. 已學(xué)求導(dǎo)公式已學(xué)求導(dǎo)公式 :6. 判斷可導(dǎo)性判斷可導(dǎo)性不連續(xù)不連續(xù), 一定不可導(dǎo)一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.axf)(02. axfxf)()(00增量比的極限增量比的極限;切線的斜率切線的斜率;,)(0c,)(1 xx,cos)(sinxx,s

18、in)(cosxxaxxaln1)(log 連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)的幾種常見情形連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)的幾種常見情形.,)()()(,)(. 1000函數(shù)在角點(diǎn)不可導(dǎo)函數(shù)在角點(diǎn)不可導(dǎo)的角點(diǎn)的角點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)若若連續(xù)連續(xù)函數(shù)函數(shù)xfxxfxfxf xy2xy 0 xy 例如例如, ,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的角點(diǎn)的角點(diǎn)為為處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在xfxx 31xyxy01)( .)(,)()(limlim,)(. 2000000不可導(dǎo)不可導(dǎo)有無(wú)窮導(dǎo)數(shù)有無(wú)窮導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)稱函數(shù)稱函數(shù)但但連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxfxxfxxfxyxxfxx 例如例如, , 1)(3 xxf.1

19、處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 x., )()(. 30點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)則則指擺動(dòng)不定指擺動(dòng)不定不存在不存在在連續(xù)點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)都在連續(xù)點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)都函數(shù)函數(shù)xxf,0, 00,1sin)( xxxxxf例如例如, ,.0處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 x011/1/xy. )()(,)(. 4000不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)的尖點(diǎn)的尖點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)符號(hào)相反符號(hào)相反的兩個(gè)單側(cè)導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)單側(cè)導(dǎo)數(shù)且在點(diǎn)且在點(diǎn)若若xfxxxf xyoxy0 xo)(xfy )(xfy 例如例如 y = x23( (其圖形大致如上圖其圖形大致如上圖) )思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 函數(shù)函數(shù) 在某點(diǎn)在某點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù))(xf0 x)(0 xf )(xf 區(qū)別區(qū)別:)(xf 是函數(shù)是函數(shù) ,)(0 xf 是數(shù)值是