天文學(xué)的寵兒—橢圓

1、主題2 天文學(xué)的寵兒橢圓曲線方程一線牽，坐標(biāo)建立得體現(xiàn).點(diǎn)集解集兩大集，一一對應(yīng)找聯(lián)系.曲線方程“你”中“我”，方程曲線“我”中“你”.標(biāo)準(zhǔn)方程一般式，理解掌握需牢記.笛卡爾的觀點(diǎn)對，點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對，兩者一來對應(yīng)，開創(chuàng)幾何新途徑.解析幾何是幾何，得意忘形學(xué)不活.圖形直觀數(shù)入微，數(shù)學(xué)本是數(shù)形學(xué).聯(lián)立方程求交點(diǎn)，韋達(dá)定理求弦長，根的分布找范圍，曲線定義可妙用，引參用參妙解題，分清關(guān)系思路暢，數(shù)形結(jié)合關(guān)系明，選好選準(zhǔn)突破口，一點(diǎn)破譯全局活.【數(shù)學(xué)史話】著名的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開普勒1600年，30歲的開普勒貿(mào)然給素不相識的丹麥天文學(xué)家第谷寫信，他把自己研究天文學(xué)的成果和想法告訴了第谷.第谷看后，對開普

2、勒的才華驚嘆不已，立即寫信邀請他來當(dāng)自己的助手.但是開普勒來到第谷的身邊僅10個(gè)月，老人便去世了.開普勒繼承了這位老人留下的非常寶貴的資料，其中包括老人對火星運(yùn)動(dòng)的觀測.在第谷的工作基礎(chǔ)上，開普勒經(jīng)過大量的計(jì)算，編制成魯?shù)婪蛐潜?，表中列出?005顆恒星的位置.這個(gè)星表比其他星表要精確得多，因此直到十八世紀(jì)中葉，魯?shù)婪蛐潜砣匀槐惶煳膶W(xué)家和航海家們視為珍寶，它的形式幾乎沒有改變地保留到今天.開普勒和前人都把行星運(yùn)動(dòng)當(dāng)作等速來研究的,他按照這一方法苦苦計(jì)算了1年，卻仍得不到結(jié)果.后來他發(fā)現(xiàn)，在橢圓軌道上運(yùn)行的行星速度不是常數(shù)，而是在相等時(shí)間內(nèi)，行星與太陽的連線所掃過的面積相等.這就是行星運(yùn)動(dòng)第二定

3、律，又叫“面積定律”.開普勒第二定律（面積定律）：在相等時(shí)間內(nèi)，太陽和運(yùn)動(dòng)中的行星的連線（向量半徑）所掃過的面積都是相等的. 這一定律實(shí)際揭示了行星繞太陽公轉(zhuǎn)的角動(dòng)量守恒.用公式表示為： 開普勒又經(jīng)過9年努力，找到了行星運(yùn)動(dòng)第三定律：太陽系內(nèi)所有行星公轉(zhuǎn)周期的平方同行星軌道半長徑的立方之比為一常數(shù)，即開普勒第三定律（調(diào)和定律、周期定律）：是指繞以太陽為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行的所有行星，其橢圓軌道半長軸的立方與周期的平方之比是一個(gè)常量.這里，a是行星公轉(zhuǎn)軌道半長軸，T是行星公轉(zhuǎn)周期，K是常數(shù)，其大小只與中心天體的質(zhì)量有關(guān).常用于橢圓軌道的計(jì)算.即： ，.其中，M為中心天體的質(zhì)量. 開普勒定律，或者是

4、用幾何語言，或者是用方程，將行星的坐標(biāo)及時(shí)間跟軌道參數(shù)相連結(jié).首先，開普勒定律在科學(xué)思想上表現(xiàn)出無比勇敢的創(chuàng)造精神.遠(yuǎn)在哥白尼創(chuàng)立日心宇宙體系之前，許多學(xué)者對于天動(dòng)地靜的觀念就提出過不同見解.但對天體遵循完美的均勻圓周運(yùn)動(dòng)這一觀念，從未有人敢懷疑.開普勒卻毅然否定了它.這是個(gè)非常大膽的創(chuàng)見.哥白尼知道幾個(gè)圓合并起來就可以產(chǎn)生橢圓，但他從來沒有用橢圓來描述過天體的軌道.正如開普勒所說，“哥白尼沒有覺察到他伸手可得的財(cái)富”.其次，開普勒定律徹底摧毀了托勒密的本輪系，把哥白尼體系從本輪的桎梏下解放出來，為它帶來充分的完整和嚴(yán)謹(jǐn).哥白尼拋棄古希臘人的一個(gè)先入之見，即天與地的本質(zhì)差別，獲得一個(gè)簡單得多的

5、體系.但它仍須用三十幾個(gè)圓周來解釋天體的表觀運(yùn)動(dòng).開普勒卻找到最簡單的世界體系，只用七個(gè)橢圓說就全部解決了.從此，不須再借助任何本輪和偏心圓就能簡單而精確地推算行星的運(yùn)動(dòng).第三，開普勒定律使人們對行星運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識得到明晰概念.它證明行星世界是一個(gè)勻稱的（即開普勒所說的“和諧”）系統(tǒng).這個(gè)系統(tǒng)的中心天體是太陽，受來自太陽的某種統(tǒng)一力量所支配.太陽位于每個(gè)行星軌道的焦點(diǎn)之一.行星公轉(zhuǎn)周期決定于各個(gè)行星與太陽的距離，與質(zhì)量無關(guān).而在哥白尼體系中，太陽雖然居于宇宙“中心”，卻并不扮演這個(gè)角色，因?yàn)闆]有一個(gè)行星的軌道中心是同太陽相重合的. 我國著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、翻譯家和教育家李善蘭李善蘭，原名心蘭，

6、字競芳，號秋紉，別號壬叔，浙江海寧縣硤石鎮(zhèn)人，生于嘉慶十六年，卒于光緒八年。李善蘭自幼酷愛數(shù)學(xué)。十歲時(shí)學(xué)習(xí)九章算術(shù)。十五歲時(shí)讀明末徐光啟、利瑪竇合譯的歐幾里得幾何原本前六卷，盡解其意。后來，他到杭州應(yīng)試，買回元代李冶的測圓海鏡、清代戴震（17241777）的勾股割圓記等算書，認(rèn)真研讀；又在嘉興等地與數(shù)學(xué)家顧觀光(17991862)、張文虎(18081888)、汪曰楨(18131881)以及戴煦、羅士琳(17741853)、徐有壬(18001860)等人相識，經(jīng)常在學(xué)術(shù)上相互切磋。自此數(shù)學(xué)造詣日臻精深，時(shí)有心得，輒復(fù)著書，1845年前后就得到并發(fā)表了具有解析幾何思想和微積分方法的數(shù)學(xué)研究成果“尖

7、錐術(shù)”。1860年起,他先后在徐有壬、曾國藩軍中作幕僚,與化學(xué)家徐壽、數(shù)學(xué)家華蘅芳等人一起，積極參與洋務(wù)運(yùn)動(dòng)中的科技學(xué)術(shù)活動(dòng)。1867年他在南京出版則古昔齋算學(xué)，匯集了二十多年來在數(shù)學(xué)、天文學(xué)和彈道學(xué)等方面的著作，計(jì)有方圓闡幽、弧矢啟秘、對數(shù)探源、垛積比類、四元解、麟德術(shù)解、橢圓正術(shù)解、橢圓新術(shù)、橢圓拾遺、火器真訣、對數(shù)尖錐變法釋、級數(shù)回求和天算或問等13種24卷，共約15萬字?！緮?shù)學(xué)應(yīng)用】 橢圓的參數(shù)方程及應(yīng)用舉例(可以參考選修4-1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的參數(shù)方程1.求橢圓的內(nèi)接多邊形的周長及面積例1.求橢圓的內(nèi)接矩形的面積及周長的最大值.（課本69頁例4變形）解：如圖，設(shè)橢圓的內(nèi)接矩形在第

8、一象限的頂點(diǎn)是A（）（），矩形的面積和周長分別是S、L.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，此時(shí)存在.2.求軌跡例2.已知點(diǎn)A在橢圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B（0，9）、點(diǎn)M在線段AB上，且，試求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.解：由題意知B（0，9），設(shè)A（），并且設(shè)M（x，y）.則，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程是（是參數(shù)），消去參數(shù)得.3.求函數(shù)的最值例3 設(shè)點(diǎn)P（x，y）在橢圓，試求點(diǎn)P到直線的距離d的最大值和最小值.解：點(diǎn)P（x，y）在橢圓上，設(shè)點(diǎn)P（）（是參數(shù)且），則.當(dāng)時(shí)，距離d有最小值0，此時(shí)橢圓與直線相切；當(dāng)時(shí)，距離d有最大值2.4.求解有關(guān)離心率等入手比較困難的問題例4.橢圓與x軸的正向相交于點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若這個(gè)橢圓上存在點(diǎn)

9、P，使得OPAP.求該橢圓的離心率e的取值范圍.解：設(shè)橢圓上的點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）（0且），A（a，0）.則.而OPAP，于是，整理得解得（舍去），或.因?yàn)椋?可轉(zhuǎn)化為，解得，于是.故離心率e的取值范圍是. 【思維導(dǎo)航】 圓與橢圓的一組類比性質(zhì)類比是科學(xué)研究中常用的一種思維方法，是根據(jù)兩個(gè)或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理. 盡管類比推理只是一個(gè)合情推理（即類比得到的結(jié)果未必正確），但因其具有創(chuàng)造性的特點(diǎn)，而被廣泛應(yīng)用于科學(xué)研究之中. 命題1 直線切圓O于且都存在非零斜率，則類比命題1 直線切橢圓于且都存在非零斜率，則證明 設(shè)切點(diǎn)則切線的方程為，進(jìn)而有又因?yàn)椋裕?/p>

10、題2 是的直徑，是上一點(diǎn)，且都存在非零斜率，則類比命題2 是橢圓的直徑，且都存在非零斜率，則證明 如圖1，設(shè)，,則(這里利用了和差化積公式，參考三角函數(shù)有關(guān)內(nèi)容) 命題3 是的弦，是的中點(diǎn)，且都存在非零斜率，則類比命題3 是橢圓的弦，是的中點(diǎn)，且都存在非零斜率，則證明 如圖2，過作橢圓的直徑，連結(jié)則,由上述類比命題2可知命題4 是的兩條弦，直線相交于點(diǎn)，則類比命題4 是橢圓的兩條弦，直線相交于點(diǎn)，且直線的傾斜角互補(bǔ)，則證明 如圖3，設(shè)直線的傾斜角分別為 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為， 則弦的參數(shù)方程為 （為參數(shù)），將其代入橢圓的方程，化簡得 由參數(shù)的幾何意義可知，同理可得 又因?yàn)?上述4個(gè)類比命題實(shí)質(zhì)上是“圓

11、的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑”、“圓的直徑對的圓周角為直角”、“圓心與非直徑的弦的中點(diǎn)的連線垂直于該弦”、“圓的相交弦定理、切割線定理”在橢圓中的推廣. 康德曾經(jīng)講過：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證思路的時(shí)候，類比就像一位大師，指引我們前進(jìn).”同學(xué)們在學(xué)習(xí)橢圓時(shí)注意與初中我們學(xué)習(xí)有關(guān)圓的性質(zhì)，那些可以推廣到橢圓，那些不行，培養(yǎng)我們科學(xué)探索的精神.【拓展提升】 橢圓的一個(gè)幾何性質(zhì)定義1：橢圓是到兩個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離和等于定長（2a）的點(diǎn)的軌跡.命題1：橢圓外一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離和大于橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和.【證明】：如圖1所示，M是橢圓外任一點(diǎn)，和分別是該點(diǎn)到兩焦點(diǎn)和的距離.由于M在橢圓之外，所以我

12、們總能夠在橢圓上找到一點(diǎn)N，使此點(diǎn)在內(nèi).所以總有.F1F2MN圖1下面我們證明命題1中用到的關(guān)于三角形的一個(gè)命題.命題2：三角形內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離和小于第三個(gè)頂點(diǎn)到這兩個(gè)頂點(diǎn)的距離和.【證明】：如圖，M是中任一點(diǎn)，我們要證明的是.延長AM與BC交于D點(diǎn).在中，由于兩邊之和大于第三邊，有；在中，由于兩邊之和大于第三邊，有.上面兩式相加有，命題得證.ABCMD圖2命題3：橢圓內(nèi)一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和小于橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和.F1F2MN圖3【證明】：如圖3所示，我們總能夠在橢圓上找一點(diǎn)N，使M位于內(nèi).由命題2可知命題正確.我們可以說，橢圓的外部是這樣的點(diǎn)的集合，它到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和

13、大于2a；橢圓的內(nèi)部是這樣的點(diǎn)的集合，它到橢圓的兩個(gè)核糖點(diǎn)的距離之和小于2a；橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和恰為2a. 【數(shù)學(xué)欣賞】 橢圓的四心近似畫法已知相互垂直且平分的橢圓長軸和短軸,則橢圓的近似畫法(四心近似法)步驟如下所示:第一步： 畫出長軸AB和短軸CD，連接AC；第二步：在AC上截取CF，使其等于AO與CO之差CE；第三步：作AF的垂直平分線，使其分別交AO和OD（或其延長線）于O1和O2點(diǎn).以O(shè)為對稱中心，找出O1的對稱點(diǎn)O3及O2的對稱點(diǎn)O4，此O1、O2、O3、O4各點(diǎn)即為所求的四圓心.通過O2和O1、O2和O3、O4和O3各點(diǎn)，分別作連線；第四步：分別以O(shè)2和O4為圓心，O

14、2C（或O4D）為半徑畫兩弧.再分別以O(shè)1和O3為圓心，O1A（或O3B）為半徑畫兩弧，使所畫四弧的接點(diǎn)分別位于O2O1、O2O3、O4O1和O4O3的延長線上，即得所求的橢圓. 橢圓的光學(xué)性質(zhì)橢圓有一些光學(xué)性質(zhì)：橢圓的面鏡（以橢圓的長軸為軸，把橢圓轉(zhuǎn)動(dòng)1800形成的立體圖形，其外表面全部做成反射面，中空）可以將某個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線全部反射到另一個(gè)焦點(diǎn)處；橢圓的透鏡（某些截面為橢圓）有匯聚光線的作用（也叫凸透鏡），老花眼鏡、放大鏡和遠(yuǎn)視眼鏡都是這種鏡片（這些光學(xué)性質(zhì)可以通過反證法.從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上.如圖1：證明：如圖2，過點(diǎn)P做橢圓的切線l，焦點(diǎn)F1關(guān)于l的對稱點(diǎn)F,則反射光線與FP在同一直線上.|PF1|+|PF2|= |PF|+|PF2|FF2|(當(dāng)且僅當(dāng)F、P、F2共線時(shí)“=”成立)即2a|FF2|連FF2交橢圓于M,如圖3，交l于P,則|MF1|+|MF2|=2a|MF1|MF|(M、P重合時(shí)“=”成立，即P為切點(diǎn))2a|MF|+|MF2|FF2|2a|FF2|2a|FF2|=2a此時(shí)F、P、F2共線，即反射光線過F2.由以上證明可知：若橢圓存在切線l，且F1關(guān)于l的對稱點(diǎn)F,則|FF2|=2a應(yīng)用：1.電影放映機(jī)上的聚光燈泡的反射鏡的軸截面是橢圓的一