線性代數(shù)schmidt正交化方程組求解do

1、 線性代數(shù)的相關資料：線性代數(shù)的相關資料：1 introduction to linear algebra，gilbert strang 著，麻省理工開放著，麻省理工開放課程鏈接：課程鏈接：http:/ linear algebra and its applications/線性代數(shù)及其應用線性代數(shù)及其應用/美美 david c. lay 著著3 linear algebra with applications/線性代數(shù)線性代數(shù)/steven j. leon. 著著4 東南大學線代精品課程網(wǎng)站東南大學線代精品課程網(wǎng)站http:/ 同濟的，浙大唐明編寫的，東大張小向編寫的同濟的，浙大唐明編寫的，

2、東大張小向編寫的“習題書習題書”6 高等代數(shù)高等代數(shù).定理定理問題問題方法方法/胡適耕，劉先忠編著胡適耕，劉先忠編著 o15/36 7 線性代數(shù)學習指導線性代數(shù)學習指導/樊惲樊惲, 鄭延履鄭延履, 劉合國編劉合國編 o151.2-42/18 8 高等代數(shù)高等代數(shù)， 北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組 王萼芳王萼芳 石生明石生明 著，高等教育出版社著，高等教育出版社 （較難，數(shù)學系教材）（較難，數(shù)學系教材）每個非零的向量空間每個非零的向量空間v 都有標準都有標準 正交基正交基 .設設 , , 是是 n n 維列向量維列向量, , 為為n nn n 的

3、的正交矩陣正交矩陣, ,則則 = = , , = = . , , 的長度和夾角與的長度和夾角與 , , 的長度和的長度和夾角相等夾角相等 a (a, b) ；a (a, b) , a (a, b) , a ； (a, b) a, ba, b ：對于矩陣方程：對于矩陣方程ax=b, 有以下結論。有以下結論。ax=b 有解有解 r(a,b)=r(a)記記 b=(b1 b2 bt). 則則 ax=b 有解有解 a(x1 x2 xt) = (b1 b2 bt) 有解有解 axj = bj 有解，有解， j =1,2,t. r(a,bj) = r(a), j =1,2,t. r(a, b1 b2 bt)

4、=r(a). (思考思考), 稱其為稱其為ax= 的的或矩陣或矩陣 a 的的 設矩陣設矩陣a 經(jīng)過一系列初等行變換可化為經(jīng)過一系列初等行變換可化為1 1 0 1 30 0 1 0 -20 0 0 0 0求方程組求方程組ax = 的基礎解系的基礎解系. 注解注解, 設矩陣設矩陣a 經(jīng)初等行變換化為經(jīng)初等行變換化為1 0 2 0 30 1 1 0 -20 0 0 1 0求求ax = 的基礎解系的基礎解系. 設矩陣設矩陣a 經(jīng)初等行變換化為經(jīng)初等行變換化為1 -1 0 -1 0 0 1 1求核空間求核空間k(a) 的基及維數(shù)的基及維數(shù). ( 注意區(qū)別值域注意區(qū)別值域r(a) ) ,k( )=k()a

5、可以是一個向量可以是一個向量 設設分別是分別是矩陣矩陣, ,證明：若證明：若 , , 則則 . . ( (即為推論即為推論2.8)2.8)通解通解的基礎解系的基礎解系 3 581147 4 2 3, 2 2 353215432154321xxxxxxxxxxxxxx，1 3 2 1 1 -21 3 -2 4 1 74 11 8 0 5 3初等行變換初等行變換1 3 2 1 1 -20 -1 0 -4 1 110 0 -4 3 0 9初等行變換初等行變換1 0 0 -19/2 4 71/20 1 0 4 -1 -110 0 1 -3/4 0 -9/4重重 合合相相 交交平平 行行異異 面面無窮多

6、解無窮多解唯一解唯一解無無 解解位置關系位置關系ax=dax=d秩秩無無 解解r(a)=r(a,d) =2r(a)=r(a,d) =3r(a)=2, r(a,d)=3r(a)=3, r(a,d)=4有其它判有其它判斷方法斷方法當參數(shù)當參數(shù)k取什么值時，取什么值時， 直線直線l1 : = = y-1 -3x-1 2z-4-4l2 : = =y+1 -1x-1 2z-1k相交？相交？l1l2p1p2s1q2q1s2q2。重重 合合交于一線交于一線交于一點交于一點無交點無交點無窮多解無窮多解位置關系位置關系ax=dax=d秩秩無無 解解r(a)=r(a,d) =1r(a)=r(a,d) =2r(a)

7、=r(a,d) =3r(a)+1= r(a,d)唯一解唯一解無窮多解無窮多解討論下列三個平面的相對位置討論下列三個平面的相對位置. 1 : x+y+bz=3; 2 : 2x+(a+1)y+(b+1)z =7; 3 : (1-a)y + (2b-1)z =0.其中，其中，a, b 是參數(shù)是參數(shù).課后注釋：課后注釋：一般來說，第一步假定只有一一般來說，第一步假定只有一個交點，此時可以得到個交點，此時可以得到a,b的一個范圍；在的一個范圍；在剩下的范圍內，剩下的范圍內，a,b 是一些具體的取值，我是一些具體的取值，我們就可以通過求解對應的具體方程組，來判們就可以通過求解對應的具體方程組，來判斷解的情

8、況，從而判斷平面的位置關系斷解的情況，從而判斷平面的位置關系.大東股份公司股票最近十天的收市價如大東股份公司股票最近十天的收市價如下表所示下表所示1 2 3 4 5 6 7 18.5 19.6 20.3 20.5 19.8 20.6 21.5假定天數(shù)假定天數(shù) x與股票價格與股票價格 y 服從三次關系服從三次關系 y = ax3+bx2+cx+d將上述數(shù)據(jù)代入假定的方程中，得到七個以將上述數(shù)據(jù)代入假定的方程中，得到七個以 a,b,c,d為未知數(shù)的方程組為未知數(shù)的方程組, 其未必有解！其未必有解！xyy = ax3+bx2+cx+dax=b 沒有解，即沒有解，即 ax-b= 沒有解沒有解 尋求最佳

9、近似解尋求最佳近似解x0，使得：，使得： |ax0 b | = min |ax b |x rn即尋找即尋找x0使得使得 | ax0 b | = min |a b |a r(a)b假定假定asn假設假設v是是rs的子空間，的子空間， rs, v , 則則 |= min | | 當且僅當當且僅當 v與與 v 中每個向量都正交中每個向量都正交.bvax=b 沒有解，即沒有解，即 ax-b= 沒有解沒有解 尋求最佳近似解尋求最佳近似解x0，使得：，使得： |ax0 b | = min |ax b |x rn即尋找即尋找x0 使得使得 | ax0 b | = min |a b |a r(a)br(a)即

10、尋找即尋找x0 使得使得 | ax0 b | = min |a b |a r(a)即尋找即尋找x0 使得使得 ax0 b 與與 r(a)中的每個向量都正交中的每個向量都正交r(a) = l( 1 2 n)即尋找即尋找 x0 使得使得 ax0 b 與與 1 2 n都正交都正交, i.e., = it(ax0 b) = 0, i =1,2,n. 即尋找即尋找x0 使得使得 | ax0 b | = min |a b |a r(a)atax0=atb.該方程一定有解該方程一定有解 x0（見習題四（見習題四(b)42）稱其為稱其為ax=b的的，稱其解為稱其解為ax=b的的作作 業(yè)業(yè)習題四習題四(b) 2

11、5(1),26,27,29; 30(1),31; 32,35; 36 40 ： 11月月29日（周二）日（周二） 本門課程的內容體系本門課程的內容體系本門課程：研究矩陣的理論本門課程：研究矩陣的理論；:特殊矩陣特殊矩陣;:為了更方便的運算為了更方便的運算;:矩陣之間的一種變換；矩陣之間的一種變換；：相似變換：相似變換(方陣方陣)：可逆變換：可逆變換(實對稱陣實對稱陣)特征值特征值慣性指數(shù)慣性指數(shù)秩秩：空間是一種特殊的矩陣空間空間是一種特殊的矩陣空間尋找向量空間的尋找向量空間的極小生成元極小生成元(基基)尋找向量組的極尋找向量組的極大無關組大無關組研究向量組中向研究向量組中向量間的關系（線量間的關系（線性相關性）性相關性）有了基有了基, 就有就有了坐標；了坐標；定義內積定義內積,引入正交引入正交的概念的概念構造一組標準構造一組標準正交生成元正交生成元兩個兩個應用應用刻畫矩陣刻畫矩陣a的列空間的列空間(列向量生成的子空間列向量生成的子空間)刻畫刻畫ax=b的解空間，即尋找基礎解系等的解空間，即尋找基礎解系等 (r3): 可看作是第四章的可看作是第四章的鋪墊，也可看作一種特殊的向量空間鋪墊，也可看作一種特殊的向量空間。 : 它們是研究矩陣它們是研究矩陣的工具。很